Matrix aufstellen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich bin auf diese Aufgabe gestoßen. Ich würde gerne Aufgabenteil a) rechnen.
So eine Aufgabe oder so ähnlich habe ich noch nicht gerechnet, aber ich sag jetzt mal was ich davon verstanden habe bzw. meine verstanden zu haben, vielleicht könnt ihr mir korrigieren, ergänzen oder bestätigen.
Zu a)
1. Eine Projektion ist also wie eine Matrix, die wenn ich Sie mit sich selbst "multipliziere" also zweimal die Funktion anwende, ergibt Sie sich selbst wieder. D. h. setze ich für x und y etwas in die Funktion ein und wende diese 2 mal an, kommt wieder der Anfangswert von x und y heraus, den ich anfangs eingesetzt habe.
2. Um diese an einem Beispiel zu zeigen, wollte ich jetzt eine Matrix aufstellen und die Matrix mit sich selbst multiplizieren.
Wie kann ich denn zu dieser Funktion eine Matrix aufstellen? Was mich stutzig macht, ist dass hier x+y addiert werden und dann durch 2 dividiert werden. Ich wüsste nicht so recht wie ich das in einer Matrix ausdrücken könnte. Ich habe mir dazu folgendes überlegt:
Eine Division ist das selbe wie eine Multiplikation mit einem Wert kleiner 1 --> Wenn ich den Wert x oder y mit 0,5 Multipliziere, dann kommt das selbe heraus wie wenn ich sie durch 2 Teile.
Jetzt bin ich mir bei folgender Überlegung nicht 100%ig sicher:
[mm] $\bruch{x-y}{2}=\bruch{x}{2}-\bruch{y}{2}=\bruch{x}{2}+\bruch{-y}{2}=0,5*x\ [/mm] \ +\ \ -0,5*y$ Das wäre dann die 1. Zeile der Matrix.
Stimmt diese Überlegung?
Danke für die Hilfe.
Gruß Thomas
Aufgabenstellung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Sa 17.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Teil a)
wenn Du die Definition der Funktion F nimmst, musst Du eine Matrix A bestimmen s.d.
[mm] A\vektor{x \\ y}=\vektor{\br{x-y}{2} \\ \br{y-x}{2}} [/mm] gilt.
Daraus sieht man das A folgende Form haben muss
[mm] A=\br{1}{2}\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
Mit dieser Matrix gilt auch A*A=A wie man durch nachrechnen bestätigen kann, also ist F eine Projektion.
mfg ullim
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Sa 17.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn A*A=A dann gilt für die Eigenwerte
[mm] Ax={\lambda}x [/mm] und
[mm] A*Ax=A*\lambda x=\lambda^2x [/mm] und [mm] A*Ax=Ax={\lambda}x
[/mm]
also folgt [mm] \lambda=\lambda^2, [/mm] also kommen nur die Eigenwerte [mm] \lambda=0 [/mm] und [mm] \lambda=1 [/mm] vor.
mfg ullim
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Sa 17.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn A eine Projektion ist, in der 0 kein Eigenwert ist, dann hat A nur den Eigenwert [mm] \lambda=1. [/mm] A ist diagonalisierbar, also ex. eine Matrix T mit
[mm] T^{-1}AT=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und deshalb gilt
[mm] A=T\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }T^{-1}=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Also ist die Einheitsmatrix die gesuchte Projektion.
mfg ullim
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