Mathematikschularbeitenstoff < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1)
Gegeben ist ein allgemeines Dreieck ABC, [mm] (\gamma \not= [/mm] 90°), durch a = 5,5 cm, c = 6,3 cm und [mm] \alpha [/mm] = 35,6°.
a) Berechne die fehlende Seitenlänge und Winkel des Dreiecks!
b) Berechne den Flächeninhalt mittels trigonometrischer Flächenformel!
2)
Berechne die Breite eines Flusses, wenn von den am diesseitigen Ufer liegenden Punkte A und B der Standlinie s zu einem am anderen Ufer liegenden Punkt P die Winkel PAB und ABP gemessen werden.
AB = s = 200 m, PAB = [mm] \alpha [/mm] = 64°, ABP = [mm] \beta [/mm] = 52°
3)
Von einem 130 m hohen Berg sieht man die beiden Ufer eines Flusses unter den Tiefenwinkeln [mm] \alpha [/mm] = 30° und [mm] \beta [/mm] = 40°,
Berechne die Breite des Flusses!
4)
Von einer Raute sind a = 136 cm und e = 160 cm gegeben.
Berechne die Winkel [mm] \alpha, \beta, [/mm] die Diagonale f, den Flächeninhalt A! |
Hallo.
Morgen wird die Mathematikschularbeit wiederholt, deren Aufgaben ich hier gepostet habe.
Ich würde gerne versuchen, die vier Beispiele in irgendeiner Art und Weise zu lösen, allerdings weiß ich überhaupt nicht wie. (Habe die Schularbeit mit 0/48 Punkten abgeschlossen)
Der Stoff wäre folgender:
Textgleichungen (2 Variable); Rechtwinkeliges Dreieck (sin, cos, tan), Pythagoräischer Lehrsatz; Höhensatz, Kathetensatz; Anwendung auch: gleichschenkeligen Dreieck, Raute; Vermessungsaufgaben
Allgemeines Dreieck: Sinussatz, trigonometr. Flächenformel
Falls ich, bevor mir jemand hier helfen darf/kann, selbst eine Lösung aufbringen muss, dann bin ich zwar aufgeschmissen, aber was soll's.
Einen Versuch ist es immer wert.
mit freundlichen Grüßen,
elias
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Hallo,
nur kurz ein paar Tipps:
> 1)
> Gegeben ist ein allgemeines Dreieck ABC, [mm](\gamma \not=[/mm]
> 90°), durch a = 5,5 cm, c = 6,3 cm und [mm]\alpha[/mm] = 35,6°.
> a) Berechne die fehlende Seitenlänge und Winkel des
> Dreiecks!
> b) Berechne den Flächeninhalt mittels trigonometrischer
> Flächenformel!
(a):
1. Benutze zunächst den Sinussatz, um den fehlenden Winkel [mm] \gamma [/mm] zu bestimmen.
2. Danach kannst du mit der Regel, dass die Innenwinkel eines Dreiecks 180 Grad ergeben, den Winkel [mm] \beta [/mm] bestimmen.
3. Mit Hilfe des Sinussatzes kannst du nun b berechnen.
(b):
Eine trigonometrische Flächenformel lautet:
$A = [mm] \frac{1}{2}*a*b*\sin(\gamma)$.
[/mm]
Diese kannst du benutzen. Allgemein lautet die Formel:
$A = [mm] \frac{1}{2}*Seite1*Seite2*\sin(Winkel\ [/mm] der\ von\ den\ beiden\ Seiten\ eingeschlossen\ wird)$.
Zu 2) und 3) musst du zunächst Skizzen zeichnen, dazu habe ich heute Abend keine Lust mehr...
> 4)
> Von einer Raute sind a = 136 cm und e = 160 cm gegeben.
> Berechne die Winkel [mm]\alpha, \beta,[/mm] die Diagonale f, den
> Flächeninhalt A!
Raute heißt: Alle Seiten sind gleich lang. Also hat jede Seite die Länge 136 cm.
Durch die Angabe der einen Diagonale e hast du nun folgende Situation (Skizze machen!):
Die Diagonale e teilt die Raute in zwei (gleichseitige!) Dreiecke (die kongruent sind, also deckungsgleich). Von den beiden Dreiecken kennst du alle drei Seiten:
2x Seitenlänge a = 136cm,
1x Seitenlänge e = 160cm.
Mit Hilfe des umgestellten Kosinussatzes kannst du aus drei Seiten eines Dreiecks einen Winkel berechnen: (Für die Formel siehe ![[]](/images/popup.gif) hier!).
Die restlichen beiden Winkel des Dreiecks kannst du nun wieder mit Hilfe des Sinussatzes / der 180-Grad-Regel bestimmen.
Zeichne dir ein, was du nun alles berechnet hast. Dann kommst du sicher schnell darauf, wie du [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] der Raute berechnest (oder schon berechnet hast!).
Für den Flächeninhalt überlege dir, dass die Raute von e (wie schon oben beschrieben) in zwei gleiche Teile geteilt wird. Die entstehenden Dreiecke haben wir ja gerade eingängig studiert und alle Seitenlängen / Winkel berechnet. Damit kannst du für diese Dreiecke die Flächeninhaltsformel von oben anwenden (Bei 1) b)).
2 mal der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks ist dann die Gesamtfläche der Raute.
Für die Diagonale f überlege dir, dass natürlich auch f die Raute wieder in zwei kongruente Dreiecke unterteilt. Welche Werte von den Dreiecken kennst du schon, wie berechnest du f? --> Kosinussatz oder Sinussatz!
Grüße,
Stefan
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Ich werde versuchen die Aufgaben zu lösen und hier dann meine Ergebnisse posten.
Vielen, vielen Dank für die Antwort! =)
!edit!
Für 1a) habe ich die Werte:
[mm] \gamma [/mm] = 41,82021159°
[mm] \beta [/mm] = 102,5798°
b = 9,221358934 cm
Für 1b) habe ich den Wert:
A = 16,90908928
Stimmt das denn so?
mfg
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Hallo,
Sehr löblich, dass du EDIT gemacht hast und nicht eine neue Frage gestellt hast  In deinem Fall rate ich dir aber doch zu einer neuen Frage.
> !edit!
> Für 1a) habe ich die Werte:
> [mm]\gamma[/mm] = 41,82021159°
> [mm]\beta[/mm] = 102,5798°
> b = 9,221358934 cm
> Für 1b) habe ich den Wert:
> A = 16,90908928
> Stimmt das denn so?
> mfg
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Alles richtig.
Für die Arbeit ist wichtig, dass du immer weißt, wann du welche Formel anzuwenden hast. Wenn du ein allgemeines Dreieck hast (also nicht rechtwinklig etc.), und du hast
- 3 Seiten gegeben --> Zuerst die Umkehrung des Kosinussatzes benutzen, um einen Winkel zu errechnen
- 2 Seiten, ein Winkel gegeben --> Falls der Winkel von den Seiten eingeschlossen wird, Kosinussatz --> dritte Seite; falls der Winkel nicht eingeschlossen wird, Sinussatz --> zweiter Winkel.
- 1 Seite, 2 Winkel gegeben --> Dritten Winkel mit 180 Grad Regel errechnen, danach Sinussatz um die restlichen Seiten zu errechnen.
- 3 Winkel --> !!! Achtung: Dreieck wird nicht eindeutig definiert. Denn ein Dreieck kann bei nur drei vorgegebenen Winkeln beliebig "groß" sein.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Mi 21.04.2010 | | Autor: | RubiksCube |
Super Erklärung!
Ist besser als jede Nachhilfe ;)
Leider kann ich Dir nichts dafür geben, außer dass Du weißt, dass Du jemandem sehr geholfen hast.
Danke,
elias
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Hallo,
> 2)
> Berechne die Breite eines Flusses, wenn von den am
> diesseitigen Ufer liegenden Punkte A und B der Standlinie s
> zu einem am anderen Ufer liegenden Punkt P die Winkel PAB
> und ABP gemessen werden.
> AB = s = 200 m, PAB = [mm]\alpha[/mm] = 64°, ABP = [mm]\beta[/mm] = 52°
Hier hast du folgende Situation:
Male dir zwei parallele Striche auf ein Blatt. Das ist der Fluss. Auf der einen Gerade gibt es zwei Punkte A und B; Die Seite s = AB ist die "Strandlinie". Auf der anderen Geraden malst du einen Punkt P.
Verbinde ABP zu einem Dreieck.
Trage nun die Werte ein. Da du zwei Winkel gegeben hast, kannst du sofort den dritten Winkel [mm] \gamma [/mm] berechnen.
Mit Hilfe des Sinussatzes kannst du nun alle Seiten des Dreiecks ABP berechnen. Gesucht ist aber nicht eine Seite des Dreiecks ABP, sondern die Höhe von AB (das ist dann die Breite des Flusses!) --> Du musst das alles anhand der Skizze nachvollziehen.
Überlege nun, wie du die Höhe berechnen könntest.
Tipp: Das Lot von P auf die andere Gerade ergibt einen Punkt P'. Das Dreieck APP' bzw. BPP' ist dann rechtwinklig... Welche Seiten von APP' bzw. BPP' kennst du bereits? Kannst du dadurch PP' berechnen?
> 3)
> Von einem 130 m hohen Berg sieht man die beiden Ufer eines
> Flusses unter den Tiefenwinkeln [mm]\alpha[/mm] = 30° und [mm]\beta[/mm] =
> 40°,
> Berechne die Breite des Flusses!
Hier hast du folgende Situtation:
Das Dreieck, das durch die Aufgabenstellung entsteht, ist eine Seitenansicht der Landschaft (also du schaust nicht von oben auf die Landschaft, sondern "wie in der Realität" vom Boden an den Berg).
Ein Punkt des Dreiecks, z.B. C ist die Bergspitze. Die anderen zwei Punkte des Dreiecks, A und B, bilden jeweils die Seiten des Flusses. AB ist die Flussbreite.
Achtung! ABC ist nicht rechtwinklig.
Versuche, damit weiterzukommen.
Grüße,
Stefan
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Nachdem ich mit der Raute fertig bin, werde ich sehen, ob ich das verstanden habe.
Allerdings hänge ich noch ein wenig bei der Raute.
Die Winkel müssten meinen Berechnungen nach
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \delta [/mm] = 107,93625° und [mm] \beta [/mm] = [mm] \gamma [/mm] = 72,06375812° betragen.
Das Problem ist der Flächeninhalt...
Ich rechne in einer Hälfte der Raute (Dreieck) wie folgt:
A = [mm] \bruch{1}{2}*a*b*({\bruch{sin_\gamma}{2}})
[/mm]
Allerdings kommt mir die Zahl 8798,112 ein bisschen hoch vor.
Oder stimmt das etwa?
elias
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Hallo,
> Nachdem ich mit der Raute fertig bin, werde ich sehen, ob
> ich das verstanden habe.
> Allerdings hänge ich noch ein wenig bei der Raute.
> Die Winkel müssten meinen Berechnungen nach
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\delta[/mm] = 107,93625° und [mm]\beta[/mm] = [mm]\gamma[/mm] =
> 72,06375812° betragen.
>
> Das Problem ist der Flächeninhalt...
> Ich rechne in einer Hälfte der Raute (Dreieck) wie
> folgt:
> A = [mm]\bruch{1}{2}*a*b*({\bruch{sin_\gamma}{2}})[/mm]
> Allerdings kommt mir die Zahl 8798,112 ein bisschen hoch
> vor.
> Oder stimmt das etwa?
> elias
Alles stimmt .
Diese Zahl, [mm] 8798.112cm^{2} [/mm] (Einheiten nicht vergessen!) musst du noch mal zwei nehmen, weil wir ja jetzt nur die Fläche der halben Raute berechnet haben.
Du musst in Figuren, die dir gegeben sind, immer die Dreiecke erkennen, mit denen du rechnen kannst. Denn: Alle Formeln, die du kennst (Sinussatz / Kosinussatz etc.) gelten nur für Dreiecke, du kannst sie also nur auf Dreiecke anwenden.
Damit du "mit einem Dreieck rechnen" kannst, müssen drei Seiten / Winkel gegeben sein. (Aber nicht nur Winkel).
Grüße,
Stefan
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Also stimmt es doch...
Entschuldigung wegen der Einheiten. Mein Mathematiklehrer schreibt diese selbst nie an die Tafel, was mich ebenfalls ein wenig schlampiger macht ;)
Ich werde jetzt noch Beispiel 2 und 3 versuchen zu lösen (sowie f in der Raute zu berechnen) und danach schaue ich mir noch ein paar Beispiele aus dem Buch an.
Danke, danke, danke!
elias
P.S.: Auch wenn Du nicht mehr online bist... Ich werde hier dann noch meine Ergebnisse posten. Vielleicht sieht sie sich jemand anderes auch noch an.
!edit!
Habe für f (bei dem Rautenbeispiel) den Wert 439,9220158 cm herausbekommen.
Mir persönlich kommt dieser ein wenig hoch vor, aber vielleicht stimmt er auch.
Bitte um Rückmeldung :)
mfg,
elias
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Hallo,
hier noch eine Formel, die ich als wichtig empfinde:
Wir wissen: Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich durch
$A [mm] =\frac{1}{2}*Grundseite*Hoehe$
[/mm]
oder alternativ
$A [mm] =\frac{1}{2}*Seite1*Seite2*sin(Von\ [/mm] Seite1\ und\ Seite2\ eingeschlossener\ Winkel)$
Wenn du die beiden Formeln vergleichst, siehst du:
Wenn Grundseite = Seite1, dann muss also für die Hoehe der Grundseite gelten:
$Hoehe\ von\ Seite1 = Seite2*sin(Von\ Seite1\ und\ Seite2\ eingeschlossener\ Winkel)$
Zum Beispiel: Hoehe der Seite a: (Wir nehmen Seite2 = b):
[mm] $h_{a} [/mm] = [mm] b*sin(\gamma)$.
[/mm]
Diese Formeln kannst du bei der Flussaufgabe (2) gebrauchen - die Flussbreite ist die Höhe der Seite AB.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:14 Mi 21.04.2010 | | Autor: | RubiksCube |
Diese Formel kann ich jetzt (wo ich mich dem Flussbsp. zuwende) sicher gut gebrauchen.
Danke :)
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Hallo,
> !edit!
> Habe für f (bei dem Rautenbeispiel) den Wert 439,9220158
> cm herausbekommen.
> Mir persönlich kommt dieser ein wenig hoch vor, aber
> vielleicht stimmt er auch.
Nein, dieses Mal ist es falsch.
Erstmal kurz noch ein allgemeiner Hinweis: Beim Kosinussatz in seiner normalen Form wird gern vergessen, am Ende noch die Wurzel zu ziehen!
Wir können ja den Kosinussatz anwenden, um f zu bestimmen (Oder wie hast du gerechnet? --> Es gibt mehrere Möglichkeiten). Dazu nehmen wir jetzt das Dreieck, dass entsteht, wenn wir die Raute durch f in zwei gleiche Dreiecke teilen.
Wir wissen dann wieder: Das Dreieck hat zwei Seiten a = 136cm, b = 136cm, und den eingeschlossenen Winkel haben wir schon berechnet: Er lautet [mm] \gamma [/mm] = 107.93 Grad.
In die Formel einsetzen:
[mm] $c^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] - [mm] 2*a*b*\cos(\gamma) [/mm] = [mm] 48379cm^{2}$,
[/mm]
also
$c = 219.95 [mm] \approx [/mm] 220 cm$.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:22 Mi 21.04.2010 | | Autor: | RubiksCube |
Ach ok, danke.
Habe mir das Ganze etwas zu kompliziert gestaltet (Raute gevierteilt und dann mit dem Sinussatz herumgepfuscht.)
Habe es jetzt allerdings verstanden :)
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Bei mir ist die Breite des Flusses gleich 200 m.
[mm] \gamma [/mm] = 64°
a = b = 59,3050 m
Aber dass die Breite des Flusses s entspricht ist doch irgendwie eigenartig.
Ich glaube hier habe ich wieder irgendetwas flasch gemacht.
mfg,
elias
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Hallo,
> Bei mir ist die Breite des Flusses gleich 200 m.
> [mm]\gamma[/mm] = 64°
> a = b = 59,3050 m
Du musst dich bei der Berechnung von a und/oder b vertan haben.
Wie du an der Berechnung von [mm] \gamma [/mm] siehst, gilt ja [mm] \alpha [/mm] = [mm] \gamma [/mm] = 64 Grad, d.h. das Dreieck ABP ist gleichschenklig mit Schenkeln AB und BP.
--> c = a = 200m.
Was du aber suchst, ist die Höhe von c = AB (c ist die Seite, die P gegenüberliegt).
Dafür können wir nun die Formeln
[mm] $h_{c} [/mm] = [mm] a*\sin(\beta)$
[/mm]
oder
[mm] $h_{c} [/mm] = [mm] b*\sin(\alpha)$
[/mm]
benutzen.
Trotzdem: Suche nach deinem Fehler! Das ist manchmal mehr wert als 10 Aufgaben zu lösen.
Grüße,
Stefan
PS.: Ich komme auf ungefähr 158m für die Breite des Flusses.
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Hallo,
ich gehe jetzt ins Bett
Ich habe dir zur letzten Aufgabe mit dem Berg noch eine Skizze gemalt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(So verstehe ich die Aufgabe; [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sind dieselben Winkel wie in der Aufgabenstellung)
--> Dadurch kennst du die beiden oberen Winkel in den beiden Dreiecken ABC und CDB! (Achtung: Den Winkel in ABC musst du erst noch durch [mm] \beta [/mm] - [mm] \alpha [/mm] errechnen).
Mit Hilfe vom Dreieck CDB kannst du nun erstmal die Seite a ausrechnen. (Bedenke: CDB ist rechtwinklig, da kannst du auch leichtere Formeln anwenden (wenn die dir nicht einfallen, gehen auch die komplizierten).
Außerdem kannst du den Winkel bei B im Dreieck ABC ausrechnen, denn es gilt:
(Winkel bei B im Dreieck ABC) + (Winkel bei B im Dreieck CDB) = 180° (Nebenwinkelsatz!).
Somit kennst du nun im Dreieck ABC den Winkel oben, den Winkel bei B und du kennst die Seitenlänge a, hast also das Werkzeug, um die fehlende Seite c = AB zu berechnen.
Grüße,
Stefan
PS: Nach grober Rechnung komme ich auf a= 150.12 m, und danach auf die Lösung c = AB = 34 m.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hm. Laut deiner Skizze sind das aber keine Tiefenwinkel, oder?
Wir haben gelernt, dass Tiefenwinkel von der Horizontale aus gemessen werden.
Danke trotzdem,
elias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Fr 23.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Komme auch während dem Rechnen auf deine 158m, aber der letzte Rechenschritt bringt mich auf 200m.
mfg und danke,
elias
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Hallo,
> Komme auch während dem Rechnen auf deine 158m, aber der
> letzte Rechenschritt bringt mich auf 200m.
>
> mfg und danke,
> elias
Du rechnest b richtig aus,
aber ich sehe keinen Rechenschritt, bei welchem du die HÖHE der Seite c = AB berechnest! Du berechnest doch bloß wieder a!
Die Höhe (in deinem Zettel mit h eingezeichnet) musst du berechnen, dafür habe ich dir die Formeln geliefert.
Benutze diese Formeln
Nach denen brauchst du, um die Höhe von c zu bestimmen, nur b und [mm] \alpha [/mm] oder eben a und [mm] \beta [/mm] wissen.
Gute Nacht!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:10 Mi 21.04.2010 | | Autor: | RubiksCube |
Ok, ich war einfach stur und wollte es mit dem Sinussatz versuchen.
Muss ich mir wohl oder übel auch diese zwei Formeln einprägen ;)
Danke nochmal für die ganze Hilfe und schlaf gut,
elias
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Bei mir beträgt die Breite des Flusses 70,22 m.
Berechnet habe ich dies mit zwei einzelnen Dreiecken.
Bild:
http://www.imagebanana.com/view/5qakh7te/CIMG3698a.jpg
mfg,
elias
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Hallo,
ich bin aus deiner Rechnung da nicht ganz schlau geworden, das war doch etwas unübersichtlich. Letzten Endes hat Stefan Dir eigentlich alles geschrieben...
Zeichne ein Dreick bestehend aus den Punkten A,B und P. Der Winkel bei A ist [mm] 64°=\alpha [/mm] der Winkel bei B ist [mm] 52°=\beta [/mm] Der fehlende Winkel ist also auch 52° . Wegen 180-64-52=62 . Also [mm] \gamma=64 [/mm] .
So nun zeichne durch A und B eine Linie (soll das Flußufer sein), eine dazu parallele Linie durch P. Was du jetzt haben möchtest, ist die Höhe von AB. Also eine Linie durch P die senkrecht (90° Winkel) auf AB steht (Zeichne sie ein).
Da [mm] \alpha=\gamma=64° [/mm] haben wir ein gleichschenkliges Dreieck AB=PB=200m .
Nach einzeichnen der Höhe hast du ein rechtwinkliges Dreieck bestehend aus H,B und P , wobei H der Höhenfußpunkt ist (der Punkt an dem die Höhe AB schneidet).
Jetzt kannst du in diesem rechtwinkligen Dreieck den Sinus anwenden, also [mm] sin(\beta)=\bruch{h}{PB} \Rightarrow [/mm] $ [mm] h=sin(\beta)*PB=sin(52°)*200\approx [/mm] 157,602 $
Lg
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