Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Do 06.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi
Also erstmal eine def. zur Nilpotene:
Eine Martix A [mm] \in [/mm] M(n;K) heißt nilpotente, falls eine natürliche Zahl t existiert, für die [mm] A^{t} [/mm] die Nullmatrix ist.
Also z.b. A = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
dann ist z.b. [mm] A^{3} [/mm] die Nullmatrix.
Jetzt sollen wir beweißen, das wenn A,B [mm] \in [/mm] M(n;K) nilpotent und A * B = B * A gilt, dann gilt auch A + B nilpotent
wie kann man sowas beweisen
mfg
Thomas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi Thomas
unter der vorraussetzung, dass die matrizen kommutieren, also dass [m] A \cdot B = B \cdot A [/m] gilt, gilt auch für matrizen die binomische formel
[m] (A + B)^t = \sum_{k = 0}^t \binom{t}{k} A^{t-k}B^k [/m]
(ohne obige vorrausstzung ist diese aber i.a. falsch!). wenn du nun weißt, dass [m] A^m = 0 [/m] und [m] B^n = 0 [/m], wie könnte man dann das [m] t \in \mathbb{N} [/m] geschickt wählen, so dass jeder summand in obiger binomischer formel verschwindet?
probiere mal etwas herum, wenn du nicht weiterkommen solltest, melde dich einfach nochmal.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Do 06.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Also:
[mm] A^{m} [/mm] = 0
[mm] B^{n} [/mm] = 0
Also t= max(m, n)?
dann ist (A + [mm] B)^{t} [/mm] die Nullmatrix
also ist dann A + B nilpotent
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich befürchte nein, denn sei [m] m = n = 2 [/m], dann ist [m] (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 = 2AB [/m] und über diese matrix weißt du ja leider nichts! du musst dein $t$ also soviel größer wählen, damit zumindest eine der matrizen immer zu null wird.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Do 06.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
hab noch mal in die unterlagen bei mir geguckt,
kann es t= 2*max(m,n) sein?
aber wieso muss das unbedingt 2 * sein?
Danke für deine Hilfe...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
probiere mal [m] t = m + n [/m] - oder wenn du es schöner und komplizierter haben willst: [m] t = \textrm{kgV} \, (m, n ) [/m]!
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Do 06.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Thomas!
Wie kommt man auf [mm] $t=2\max(m,n)$?
[/mm]
Antwort (in Andreas Notation):
Wenn $k [mm] \ge [/mm] n$ ist, dann ist [mm] $B^k=0$.
[/mm]
Andernfalls ist
$t-k [mm] \ge [/mm] t - n [mm] \ge 2\max(m,n) [/mm] - [mm] \max(m,n) [/mm] = [mm] \max(m,n) \ge [/mm] m$,
also:
[mm] $A^{t-k} [/mm] = 0$.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:17 Do 06.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Danke für eure schnellen Antworten. Hab aber noch eine andere Frage
exp(A) ist invertierbar und A ist eine Nilpotente Matrix
gibt es irgendeine Formel für die inverse Matrix [mm] exp(A)^{-1}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich verstehe die Frage jetzt nicht so ganz.
[mm] $\exp(A)$ [/mm] ist doch immer (d.h. für jede [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix $A$) invertierbar, mit [mm] $[\exp(A)]^{-1} [/mm] = [mm] \exp(-A)$,
[/mm]
wegen
[mm] $\exp(A) \cdot \exp(-A) [/mm] = [mm] \exp(A-A) [/mm] = [mm] \exp(0) [/mm] = [mm] E_n$.
[/mm]
Was meintest du also genau?
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Fr 07.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Gegeben ist eine Matrix A [mm] \in [/mm] M (n;K) nilpotent und K sei ein Körper der Charakteristik 0.
Also: Für jede nilpotente Matrix A ist exp(A) invertierbar;
geben Sie eine Formel für die inverse Matrix [mm] exp(A)^{-1} [/mm] an.
Kann das sein das für eine Nilpotente Matrix z.b.
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 & 0 \\ b & c & 0 & 0 \\ d & e & f & 0}
[/mm]
die inverse dazu so aussieht?
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -a & 0 & 0 & 0 \\ b & -c & 0 & 0 \\ -d & e & -f & 0}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Sa 08.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
hi,
ohne hier eingreifen zu wollen:
Die Antwort auf deine erste Frage wurde schon genannt:
$ [mm] [\exp(A)]^{-1} [/mm] = [mm] \exp(-A) [/mm] $
zu deiner zweiten:
die unteren Dreiecksmatrizen kann man nicht invertieren, da sie keinen vollen Rang haben und somit nicht surjektiv (=bijektiv hier) sind.
aber wenn du noch auf die Diagonale überall Einsen malst, dann kannst du die resultierende Matrix invertieren, indem du den unteren Teil negierst (aber alle unteren Einträge !)
Die Dinger heißen - glaube ich - Frobenius-Matrizen
|
|
|
|
