Maßwechsel<->Numerairewechsel < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Fr 12.01.2007 | | Autor: | mori |
Hallo,
ich möchte für ein Seminar einen allgemeinen Maßwechsel formulieren.
In einem Artikel habe ich die Theorie für einen Numerairewechsel gefunden. Das dort erwähnte würde ich gerne verallgemeinern, leider fehlt mir aber noch der richtige Durchblick:
Was ist eigentlich der genaue Unterschied zwischen Maß- und Numerairewechsel und wie stehen die beiden im Verhältnis?
Ich weiß, dass man den Maßwechsel benutzt um auf das risikoneutrale Maß zu wechseln und das man das zur Bewertung von Derivaten benötigt. Der Zusammenhang zum Numerairewechsel ist mir aber nicht ganz klar. Ist ein Wechsel des Numeraires ein Spezialfall vom Maßwechsel? (eigentlich doch nicht, oder?). Oder ist es nur so, dass man in beiden Fällen dasselbe benutzt (also Radon-Nikodym-Ableitung und Girsonovtheorem und so)?
Bin für alle Kommentare dankbar,
viele Grüße
Mori
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 So 14.01.2007 | | Autor: | mori |
hallo,
ich bin immernoch an der begriffsklärung und den unterschieden zwischen maß- und numerairewechsel interessiert!
hoffe mir kann jemand helfen
lg mori
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Der Numeraire N ist die Bezugsgröße durch die andere Grössen V dividiert werden, d.h. der Erwartungswertoperator im "Pricing Theorem" wird auf V/N angewendet. Wenn Du auf einen anderen Numeraire M wechselst möchtest Du also V/M statt V/N betrachten, d.h. Du multipliziert V/N mit dem Numerairewechsel N/M (V/N * N/M = V/M).
Diesen Numerairewechsel innerhalb des Erwartungswertoperators kann man aber als Radon-Nykodym-Dichte eines Maßwechsels interpretieren.
D.h. (V/N * N/M) * dQ wird als V/N * (N/M * dQ) interpretiert. Mit dem Maß dP = N/M dQ ist dann V/N dP = V/M dQ
Der Numeraire-Wechsel ist somit eine Spezifikation des Maßwechsel über die Radon-Nykodym-Dichte.
Gruss
Christian
![[]](/images/popup.gif) http://www.christian-fries.de/finmath/book
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| Aufgabe | [mm] \integral_0^{\infty} {(e^y-1)D(T) P(Y_T=y;min_{0 \le s \le T}(Y_s)>0) }dy
[/mm]
wobei gilt [mm] Y_t=ln(V_t/D_t) [/mm] mit 2 unabhägigen Ito-Prozessen [mm] V_t, D_t [/mm] der Form: dX= [mm] X(mu*t+\sigma dW_t) [/mm] sind. |
Die Dichte [mm] P(Y_T=y;min(Y_s)>0) [/mm] ist bekannt. Allerdings macht die stoch. Größe [mm] D_T [/mm] Probleme beim integrieren. Kann man sich dieses Problemes mithilfe eines Maßwechsels entledigen? Wie ist die Verteilung entsprechend anzupassen? Ich würde mich über Anregungen sehr freuen. Vielleicht ist das ganze ja auch gar nicht möglich. Auch diese Info würde mir einigermaßen weiterhelfen.
Vielen Dank!
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Wäre vielleicht besser gewesen, einen eigenen Faden aufzumachen, aber egal...
Das D(T) in deinem Integral hängt doch nicht von y ab, oder? Also müsste man es vor das Integral ziehen können. Außerdem: Ist T ein fester Zeitpunkt oder eine Zufallsvariable? Falls ersteres: Dann ist die Verteilung von D(T) doch relativ leicht zu bestimmen. Ansonsten muß man mit Stoppzeiten arbeiten.
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T ist ein fester Zeitpunkt. Die Verteilung von [mm] D_T [/mm] ist natürlich bekannt. Allerdings ist Y=lnV-lnD. Y ist also eine Funktion von D.
Was ich eigentlich vorhabe mit dieser Gleichung ist:
[mm] \integral_0^{\infty} [/mm] a [mm] P(V_T-D_T=a,min_{0 \le s \le T}(V_s-D_s)>0) [/mm] da
Da es für diesen Differenzprozess die Verteilung jedoch nicht gibt, dachte ich man kommt mit dem Y=ln(V/D) weiter...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Fr 04.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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