Matrix A genau Rang 1 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche Werte a,b,c,d aus den reellen Zahlen hat die Matrix
[mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Rang 1?
Vorkenntnisse über Determinanten, falls vorhanden, dürfen nicht verwendet werden. |
Also eine Matrix hat ja Rang=1 , wenn der Spaltenrang =1 ist und weil Spaltenrang= Zeilenrang ist, gilt das auch für Zeilenrang =1.
Meine Frage ist nun, ob ich auf dem richtigen Weg bin!
Insgesamt sind mir 8 Fälle eingefallen, für die der Rang der Matrix =1 ist.
1.Fall:
entweder a,b [mm] \not= [/mm] 0 und c,d = 0
oder a [mm] \not= [/mm] 0 und b,c,d = 0
oder b [mm] \not= [/mm] 0 und a,c,d =0
2.Fall:
c- [mm] \lambda [/mm] a = 0 und d- [mm] \lambda [/mm] b = 0 und a,b [mm] \not= [/mm] 0
3.Fall:
... usw.
ist dieser Ansatz richtig und kann ich das auch so aufschreiben? oder muss ich dann noch die jeweilige matrix dahinter malen?
Alle möglichen Fälle ,damit die Matrix A genau Rang=1 hat sind doch folgende:
[mm] \pmat{ a & b \\ 0 & 0 } \pmat{ a & 0 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & b \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ c & d } \pmat{ 0 & 0 \\ c & 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & d } \pmat{ a & 0 \\ c & 0 } \pmat{ 0 & b \\ 0 & d } [/mm]
liege ich damit richtig oder bin ich auf dem totalen holzweg? ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für welche Werte a,b,c,d aus den reellen Zahlen hat die
> Matrix
> [mm]A=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
> Rang 1?
> Vorkenntnisse über Determinanten, falls vorhanden, dürfen
> nicht verwendet werden.
> Also eine Matrix hat ja Rang=1 , wenn der Spaltenrang =1
> ist und weil Spaltenrang= Zeilenrang ist, gilt das auch für
> Zeilenrang =1.
> Meine Frage ist nun, ob ich auf dem richtigen Weg bin!
Hallo,
in Deiner Lösung nullt es zu stark, und weil Du so auf die Nullen fixiert bist, verlierst Du Fälle.
Überlegen wir kurz, was der Rang einer Matrix ist: das ist die Anzahl linear unabhängiger Spalten.
Deine Matrix hat also den Rang 1, wenn erstmal mindestens ein Eintrag von 0 verschieden ist (sonst hat man die Nullmatrix mit dem Rang 0), und wenn [mm] \vektor{a\\c} [/mm] und [mm] \vektor{b\\d} [/mm] linear abhängig sind.
Das mußt Du ausschlachten.
Es haben doch [mm] \pmat{ 1 & 5 \\ 3 & 15 } [/mm] sowie [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 5 & 10 } [/mm] auch den Rang 1.
Gruß v. Angela
> Insgesamt sind mir 8 Fälle eingefallen, für die der Rang
> der Matrix =1 ist.
>
> 1.Fall:
> entweder a,b [mm]\not=[/mm] 0 und c,d = 0
> oder a [mm]\not=[/mm] 0 und b,c,d = 0
> oder b [mm]\not=[/mm] 0 und a,c,d =0
>
> 2.Fall:
> c- [mm]\lambda[/mm] a = 0 und d- [mm]\lambda[/mm] b = 0 und a,b [mm]\not=[/mm] 0
>
> 3.Fall:
> ... usw.
>
> ist dieser Ansatz richtig und kann ich das auch so
> aufschreiben? oder muss ich dann noch die jeweilige matrix
> dahinter malen?
> Alle möglichen Fälle ,damit die Matrix A genau Rang=1 hat
> sind doch folgende:
> [mm]\pmat{ a & b \\ 0 & 0 } \pmat{ a & 0 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & b \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ c & d } \pmat{ 0 & 0 \\ c & 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & d } \pmat{ a & 0 \\ c & 0 } \pmat{ 0 & b \\ 0 & d }[/mm]
>
> liege ich damit richtig oder bin ich auf dem totalen
> holzweg? ;)
>
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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schonmal danke für die antwort!
aber das ist doch nicht falsch, nur weil da viele Nullen drin vorkommen oder? :P
Aber ich glaub das kann ich auch weglassen..
mein zweiter fall war ja
c= [mm] \lambda [/mm] a
d= [mm] \lambda [/mm] b
das ist dann ja die lineare abhängigkeit, und dann fällt ja eine zeile raus und ich hab Rang=1
also reichen ja quasi die Fälle:
[mm] \pmat{ a & b \\ \lambda a & \lambda b }
[/mm]
[mm] \pmat{ \lambda c & \lambda d \\ c & d }
[/mm]
[mm] \pmat{ a & \lambda b \\ c & \lambda c }
[/mm]
[mm] \pmat{ \lambda b & b \\ lambda d & d }
[/mm]
?
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> also reichen ja quasi die Fälle:
> [mm]\pmat{ a & b \\ \lambda a & \lambda b }[/mm]
> [mm]\pmat{ \lambda c & \lambda d \\ c & d }[/mm]
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> [mm]\pmat{ a & \lambda b \\ c & \lambda c }[/mm]
> [mm]\pmat{ \lambda b & b \\ \lambda d & d }[/mm]
Hallo!
Das mögen zwar die Fälle sein, aber ich glaube nicht dass das Sinn der Aufgabe ist. Die wollen am Ende sowas stehen haben: wenn
Term mit a..b..c..d = ....
Dann liegt Rang 1 vor.
Um sowas hinzubekommen, könntest du die Matrix doch mal auf Zeilenstufenform bringen. Wenn eine Matrix den Rang 1 haben soll und in Zeilenstufenform ist, kannst du dann ja in der zweiten Zeile ablesen was gelten muss.
Grüße,
Stefan.
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