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| Aufgabe | | Für die Körper K=R und [mm] K=F_3 [/mm] betrachten sie die Matrix [mm] A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 2-a \end{pmatrix} \in\ [/mm] M(3x4,K). Bestimmen sie die Lösungsraum von [mm] A*x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] in Abhängigkeit von Parameter a. |
Diese Matritze macht mit seit paar Tagen Kopfschmerzen. Bin bestimmt auf mehr als zehn verschiedenen Lösungen draufgekommen, die letzt endlich trotzdem falsch sind.. Vllt kann mir vllt jemand helfen wie ich die Matritze richtig lösen kann..
Also das erste Schritt ist klar:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 2-a \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Dann erste Zeile minus zweite, und ertse Zeile minus dritte: [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1-a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & -1-a \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
so folgt: [mm] x_2=\bruch{1}{1-a}
[/mm]
Die weiteren verschiedenen Schritten haben mich immer auf falsche Ergebnisse gebracht (((
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Di 08.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Für die Körper K=R und [mm]K=F_3[/mm] betrachten sie die Matrix
> [mm]A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 2-a \end{pmatrix} \in\[/mm]
> M(3x4,K). Bestimmen sie die Lösungsraum von
> [mm]A*x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] in
> Abhängigkeit von Parameter a.
> Diese Matritze
Matrix !
> macht mit seit paar Tagen Kopfschmerzen.
> Bin bestimmt auf mehr als zehn verschiedenen Lösungen
> draufgekommen, die letzt endlich trotzdem falsch sind..
> Vllt kann mir vllt jemand helfen wie ich die Matritze
> richtig lösen kann..
> Also das erste Schritt ist klar:
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 2-a \end{pmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> Dann erste Zeile
> minus zweite, und ertse Zeile minus dritte: [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1-a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & -1-a \end{pmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
rechts unten sollte a-1 stehen.
> so folgt:
> [mm]x_2=\bruch{1}{1-a}[/mm]
Aber nur, wenn a [mm] \ne [/mm] 1
Wenn a=1 iast, so ist das LGS unlösbar !
> Die weiteren verschiedenen Schritten haben mich immer auf
> falsche Ergebnisse gebracht (((
Zeig Deine weiteren Schritte !
FRED
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Stimmt, also: [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1-a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & a-1 \end{pmatrix} [/mm] * x = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
dann habe ich versucht auf verschiedene Weise vorzugehen; z.B. wenn man erste Zeile mit (1-a) multipliziert, dann zuerst zweite zeile minus erste, danach dritte plus erste, bekommt man: [mm] \begin{pmatrix} a-1 & 0 & 0 & 2a-2 \\ 0 & 1-a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & a-1 \end{pmatrix} [/mm] * x = [mm] \begin{pmatrix} 1-a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
wenn ich weiter versuche was zuendern, bringt mir nichts ((
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ne, darasu kommt: [mm] \begin{pmatrix} a-1 & 0 & 0 & 2a-2 \\ 0 & 1-a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & a-1 \end{pmatrix} [/mm] * x = [mm] \begin{pmatrix} 1+a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Kann (oder muss) ich vllt. dann einen Parameter b für [mm] x_4 [/mm] wählen? dann ist meine Gleichungssystem:
[mm] x_1(a-1)+(2a-2)b=1+a
[/mm]
[mm] x_2(1-a)=1
[/mm]
[mm] x_3(1-a)+(a-1)b=1
[/mm]
Dann nach Umformungen:
[mm] x_1=\bruch{1+a}{a-1} [/mm] +2b
[mm] x_2=\bruch{1}{1-a}
[/mm]
[mm] x_3=\bruch{1}{1-a}+b [/mm]
[mm] x_4=b [/mm]
Könnte es die Lösungsmenge sein, oder habe ich wieder was falsch gemacht?
LG Valeria
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Di 08.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Valeria,
> ne, darasu kommt: [mm]\begin{pmatrix} a-1 & 0 & 0 & 2a-2 \\ 0 & 1-a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & a-1 \end{pmatrix}[/mm]
> * x = [mm]\begin{pmatrix} 1+a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Kann (oder muss) ich vllt. dann einen Parameter b für [mm]x_4[/mm]
> wählen? dann ist meine Gleichungssystem:
> [mm]x_1(a-1)+(2a-2)b=1+a[/mm]
> [mm]x_2(1-a)=1[/mm]
> [mm]x_3(1-a)+(a-1)b=1[/mm]
> Dann nach Umformungen:
> [mm]x_1=\bruch{1+a}{a-1}[/mm] +2b
> [mm]x_2=\bruch{1}{1-a}[/mm]
> [mm]x_3=\bruch{1}{1-a}+b[/mm]
> [mm]x_4=b[/mm]
> Könnte es die Lösungsmenge sein, oder habe ich wieder was
> falsch gemacht?
Für [mm] $a\not=1$ [/mm] und [mm] K=$\IR$ [/mm] ist das mit $b [mm] \in \IR$ [/mm] die Lösungsmenge.
>
> LG Valeria
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Di 08.01.2013 | | Autor: | ValeriaMM |
danke schön!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Di 08.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Valeria,
> Stimmt, also: [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1-a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & a-1 \end{pmatrix}[/mm]
> * x = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann habe
> ich versucht auf verschiedene Weise vorzugehen; z.B. wenn
> man erste Zeile mit (1-a) multipliziert, dann zuerst zweite
> zeile minus erste, danach dritte plus erste, bekommt man:
Wenn Du mit (1-a) multiplizieren willst, musst Du eine Fallunterscheidung
vornehmen.
Für [mm] $a\not= [/mm] 1$, ist es ok, denn dann ist [mm] $1-a\not= [/mm] 0$ und die Multiplikation eine Äquivalenzumformung.
Für a=1, setzt Du am besten für a 1 ein und siehst dann, was das bewirkt.
(löst das so entstehende Gleichungssystem)
> [mm]\begin{pmatrix} a-1 & 0 & 0 & 2a-2 \\ 0 & 1-a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & a-1 \end{pmatrix}[/mm]
> * x = [mm]\begin{pmatrix} 1-a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> wenn ich weiter versuche was zuendern, bringt mir nichts ((
Ja, diese Umformungen bringen Dich nicht einer Lösung näher.
Gruß
meili
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