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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:20 Mo 17.11.2008 | | Autor: | winkie |
| Aufgabe | Es sei die Matrix [mm] P_{x}=X(X^{T}X)^{-1}X^{T}. [/mm] Berechne das Produkt [mm] P_{x}P_{x} [/mm] analytisch ohne Zahlen. Das Ergebnis sollte ein Ausdruck von X Matrizen sein.
Zur Info: [mm] X=\pmat{1&2\\1&3\\1&6} [/mm] |
Hallo,
also ich hab bereits rausgefunden, dass das Produkt der beiden [mm] P_{x} [/mm] einfach wieder [mm] P_{x} [/mm] ist. Aber irgendwie bin ich noch nicht mit der Schreibweise zufrieden. Man kann bestimmt irgendwie mit Einheitsmatrizen oder durch intelligentes Zusammenfassen den Ausdruck verkürzen. Nur komm ich nicht drauf.
Zum Beispiel die Inverse von [mm] (X^{T}X). [/mm] Auseinanderreißen kann man das ja nicht, dazu müssten die einzelnen Bestandteile ja quadratische Matrizen sein.
Ob mir jemand Hinweise geben könnte? Bin für jeden dankbar!
Und wie immer: Frage nur in diesem Forum ;)
Beste Grüße
Mickel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Mo 17.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Es sei die Matrix [mm]P_{x}=X(X^{T}X)^{-1}X^{T}.[/mm] Berechne das
> Produkt [mm]P_{x}P_{x}[/mm] analytisch ohne Zahlen. Das Ergebnis
> sollte ein Ausdruck von X Matrizen sein.
Wenn du es hinschreibst, steht es auch schon da:
[mm] X(X^{T}X)^{-1}X^{T} \circ X(X^{T}X)^{-1}X^{T}
[/mm]
= [mm] X(X^{T}X)^{-1}(X^{T}X)(X^{T}X)^{-1}X^{T}
[/mm]
= [mm] X(X^{T}X)^{-1} \circ [/mm] I [mm] \circ X^{T}
[/mm]
= [mm] P_X
[/mm]
Du brauchst doch im wesentlichen nur das Assoziativgesetz.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Mo 17.11.2008 | | Autor: | winkie |
klar ;) jetzt zumindest!
Wenn man das ein bisschen verkompliziert und es so aussieht:
[mm] (I-P_{x})(I-P_{x}) [/mm] kann man es aber nicht mehr einfach hintereinander schreiben, also
[mm] (I-X(X^{T}X)^{-1}X^{T})*(I-X(X^{T}X)^{-1}X^{T}) [/mm] und die Klammern weglassen und [mm] X^{T}*I [/mm] zu [mm] X^{T} [/mm] zusammenfassen?
[mm] I=\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}
[/mm]
Schonmal danke für die schnelle Antwort eben!
Gruß
Mickel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Mo 17.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Wenn I die Einheitsmatrix sein soll, so ist
[mm] (I-P_x)(I-P_x) [/mm] = I [mm] -2P_x +P_x P_x [/mm] = [mm] I-P_x
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Mo 17.11.2008 | | Autor: | winkie |
danke danke ;)
hast du einfach [mm] a^2-2ab+b^2 [/mm] gemacht mit Matrizen? Schön, dass das funktioniert!
Besten Gruß
Mickel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mo 17.11.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> hast du einfach [mm]a^2-2ab+b^2[/mm] gemacht mit Matrizen? Schön,
> dass das funktioniert!
Naja, immer funktioniert das nicht, die Matrizen müssen schon kommutieren.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Mo 17.11.2008 | | Autor: | winkie |
Lustig, ich esse gerade wirklich ;)
danke nochmals für die Hilfen!!
Besten Gruß
Mickel
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