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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo, wir haben zuletzt ein Übungsblatt bekommen auf der die Matrixexponentialfunktion in einem Satz definiert wurde und man nun folgendes zeigen soll (also in der Vorlesung verlor der Prof kein Wort darüber, deswegen hab ich gar keinen Ansatz :-( ):
Aufgabe: Für eine quadratische Matrix A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] ist die Matrixexponentialfunktion definiert durch: [mm] e^{A}= \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{A^{k}}{k!}
[/mm]
Beweisen Sie, dass jede Komponente von [mm] e^{A} [/mm] beschränkt ist. SChätzen Sie dazu die Komponenten [mm] a_{ij} [/mm] von A geeignet ab.
HIlfe ich kann dies nicht, ich hoffe es kann mir jmd. helfen...
danke
Caro
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Hallo!
Bei dieser Matrixmultiplikation werden die ganzen Komponenten doch munter miteinander rummumtipliziert. Das gibt ein heilloses durcheinander.
Wenn du dir jetzt aber die größte komponente [mm] a_{max} [/mm] schnappst und überall einsetzt, wird die Matrix einfacher, und auch die ganzen Matrixmulitplikationen werden sehr viel einfacher. Das führt dazu, daß du jede komponente einzeln betrachten kannst, und jede Komponente für sich ist die Reihendarstellung von [mm] e^{a_{max}}. [/mm] Das ist die Schranke, jede Komponente des wahren Ergebnisses ist kleiner oder gleich dieser.
Das ist jetzt noch nicht ganz ausgereift, du müßtest dir noch über negative Komponenten gedanken machen, aber ich denke, das ist nicht schwierig.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:25 Do 08.11.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo, danke für den Ansatz, allerdings weiß ich nicht genau, wie ich rechtfertigen kann, dass nun jede einzelne komponente kleiner als [mm] exp(a_{max}) [/mm] ist, weil es wird ja nicht nur die Komponente hoch k genommen, sondern wie das so üblich ist bei matrizenmultiplikation, kommt ja auch noch die ganzen anderen Komponenten (Zeilen mal Spalten...) dazu und das sieht bei mir nicht aus wie die Reihendarstellung der exponentialFunktion, könntest du mir bitte kurz erläutern wie man nun auf die abschätzung [mm] exp(a_{max}) [/mm] kommt?
Das wäre echt super nett, DANKE 
LG Caro
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> sondern wie das
> so üblich ist bei matrizenmultiplikation, kommt ja auch
> noch die ganzen anderen Komponenten (Zeilen mal Spalten...)
> dazu und das sieht bei mir nicht aus wie die
> Reihendarstellung der exponentialFunktion, könntest du mir
> bitte kurz erläutern wie man nun auf die abschätzung
> [mm]exp(a_{max})[/mm] kommt?
Hallo,
zeig doch mal, was Du Dir überlegt hast und was jetzt dasteht, damit man schauen kann, ob irgendwas verkehrt ist.
Wir wollen Dir das ja nicht einfach vorrechen.
Gruß v. Angela
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> Also ich hab nun folgendes da stehn die Matrix Sei nun
> neine mxm Matrix und das [mm]m^{k}[/mm] steht für alle Einträge in
> der Matrix, da diese alle gleich sind... Das [mm]a:=a_{max}[/mm] hab
> ich ausgeklammert und einfach hoch k genommen, dann blieb
> anfangs für die Matrix nur einsen übrig, was sehr viel
> einfacher war zu berechnen, aber seht selbst:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{a^{k}m^{k}}{k!}[/mm]
Hallo,
das sollen dich jetzt die jeweiligen Einträge der Matrix $ [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{A^{k}}{k!} [/mm] $ sein, verstehe ich das richtig?
Wenn ich mich nicht sehr täusche ist da noch ein kleiner Fehler drin, prüfe die Exponenten.
Das Ganze sieht jedenfalls der Exponentialreihe recht ähnlich (wenn man bis [mm] \infty [/mm] summiert).
Deine Begründung mit dem Quotientenkriterium ist in Ordnung.
Du zeigst, daß die Folge der Matrixeinträge konvergiert, und somit ist sie beschränkt - wie gesagt, guck nochmal bei den Exponenten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Caroline |
Achja, da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen, also der Exponent von der Spaltenanzahl bzw. von "m" muss um 1 verringert werden, also "k-1"! Und nun müsste ja auch das Quotientenkriterium trotzdem noch funktionieren, dann wäre ich fertig, oder?
DANKE nochmal
Allerdings weiß ich immer noch nicht wie ich das geschickt mit der Exponentialfunktion abschätzen kann, also die einzige Idee ist, dass jeder Eintrag der Matrix immer kleiner gleich [mm] e^{am^{(\bruch{k-1}{k})}} [/mm] ist, oder? Naja ist auch egal, mich würde nur noch mal interessieren wie du dies gemeint hast, weil eine abschätzung, dass alle einträge <= [mm] e^{a_{max}} [/mm] sind, bekomm ich irgendwie nicht hin...
LG
Caro
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> Achja, da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen, also
> der Exponent von der Spaltenanzahl bzw. von "m" muss um 1
> verringert werden, also "k-1"!
Ja, das meinte ich.
Und nun müsste ja auch das
> Quotientenkriterium trotzdem noch funktionieren, dann wäre
> ich fertig, oder?
Ja.
Du hast für die Einträge v. [mm] e^A [/mm] ja
$ [mm] 1+\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{a^{k}m^{k-1}}{k!} [/mm] $ [mm] =1+\bruch{1}{m}\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{a^{k}m^{k}}{k!}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{1}{m}\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(am)^{k}}{k!}=
[/mm]
und in der Summe haben wir ja nahezu (Summationsindex) [mm] e^{am}.
[/mm]
Ich finde allerdings das, was Du gemacht hast - also ohne den Summenwert - recht schön.
Ich würd's an Deiner Stelle nicht ändern.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Caroline |
ok, nochmals vielen vielen vielen vielen vielen dank
Liebe Grüße
Caro
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hallo,
ich denke, was gemeint ist, ist das du [mm] a_{max} [/mm] überall in die matrix einsetzt. jetzt bilde mal das quadrat dieser matrix, das lässt sich überblicken.
aber eins bleibt zu fragen:
die funktion bildet doch von [mm] R^{nxn} [/mm] nach [mm] R^{nxn} [/mm] ab, das heit da kommt doch wieder ne matrix raus. wann ist denn eine matrix größer als eine andere? gibts da ein anordnungsaxiom? weil man muss ja zeigen, dass [mm] e^{A}\le e^{A_{max}} [/mm] wenn [mm] A_{max} [/mm] die matrix mit [mm] a_{max} [/mm] auf allen einträgen bezeichnet.
gruß,
Bene
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> aber eins bleibt zu fragen:
> die funktion bildet doch von [mm]R^{nxn}[/mm] nach [mm]R^{nxn}[/mm] ab, das
> heit da kommt doch wieder ne matrix raus. wann ist denn
> eine matrix größer als eine andere?
Hallo,
es geht nicht um die "Größe" der Matrix, sondern darum, daß die Einträge von [mm] e^A [/mm] beschränkt sind.
Gruß v. Angela
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ich dachte ihr wüsstet das (kleiner scherz 