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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Mo 06.10.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute,
ich muss nachträglich noch einen Zettel für die kommende Klausur bearbeiten.
Steh leider total auf dem Schlauch:
Sei [mm] A\in \IR^{m x n} [/mm] mit [mm] m\ge [/mm] n und sei Rang(A)=n. A besitzt die QR-Zerlegung A=QR mit einer orthogonalen Matrix Q [mm] \in \IR^{m x m} [/mm] und einer oberen Dreiecksmatrix R [mm] \in \IR^{m x n}.
[/mm]
zu zeigen:
1. [mm] A^{T}A [/mm] ist symmetrisch und positiv definit.
Die Symmetrie ist wohl schnell gezeigt: [mm] (A^{T}A)^{T}=A^{T}(A^{T})^{T}=A^{T}A
[/mm]
Zur positiven Definitheit fällt mir ein, dass eine symmetrische Matrix genau dann positiv definit ist, wenn die Hauptminoren alle >0 sind.
Ich kann schreiben: [mm] A^{T}A=(QR)^{T}QR=R^{T}Q^{T}QR=R^{T}R
[/mm]
Ich weiß, dass R eine obere Dreiecksmatrix ist... aber wie kann ich das mit dem obigen Kriterium kombinieren?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Mo 06.10.2014 | | Autor: | Paivren |
Nachtrag: Die Aufgabe besagt weiter, dass ich danach zeigen soll, dass [mm] A^{T}A [/mm] die Cholesky-Zerlegung [mm] R^{T}R [/mm] hat.
Das hab ich da oben schon gemacht; die positive Definitheit muss also irgendwie anders gezeigt werden...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mo 06.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
um die positive Definitheit zu zeigen betrachte die quadratische Form [mm] $Q_{A^TA}(x)=x^TA^TAx, [/mm] \ x [mm] \in \IR^n$ [/mm] und beachte $Rang(A)=n$.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 06.10.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo andy,
danke für deine Antwort.
Kann ich sagen, dass [mm] A^{T}A [/mm] quadratisch ist mit vollem Rang n (denn der Rang von A ist auch der Rang von [mm] A^{T}A), [/mm] und dass deshalb alle Eigenwerte >0 sind und [mm] A^{T}A [/mm] demnach positiv definit ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mo 06.10.2014 | | Autor: | andyv |
Du behauptest also, dass jede quadratische (reelle) Matrix, die vollen Rang hat strikt positive Eigenwerte besitzt?
Die Aussage ist sicherlich falsch und man kann sich leicht Gegenbeispiele überlegen.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mo 06.10.2014 | | Autor: | Paivren |
Hm, hatte die Behauptung durch schnelles Googlen in einem anderen Forum gefunden.
Dann hab ich aber leider keine Ahnung. Auch nicht, wie die Definitheit mit dem Rang zusammenhängt.
In dem einen Modul lineare Algebra, das ich hatte, wurde das leider nicht hergeleitet x(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Mo 06.10.2014 | | Autor: | andyv |
Rang(A)=n brauchst du (nur) für die Implikation [mm] $x\neq [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Ax [mm] \neq [/mm] 0$.
Ohne diese Voraussetzung wäre $A^TA$ zwar positiv (bzw. positiv semidefinit), aber nicht positiv definit.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mo 06.10.2014 | | Autor: | Paivren |
Ok,
dann versuch ich es mal so:
[mm] x^{T}AA^{T}x=(A^{T}x)^{T}A^{T}x [/mm] = [mm] ||A^{T}x||^{2} [/mm] (Skalarprodukt).
Die Norm ist aber immer [mm] \ge [/mm] 0.
Ist nun der Rang voll, so ist das LGS [mm] A^{T}x=y [/mm] eindeutig lösbar, aus x [mm] \not=0 [/mm] folgt dann [mm] A^{T}x \not= [/mm] 0 und damit [mm] ||A^{T}x||^{2} [/mm] > 0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Mo 06.10.2014 | | Autor: | andyv |
Jetzt hast du dich bei der Transposition vertan, du willst die positive Definitheit von $A^TA$, nicht von [mm] $AA^T$ [/mm] zeigen.
Nebenbei bemerkt ist auch $A^Tx=y$ nicht eindeutig lösbar, $Ax=y$ dagegen sehr wohl.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 06.10.2014 | | Autor: | Paivren |
Oh, stimmt, dann muss ich das noch Umkehren, damit es passt!
Danke Dir schon mal!
Der letzte Teil der Aufgabe lautet:
Zeige:
x' [mm] \in \IR^{n} [/mm] löst das lineare Ausgleichsproblem
[mm] (||Ax-b||_{2})^{2} [/mm] = min mit x [mm] \in \IR^{n} [/mm]
genau dann, wenn
x' Lösung des LGS [mm] A^{T}Ax=A^{T}b [/mm] ist.
Mein Versuch: Sei x' Lösung von [mm] A^{T}Ax=A^{T}b.
[/mm]
Also [mm] A^{T}Ax'=A^{T}b \gdw A^{T}(Ax'-b)=0
[/mm]
Da [mm] A^{T}\not= [/mm] 0 (sonst wäre die Aufgabe ja eh trivial) ist dann Ax'-b=0.
Dann ist erst recht [mm] (||Ax'-b||_{2})^{2}=0 \le (||Ax-b||_{2})^{2} [/mm] für alle [mm] x\in \IR^{n}, [/mm] denn die Norm bildet nur auf Zahlen [mm] \ge [/mm] 0 ab.
Sei nun [mm] (||Ax'-b||_{2})^{2} \le (||Ax-b||_{2})^{2}
[/mm]
[mm] \gdw ||Ax'-b||_{2} \le ||Ax-b||_{2}
[/mm]
In jedem Vektorraum V existiert eine Null, sodass ||0||=0 [mm] \le [/mm] ||v|| für v [mm] \in [/mm] V.
Also muss gelten [mm] ||Ax'-b||_{2}=0 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] Ax'-b=0 [mm] \gdw A^{T}Ax'=A^{T}b.
[/mm]
Geht das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mo 06.10.2014 | | Autor: | andyv |
>
>
> Der letzte Teil der Aufgabe lautet:
> Zeige:
>
> x' [mm]\in \IR^{n}[/mm] löst das lineare Ausgleichsproblem
>
> [mm](||Ax-b||_{2})^{2}[/mm] = min mit x [mm]\in \IR^{n}[/mm]
>
> genau dann, wenn
> x' Lösung des LGS [mm]A^{T}Ax=A^{T}b[/mm] ist.
>
>
> Mein Versuch: Sei x' Lösung von [mm]A^{T}Ax=A^{T}b.[/mm]
> Also [mm]A^{T}Ax'=A^{T}b \gdw A^{T}(Ax'-b)=0[/mm]
> Da [mm]A^{T}\not=[/mm] 0
> (sonst wäre die Aufgabe ja eh trivial) ist dann Ax'-b=0.
Nein, [mm] A^{T} [/mm] ist nicht unbedingt invertierbar.
> Dann ist erst recht [mm](||Ax'-b||_{2})^{2}=0 \le (||Ax-b||_{2})^{2}[/mm]
> für alle [mm]x\in \IR^{n},[/mm] denn die Norm bildet nur auf Zahlen
> [mm]\ge[/mm] 0 ab.
Das verstehe ich nicht. Es muss doch nicht $b [mm] \in [/mm] im(A)$ gelten.
>
> Sei nun [mm](||Ax'-b||_{2})^{2} \le (||Ax-b||_{2})^{2}[/mm]
Was heißt hier "Sei"? Die Ungleichung gilt doch ganz sicher nach Definition von x'.
> [mm]\gdw ||Ax'-b||_{2} \le ||Ax-b||_{2}[/mm]
>
> In jedem Vektorraum V existiert eine Null, sodass ||0||=0
> [mm]\le[/mm] ||v|| für v [mm]\in[/mm] V.
> Also muss gelten [mm]||Ax'-b||_{2}=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] Ax'-b=0 [mm]\gdw A^{T}Ax'=A^{T}b.[/mm]
>
> Geht das so?
Nein.
Mein Vorschlag: Zeige:
i) $dist(b, im [mm] (A))=\|Ax'-b\| \gdw b-Ax'\perp [/mm] Ax-Ax' \ [mm] \forall x\in \IR^n$
[/mm]
ii) [mm] $b-Ax'\perp [/mm] Ax-Ax' \ [mm] \forall x\in \IR^n \gdw [/mm] A^TAx'=A^Tb$.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 06.10.2014 | | Autor: | Paivren |
Oh Weh, das Distributivgesetz gilt nur dann, wenn die Matrix auch invertierbar ist, da man ja nicht dividiert, sondern mit dem Inversen multipliziert...
Ich verstehe Deinen Vorschlag aber nicht ganz.
Was bedeutet dist(x,y)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mo 06.10.2014 | | Autor: | andyv |
$dist(x,A)$ bezeichnet den Abstand vom Punkt x zur Menge A, also [mm] $dist(x,A):=\inf_{y \in A}\|x-y\|$
[/mm]
Vielleicht noch ein Tipp zur i): Für die eine Richtung addiere man eine 0 in geschickter Weise, für die andere Richtung verwende $dist(b, [mm] im(A))\le \|b-y\|$ [/mm] mit [mm] $y=Ax'+\frac{}{\|Ax\|^2}Ax$, [/mm] wo [mm] $Ax\neq [/mm] 0$.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mo 06.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh Weh, das Distributivgesetz gilt nur dann, wenn die
> Matrix auch invertierbar ist, da man ja nicht dividiert,
> sondern mit dem Inversen multipliziert...
was hat das mit dem Distributivgesetz zu tun?
Ich ahne, was Du sagen willst, aber sag' es doch bitte mit den richtigen
Worten. Meinetwegen rede auch von (nicht) nullteilerfrei (kennst Du solche
Begriffe in Ringen?).
Gruß,
Marcel
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