Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,
ich bin auf eine Aufgabe gestoßen:
Gibt es eine Zahl $k [mm] \in \IN$ [/mm] , mit $k [mm] \ge [/mm] 1$, für die das k-fache Produkt [mm] A^k [/mm] der Matrix mit sich selbst die Einheitsmatrix ergibt?
Ich würde folgendes sagen, ja gibt es. Aber warum kann ich nicht begründen.
Wie ist es wirklich?
Danke
Gruß Thomas
|
|
| |
|
Hallo!
ja, natürlich gibt es sowas, das hängt aber sehr von deiner Matrix ab. Insbesondere die Drehmatrix macht das doch. Wenn du eine Drehmatrix mit 10° betrachstest, kommst du nach k=36 Anwendungen doch bei 360° Gesamtdrehung wieder am Ursprungsort an.
Es gibt natürlich noch andere Matrizen, z.B. Spiegelungen, aber letztendlich zeigen nur die wenigsten Matrizen so ein Verhalten.
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> ja, natürlich gibt es sowas, das hängt aber sehr von deiner
> Matrix ab. Insbesondere die Drehmatrix macht das doch. Wenn
> du eine Drehmatrix mit 10° betrachstest, kommst du nach
> k=36 Anwendungen doch bei 360° Gesamtdrehung wieder am
> Ursprungsort an.
>
>
> Es gibt natürlich noch andere Matrizen, z.B. Spiegelungen,
> aber letztendlich zeigen nur die wenigsten Matrizen so ein
> Verhalten.
Hi danke für deine Hilfe!
Wie könnte denn so eine Drehmatrix aussehen, also ein ganz ganz einfaches Beispiel dazu?
Danke
Gruß Thomas
|
|
|
| |
|
Naja, die Drehmatrix ist einfach
[mm] \pmat{\cos\alpha & \sin \alpha \\ -\sin\alpha &\cos\alpha}
[/mm]
Hier kannst du direkt beliebige Drehwinkel eintragen.
Und dann gibt es ja noch spezielle Winkel, für die sin und cos ganz spezielle werte annehmen, z.B. für 30°, 45°, 60°, 90°. Für 45 ° erbegen sowohl sinus als auch cosinus [mm] $1/\wurzel{2}$, [/mm] bei den 30° und 60° war das irgendwas mit [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Somit ist die 90°-Drehmatrix z.B.
[mm] \pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Sa 10.02.2007 | | Autor: | KnockDown |
> Naja, die Drehmatrix ist einfach
>
> [mm]\pmat{\cos\alpha & \sin \alpha \\ -\sin\alpha &\cos\alpha}[/mm]
>
> Hier kannst du direkt beliebige Drehwinkel eintragen.
>
> Und dann gibt es ja noch spezielle Winkel, für die sin und
> cos ganz spezielle werte annehmen, z.B. für 30°, 45°, 60°,
> 90°. Für 45 ° erbegen sowohl sinus als auch cosinus
> [mm]1/\wurzel{2}[/mm], bei den 30° und 60° war das irgendwas mit
> [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
> Somit ist die 90°-Drehmatrix z.B.
>
> [mm]\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}[/mm]
Hi,
danke für die gute Erklärung! Sowas hatten wir noch nicht, aber interessant zu wissen :)
Danke!
|
|
|
|
