Matrix Spiegelung bezüglich g < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mo 27.02.2017 | | Autor: | Austinn |
| Aufgabe | Es sei g die Gerade im Raum ℝ3, die den Ursprung und den Punkt (1, 0,-3) enthält. Es sei E die Ebene, die orthogonal zu g ist und den Ursprung enthält.
b) Es sei φ die Spiegelung bezüglich g. Berechnen Sie die Matrix A, die φ in der Standardbasis darstellt. |
hallo zusammen,
ich brauche dringend Hilfe mit dieser Aufgabe. Sitze seit 2h dran, im Internet im und im Skript recherchiert aber leider habe ich keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen kann.
Könnte mir bitte einer/eine Schritt für Schritt erklären und zeigen, wie ich so eine Aufgabe lösen kann?
Danke im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mo 27.02.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Es sei g die Gerade im Raum ℝ3, die den Ursprung und den
> Punkt (1, 0,-3) enthält. Es sei E die Ebene, die
> orthogonal zu g ist und den Ursprung enthält.
Hast du denn die Gerade g und die Ebene schonmal aufgestellt?
Zur Kontrolle:
[mm] g:\vec{x}=\overrightarrow{OO}+\lambda\cdot\overrightarrow{OP}=\lambda\cdot\vektor{1\\0\\-3}
[/mm]
Da E sekrecht auf g stehen soll, kannst du den Richtungsvektor von g als Normalenvektor der Ebene nutzen. Als Stützvektor nutze den Ursprung, da dieser auch in E liegen soll. Dann solltest du
[mm] E:\left(\vec{x}-\vec{0}\right)\cdot\vektor{1\\0\\-3}=0
[/mm]
vereinfacht also:
[mm] E:\vec{x}\cdot\vektor{1\\0\\-3}=0
[/mm]
>
> b) Es sei φ die Spiegelung bezüglich g. Berechnen Sie die
> Matrix A, die φ in der Standardbasis darstellt.
> hallo zusammen,
>
> ich brauche dringend Hilfe mit dieser Aufgabe. Sitze seit
> 2h dran, im Internet im und im Skript recherchiert aber
> leider habe ich keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen
> kann.
> Könnte mir bitte einer/eine Schritt für Schritt
> erklären und zeigen, wie ich so eine Aufgabe lösen kann?
Spiegele nun mal die Einheitsvektoren an der Geraden.
Die Bilder sind die Spalten der Matrix A.
>
> Danke im voraus!
>
>
Beispiel:
Der Einheitsvektor [mm] \vec{e_{1}}=\vektor{1\\0\\0} [/mm] ergibt, sofern ich mich nicht verrechnet habe, an g gespiegelt den Bildvektor [mm] \vec{e_{1}}'=\vektor{-\frac{3}{4}\\0\\-\frac{3}{4}}
[/mm]
Die zweite Spalte der Matrix A ist das Bild von [mm] \vec{e_{2}}=\vektor{0\\1\\0}, [/mm] die dritte Spalte das Bild von [mm] \vec{e_{3}}=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Also bekommst du:
[mm] A=\pmat{-\frac{3}{4}&e_{2_{1}}'&e_{3_{1}}'\\0&e_{2_{2}}'&e_{3_{2}}'\\-\frac{3}{4}&e_{2_{3}}'&e_{3_{3}}'}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mo 27.02.2017 | | Autor: | Austinn |
Hallo Marius,
vielen Dank für deine Antwort!
Habe ein paar Fragen:
1) Ist das die Hesse- Normalform für E?
2) In welcher Form werden denn die Geradengleichung und die Hesse- Normalform für die Rechnung benötigt?
3)Mit welcher Rechnung bist du auf $ [mm] \vec{e_{1}}'=\vektor{-\frac{3}{4}\\0\\-\frac{3}{4}} [/mm] $
Danke für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Mo 27.02.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> Hallo Marius,
> vielen Dank für deine Antwort!
> Habe ein paar Fragen:
> 1) Ist das die Hesse- Normalform für E?
Nein, nur die Normalenform.
> 2) In welcher Form werden denn die Geradengleichung und
> die Hesse- Normalform für die Rechnung benötigt?
Du musst doch den Vektor [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] an g spiegeln.
Die Ebene brauchst du hier in dieser Teilaufgabe aber in der Tat nicht.
> 3)Mit welcher Rechnung bist du auf
> [mm]\vec{e_{1}}'=\vektor{-\frac{3}{4}\\0\\-\frac{3}{4}}[/mm]
>
Durch eine Spiegelung des Vektors [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] an g.
Das solltet ihr ja schonmal gemacht haben. Hier reicht sogar eine Punktspiegelung, da der Urpsrung (und damit dann auch der Startpunkt der Einheitsvektoren) auf g liegt. Daher musst du nur die Punkte [mm] P_{1}(1|0|0), P_{2}(0|1|0) [/mm] und [mm] P_{3}(0|0|1) [/mm] an der Geraden spiegeln.
Schritt 1: Erstelle eine Hilfsgerade, die durch den Punkt [mm] P_{1}geht, [/mm] und senkrecht auf g steht.
Schritt 2: Bestimme den Schnittpunkt F von g und der Hilfsgeraden.
Schritt 3: Berechne den Vektor [mm] \overightarrow{P_{1}F}
[/mm]
Schritt 4: Bestimme die Koordinaten von [mm] P_{1}' [/mm] über [mm] \overrightarrow{0P_{1}'}=\overrightarrow{0P_{1}}+2\cdot\overrightarrow{P_{1}F}
[/mm]
(denn der Punkt [mm] P_{1}' [/mm] liegt ja auf der anderen Seite von g gleichweit entfernt zu [mm] P_{1}
[/mm]
Der Vektor [mm] \overrightarrow{0P_{1}'} [/mm] ist dann der Bildvektor zum ersten Einheitsvektor. Dieser Vektor ist dann also die erste Spalte der Matrix A
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Di 28.02.2017 | | Autor: | Austinn |
Angenommen ich habe eine beliebige Ebene E bzw. eine Gerade g in der Parameterform mit der SELBEN Aufgabenstellung:
Es sei φ die Spiegelung bezüglich g bzw. E. Berechnen Sie die Matrix A, die φ in der Standardbasis darstellt.
Kann ich also hier wieder einfach die Punkte P(1, 0, 0) etc. einfach jeweils an g bzw. an E spiegeln und zu einer Matrix zusammenfassen.
Danke!
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> Angenommen ich habe eine beliebige Ebene E bzw.
> eine Gerade g in der Parameterform mit der SELBEN
> Aufgabenstellung:
> Es sei φ die Spiegelung bezüglich g bzw. E. Berechnen
> Sie die Matrix A, die φ in der Standardbasis darstellt.
> Kann ich also hier wieder einfach die Punkte P(1, 0, 0)
> etc. einfach jeweils an g bzw. an E spiegeln und zu einer
> Matrix zusammenfassen.
Hallo,
bei allen linearen Abbildungen bekommt man die Abbildungsmatrix bzgl der Standardbasis, indem man die Bilder der Standardbasisektoren bestimmt. Sie liefern die Spalten der gesuchten Matrix.
Aber aufgepaßt:
Spiegelungen an beliebigen Geraden bzw. Ebenen sind keine linearen Abbildungen.
Nur die Spiegelungen an Ebenen und Geraden, die durch den Ursprung gehen, sind lineare Abbildungen.
LG Angela
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In meinen beiden anderen Antworten habe ich dir schon gezeigt, wie man die Matrix für die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden bzw. an einer Ebene, die durch den Ursprung geht, bekommt, und die allgemeine Matrix angegeben.
Im konkreten Fall kann man auch mit einem Basiswechsel zum Ziel gelangen, was zwar nicht wesentlich einfacher ist, aber eine interessante Alternative. Mir ist es aber nicht gelungen, die Matrix dann allgemein zu entwickeln, wie in meinem anderen Beitrag.
Betrachten wir wieder g: [mm] \vec{x}=k*\vektor{1 \\ 0\\-3} [/mm] und hierzu zwei darauf senkrecht stehende, zueinander linear unabhängige Vektoren, z.B. [mm] \vec{y}=\vektor{3 \\ 0\\1} [/mm] und [mm] \vec{z}=\vektor{0 \\ 1\\0}. [/mm]
(Bemerkung: für einen allgemeinen Richtungsvektor von g lassen sich zwei solche dazu senkrechte Vektoren nur schwer angeben, da irgendwelche Komponenten des ersten Vektors 0 sein können und man hier mit Fallunterscheidungen arbeiten müsste.)
[mm] \vektor{1 \\ 0\\-3}, \vektor{3 \\ 0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1\\0} [/mm] bilden somit eine Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Da die gesuchte Spiegelung als lineare Abbildung vorausgesetzt werden kann, lässt sich jetzt jeder Ortsvektor in eine Linearkombination dieser 3 Vektoren zerlegen, die jeweils für sich linear abgebildet werden können. Die Komponente des ersten Vektors wird dann auf sich selbst abgebildet, da ein Punkt auf g dort liegen bleibt. Die zweite und dritte Komponente führt von diesem Punkt weg in den Raum und wird einfach umgeklappt ( mal -1) und damit in die entgegengesetzte Richtung von g weg geführt, also an g gespiegelt.
Fasst man somit die 3 Vektoren als neue Basis auf, wobei [mm] \vektor{1 \\ 0\\-3}, \vektor{3 \\ 0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1\\0} [/mm] auf [mm] \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} [/mm] bzw. [mm] \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix} [/mm] bzw. [mm] \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix} [/mm] mit Hilfe einer Matrix T transformiert werden, lässt sich dieser Vorgang ganz leicht beschreiben.
Nach oben gesagtem werden nun diese 3 Vektoren mit der Matrix B auf [mm] \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} [/mm] bzw. - [mm] \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix} [/mm] bzw. - [mm] \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix} [/mm] abgebildet. Danach transformiert man das Ergebnis wieder mit [mm] T^{-1} [/mm] auf die Standardbasis zurück.
Nun sieht man leicht, dass B = [mm] \pmat{ 1 & 0& 0 \\ 0 & -1 &0\\0 & 0& -1}. [/mm] Genau so einfach sieht man, dass [mm] T^{-1} [/mm] die Vektoren in eckigen Klammern wieder auf die 3 Ausgangsvektoren zurücktransformieren muss, daher kann man sofort ablesen:
[mm] T^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3& 0 \\ 0 & 0 &1\\-3 & 1& 0}. [/mm] Mit etwas Aufwand errechnet man daraus das Inverse T = [mm] \pmat{ 0,1 & 0& -0,3 \\ 0,3 & 0 &0,1\\0 & 1& 0}.
[/mm]
Insgesamt ergibt sich nun: ein beliebiger Ortsvektor wird zunächst mit T auf die neue Basis transformiert, dann mit B auf den Spiegelpunkt abgebildet und seine Koordinaten dann mit [mm] T^{-1} [/mm] zurücktransformiert. Damit wird die Gesamtabbildung durch die Matrix A = [mm] T^{-1} [/mm] * B * T abgebildet.
A = [mm] \pmat{ 1 & 3& 0 \\ 0 & 0 &1\\-3 & 1& 0} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0& 0 \\ 0 & -1 &0\\0 & 0& -1} [/mm] * [mm] \pmat{ 0,1 & 0& -0,3 \\ 0,3 & 0 &0,1\\0 & 1& 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3& 0 \\ 0 & 0 &1\\-3 & 1& 0} [/mm] * [mm] \pmat{ 0,1 & 0& -0,3 \\- 0,3 & 0 &- 0,1\\0 & -1& 0} [/mm] = [mm] \pmat{ -0,8 & 0& -0,6 \\0 & -1 &0\\- 0,6 & 0& 0,8}
[/mm]
Dieses A ist dann die Matrix für den Vorgang bezüglich der Standardbasis.
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Eine Spiegelung an der Geraden g: [mm] \vec{x}= k*\vektor{1 \\ 0 \\ -3} [/mm] läuft anschaulich folgendermaßen ab:
Von einem beliebigen Punkt P(x|y|z) im Raum gehst du zu g mit einem Vektor, der senkrecht zu g steht. Dort triffst du den Lotfußpunkt L. Dann gehst du von P aus (nochmals) mit dem doppelt so langen Vektor los und gelangst über L hinaus auf das gesuchte Spiegelbild.
a) Der Vektor von P(x|y|z) zu einem noch unbekannten Punkt L(k|0|-3k) auf g hat die Komponenten [mm] \vektor{k-x \\ 0-y\\-3k-z}.
[/mm]
b) Da dieser Vektor senkrecht auf g stehen soll, muss gelten:
[mm] \vektor{k-x \\ -y\\-3k-z}* \vektor{1 \\ 0\\-3}=0, [/mm] also k-x+0+9k+3z=0, also 10k=x-3z und somit k=0,1x-0,3z.
c) Der Lotfußpunkt L heißt somit L(0,1x-0,3z|0|-0,3x+0,9z).
d) Der Vektor von P zu L heißt somit [mm] \vektor{-0,9x-0,3z \\ -y\\-0,3x-0,1z}.
[/mm]
d) Diesen Vektor gehen wir jetzt 2mal von P [mm] weg:\vektor{x \\ y\\z}+2*\vektor{-0,9x-0,3z \\ -y\\-0,3x-0,1z}=\vektor{-0,8x-0,6z \\ -y\\-0,6x+0,8z}. [/mm] Somit liegt der Spiegelpunkt P' bei P'(-0,8x-0,6z|-y|-0,6x+0,8z).
e) Nun suchen wir nur noch die Matrix A, die P auf P' abbildet:
[mm] A*\vektor{x \\ y\\z}=\vektor{-0,8x-0,6z \\ -y\\-0,6x+0,8z}.
[/mm]
Man sieht sofort: A = [mm] \pmat{ -0,8 & 0 & -0,6 \\ 0 & -1 & 0 \\-0,6 & 0 & 0,8\\ }.
[/mm]
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Mit dem selben Vorgehen lässt sich allgemein die Spiegelmatrix bestimmen: Geht die Gerade g: [mm]\vec{x}= k*\vektor{a \\ b \\ c}[/mm] durch den Ursprung, so ist die Matrix A für die Spiegelung an g:
A = [mm]\bruch{1}{a^2+b^2+c^2} *\pmat{ a^2-b^2-c^2 & 2ab & 2ac \\ 2ab & b^2-a^2-c^2 &2bc \\2ac & 2bc & c^2-a^2-b^2\\ }.[/mm]
Geht g nicht durch den Ursprung, kommt man nicht mit einer Matrizenmultiplikation aus. Man geht so vor:
g: [mm] \vec{x}= \vec{a}+k*\vec{v}
[/mm]
a) Man verschiebt die ganze Ebene mit [mm] -\vec{a}, [/mm] so, dass der Stützpunkt nun im Ursprung liegt.
b) Dann spiegelt man an [mm] \vec{v} [/mm] mit obiger Matrix. (a, b, c sind die Komponenten von [mm] \vec{v}.)
[/mm]
c) Anschließend schiebt man die ganze Ebene wieder mit [mm] \vec{a} [/mm] in die Ursprungslage zurück.
[mm] A*(\vec{x}-\vec{a})+\vec{a}= A*\vec{x} [/mm] - [mm] A*\vec{a}+\vec{a}
[/mm]
Zu [mm] A*\vec{x} [/mm] muss also noch jeweils der feste Vektor [mm] (E-A)*\vec{a} [/mm] addiert werden.
Aus der Spiegelung an g ergibt sich nun mit Leichtigkeit die Spiegelung an einer Ebene E, falls diese durch den Ursprung geht:
Sei [mm] \vec{n}=\vektor{a \\ b \\ c} [/mm] der Normalenvektor von E. Wir stellen uns diesen als Richtungsvektor einer Ursprungsgeraden g [mm] \perp [/mm] E vor. Dann spiegeln wir zunächst den Punkt P(x|y|z) mit obigem A an g und danach den erhaltenen Punkt am Ursprung. Damit haben wir P an E gespiegelt. Die letzte Operation entspricht einer Multiplikation mit (-1). Der ganze Vorgang entspricht damit nur einer Multiplikation mit (- A) statt mit A!
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