Matrix bezüglich Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Di 18.05.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, ich habe da eine Aufgabe, die eigentlich ganz einfach sein sollte...(für manche vielleicht):
Sei [mm]E_n[/mm] der Untervektorraum in [mm]C^°°[/mm][mm](\IR)[/mm]mit Basis [mm]B=\{x^ke^x \left| 0\le k \le n\}, n\in\IZ [/mm]. Bestimmen sie die Matrix des Differentialoperators [mm]\bruch{d}{dx} : E_n \to E_n[/mm] bezüglich der Basis B.
Lösungsansatz: Nun ich kann mir leider nicht viel darunter vorstellen, aber auf jeden Fall ist [mm]\bruch{d}{dx} (x^k e^x) = kx^{k-1} e^x + x^k e^x [/mm] Aber was ist die Matrix des Differentialoperators und was ist sie bezüglich der Basis B?
MfG Magician.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magician
> Hallo, ich habe da eine Aufgabe, die eigentlich ganz
> einfach sein sollte...(für manche vielleicht):
>
Ja, für mich scheint sie einfach zu sein. In der Regel verstehe ich allerdings die Aufgaben falsch (Wunschdenken), so dass sie automatisch einfach werden! 
> Sei [mm]E_n[/mm] der Untervektorraum in [mm]C^°°[/mm][mm](\IR)[/mm]mit Basis [mm]B=\{x^ke^x \left| 0\le k \le n\}, n\in\IZ [/mm]. Bestimmen sie die Matrix des Differentialoperators [mm]\bruch{d}{dx} : E_n \to E_n[/mm] bezüglich der Basis B.
>
> Lösungsansatz: Nun ich kann mir leider nicht viel darunter vorstellen,
Das sollte aber zuerst mal aus der Welt geschaffen werden! 
>aber auf jeden Fall ist [mm]\bruch{d}{dx} (x^k e^x) = kx^{k-1} e^x + >x^k e^x[/mm] Aber was ist die Matrix des >Differentialoperators und was >ist sie bezüglich der Basis B?
Ich will nur ein Paar ganz kleine Tipps geben. Vielleicht genügen dir diese ja.
Zuerst würde ich mir mal ein Paar Gedanken über die Basis machen Wieviele Basisvektoren gibt es? (Das ist dann auch die Dimension des gegebenen Vektorraumes).
Und wie sehen diese Basisvektoren aus?
Versuch doch mal, die ersten Paar Basisvektoren hinzuschreiben, wahrscheinlich am Besten in aufsteigender Reihenfolge mit $k$.
Oder vielleicht sogar alle Basisvektoren? Dann würde ich aber $n$ nicht zu gross wählen, vielleicht $n=5$
Zum Zweiten solltest du dir nochmals überlegen, wie denn die Matrix einer Abbildung zustande kommt. (War da nicht was mit "Bild der Basisvektoren" unter der gegebenen Abbildung, oder so ähnlich?)
Ich hoffe, diese ganz vagen Angaben helfen dir doch auf die Fährte!
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 18.05.2004 | | Autor: | Magician |
> Zuerst würde ich mir mal ein Paar Gedanken über die Basis machen
> Wieviele Basisvektoren gibt es? (Das ist dann auch die Dimension des
> gegebenen Vektorraumes).
Nun meiner Meinung nach, hängt die Anzahl Basisvektoren von n ab, also wenn ich n = 5 nehme, habe ich 5 Basisvektoren, entspricht dim = 5. Mein erster Basisvektor ist dann (1,0...), d.h. einmal die Abbildung an der Stelle k=1, mein zweiter ist dann (0,1,0....), d.h. 1 mal die Abbildung an der Stelle k=2, oder? Aber ich versteh das trotzdem nicht. Denn wie sieht denn meine Abbildung aus? Ich kann zwar die k te Ableitung bestimmen, das ist dann wohl die Abbildung in zeile k, oder was? Was ist denn die Matrix des Differentialoperators? Ich versteh das ganze nicht.
> Zum Zweiten solltest du dir nochmals überlegen, wie denn die Matrix
> einer Abbildung zustande kommt. (War da nicht was mit "Bild der
> Basisvektoren" unter der gegebenen Abbildung, oder so ähnlich?)
Was ist Bild der Basisvektoren? Ich habe leider nicht so viel Ahnung von Matrizen. Ich kann dir mal sagen, was ich weiß: Ich weiß das die Normalbasis (1,0...);(0,1,0..) usw. so aufgebaut ist. Und das eine Abbildung auf jede Koordinate eines Vektors eine Funktion ausübt. Abner was ist die Abbildung des Differentialoperators? MfG Magician.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magician
> > Zuerst würde ich mir mal ein Paar Gedanken über die Basis
> machen
> > Wieviele Basisvektoren gibt es? (Das ist dann auch die
> Dimension des
> > gegebenen Vektorraumes).
> Nun meiner Meinung nach, hängt die Anzahl Basisvektoren von
> n ab, also wenn ich n = 5 nehme, habe ich 5 Basisvektoren,
> entspricht dim = 5. Mein erster Basisvektor ist dann
Also gut, bleiben wir mal für die übrige Diskussion bei $n=5$
Nun, da sind einige Ungenauigkeiten drin!
Ich denke mal, wir machen das ausgehend von deiner jetzigen Antwort in ganz kleinen Schritten. Ich werde hier bleiben und möglichst rasch antworten. Mit der Bitte, dass, wenn du genug hast, dies auch ankündigst (Sonst warte ich vergeblich bis am Morgen )
Sage mir doch mal, von wo bis wo kann dann das $k$ laufen?
Für jedes $k$ gibt es dann einen Basisvektor, und die korrekte Dimension wird dann auch ersichtlich.
> (1,0...), d.h. einmal die Abbildung an der Stelle k=1, mein
> zweiter ist dann (0,1,0....), d.h. 1 mal die Abbildung an
> der Stelle k=2, oder? Aber ich versteh das trotzdem nicht.
Das ist nicht ganz richtig! Schau dir die Definition der Basisvektoren nochmals genau an, bitte.
Was du hier notiert hast, sind nicht die Basisvektoren, sondern die Koordinaten der Basisvektoren. Und die haben immer diese Form, egal wie die Basis auch aussieht!
Und noch was, bitte. Wenn wir uns für $n=5$ einigen, solltest du keine ...-Schreibweise machen, sondern alle Koordinaten des dargestellten Vektors angeben.
P.S. Es macht den Anschein, als ob diese Aufgabe auch gut zu gebrauchen ist, um den Unterschied zwischen Vektor und Koordinaten zu beleuchten!
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Di 18.05.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, vielen dank erstmal. Das k kann von 0 bis einschl. n laufen. Für k=1 ist der Basisvektor [mm] x^1*e^x, [/mm] und für k=2 ist der Basisvektor [mm] x^2*e^x [/mm] usw. Dies ist doch wohl richtig, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magician
ja, das ist richtig!
Mir fehlt aber noch die Angabe bezüglich Dimension.
Wie gross ist sie, wenn $n=5$ ist?
Und wenn $k$ einschliesslich $0$ laufen kann, was ist dann der Basisvektor für $k=0$?
Kannst du bitte für $n= 5$ mal die Basisvektoren untereinander schreiben, etwas so:
[mm] $b_1 [/mm] = ..$
[mm] $b_2 [/mm] = ..$
[mm] $b_3 [/mm] = ..$
...
...
...
Bitte selber bis zum Ende gehen (mit $n=5$)
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Di 18.05.2004 | | Autor: | Magician |
Die Dimension ist doch dann 6, da ich 5 verschiedene Basisvektoren habe, und für n=0 habe ich 1. Die 5 anderen sehen so aus:
[mm] b1=x^1e^1
[/mm]
[mm] b2=x^2e^2
[/mm]
[mm] b3=x^3e^3
[/mm]
[mm] b4=x^4e^4
[/mm]
[mm] b5=x^5e^5
[/mm]
Die jeweiligen b's stehen dann doch in der k-ten Zeile also für b1 in Zeile 1 und für b2 in Zeile 2 usw. also b1 sieht dann so aus: [mm]\begin{pmatrix} xe \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Di 18.05.2004 | | Autor: | Magician |
Ok mir ist ein kleiner Fehler unterlaufen für k=0, also b1 ist der Basisvektor dann[mm]\begin{pmatrix} e^x \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magician
> Ok mir ist ein kleiner Fehler unterlaufen für k=0, also b1
> ist der Basisvektor dann[mm]\begin{pmatrix} e^x \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
Nein, das stimmt nicht!
Schau nochmals die Definition der Basisvektoren genau an!
Trotzdem notiere ich sie jetzt mal hier:
[mm] $b1=e^x$
[/mm]
[mm] $b2=x*e^x$
[/mm]
[mm] $b3=x^2*e^x$
[/mm]
[mm] $b4=x^3*e^x$
[/mm]
[mm] $b5=x^4*e^x$
[/mm]
[mm] $b6=x^5*e^x$
[/mm]
Kannst du bitte mal die kleine Aufgabe Lösen: Wende doch mal den Operator (also nach x Ableiten), auf die 6 Basisvektoren an.
Kannst du die dann bitte auch untereinander notieren?
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Di 18.05.2004 | | Autor: | Magician |
Wie? Wir haben doch n = 5, also gibt es 6 verschiedene k, von 0 bis einschließl. 5. für jedes k gibt es ein Basisvektor, oder nicht? Somit haben wir 6 verschiedene Basisvektoren. Laut definition ist jeder Basisvektor für sein spezielles k, [mm] x^k*e^x. [/mm] Daraus folgt, [mm] e^x [/mm] bleibt konstant und [mm] x^k [/mm] läuft von 1 bis [mm] x^5. [/mm] Dies steht doch dann in der k ten Zeile. Wenn die Antwort von gerade eben nicht stimmt, dann kann der Basisvektor nur so aussehen, [mm]\begin{pmatrix} e^x \\ xe^x \\ x^2e^x \\ x^3e^x \\ x^4e^x \\ x^5e^x \end{pmatrix}[/mm] So weit war doch alles richtig oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Di 18.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magician
> Wie? Wir haben doch n = 5, also gibt es 6 verschiedene k,
> von 0 bis einschließl. 5. für jedes k gibt es ein
> Basisvektor, oder nicht? Somit haben wir 6 verschiedene
Ja, bis hierhin stimmt alles.
> Basisvektoren. Laut definition ist jeder Basisvektor für
> sein spezielles k, [mm] x^k*e^x. [/mm] Daraus folgt, [mm] e^x [/mm] bleibt
> konstant und [mm] x^k [/mm] läuft von 1 bis [mm] x^5. [/mm] Dies steht doch dann
> in der k ten Zeile. Wenn die Antwort von gerade eben nicht
> stimmt, dann kann der Basisvektor nur so aussehen,
> [mm]\begin{pmatrix} e^x \\ xe^x \\ x^2e^x \\ x^3e^x \\ x^4e^x \\ x^5e^x \end{pmatrix}[/mm]
> So weit war doch alles richtig oder?
>
Ja, aber ich kann mit dieser Darstellung nichts anfangen!
Ich habe ja die 6 Basisvektoren soeben untereinander geschrieben.
Die grossen Klammern passen mir überhaupt nicht!
Sicher siehst du das am Schluss dieser Aufgabe auch ein!
Wir haben ja 6 Basisvektoren, ganz unabhängig voneinander. Die sollst du nicht als Koordinaten eines Vektors schreiben.
Besser hättest du die Basisvektoren einfach in der Mengennotation aufgezählt, also so:
[mm] $\{e^x,x*e^x,x^2*e^x,x^3*e^x,x^4*e^x,x^5*e^x\}$
[/mm]
Ist das etwas klarer geworden?
Falls nicht, sollten wir trotzdem mit der Lösung der Aufgabe weiterfahren. Ich bin überzeugt, dass sich das klären wird!
Kannst du jetzt bitte noch meine kleine Aufgabe von vorhin lösen?
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Di 18.05.2004 | | Autor: | Magician |
Also um die Lösung deiner Aufgabe, mit ableiten hatte ich bisher keine Probleme, aber trotzdem: [mm] b_1=0, b_2=e^x, b_3=2xe^x, b_4=3x^2e^x, b_5=4x^3e^x [/mm] und [mm] b_6=5x^4e^x. [/mm] Nun aber, warum kann ich denn meine 6 b's nicht in Vektorschreibweise schreiben, es sind doch Basisvektoren oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magician
> Also um die Lösung deiner Aufgabe, mit ableiten hatte ich
> bisher keine Probleme, aber trotzdem: [mm] b_1=0, b_2=e^x, [/mm]
> [mm] b_3=2xe^x, b_4=3x^2e^x, b_5=4x^3e^x [/mm] und [mm] b_6=5x^4e^x. [/mm] Nun
Aber jetzt hast du sie, die Probleme damit.
> aber, warum kann ich denn meine 6 b's nicht in
> Vektorschreibweise schreiben, es sind doch Basisvektoren
> oder?
>
Darf ich diese Frage bitte zurückstellen?
Gut, nach meiner Rechnung gilt aber:
[mm] $b_1 [/mm] = [mm] e^x \Rightarrow b_{1}' [/mm] = [mm] e^x$
[/mm]
[mm] $b_2 [/mm] = [mm] x*e^x \Rightarrow b_{2}' [/mm] = [mm] e^x+x*e^x$
[/mm]
[mm] $b_3 [/mm] = [mm] x^2*e^x \Rightarrow b_{3}' [/mm] = [mm] 2x*e^x+x^2*e^x$
[/mm]
[mm] $b_4 [/mm] = [mm] x^3*e^x \Rightarrow b_{4}' [/mm] = [mm] 3x^2*e^x+x^3*e^x$
[/mm]
[mm] $b_5 [/mm] = [mm] x^4*e^x \Rightarrow b_{5}' [/mm] = [mm] 4x^3*e^x+x^4*e^x$
[/mm]
[mm] $b_6 [/mm] = [mm] x^5*e^x \Rightarrow b_{6}' [/mm] = [mm] 5x^4*e^x+x^5*e^x$
[/mm]
Klar? (Ableitung eines Produktes)
So, jetzt kommt aber bald das grosse Aha-Erlebnis.
Eigentlich sollte jeder Vektor unseres Vektorraumes als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden können.
Zum Beispiel:
[mm] $3x^2*e^x+x^3*e^x$ [/mm] (Das ist die erste Ableitung von [mm] $b_4$)
[/mm]
Das ist jetzt [mm] $3*b_{3}+b_4$
[/mm]
Man kann auch sagen: [mm] $b_4$ [/mm] wird unter Anwendung unserer Abbildung (nach x ableiten) auf den Vektor [mm] $3*b_{3}+b_4$ [/mm] abgebildet.
Ich habe da noch eine kleine Vorbereitungsaufgabe für dich:
Kannst du mal die Koordinaten der Basisvektoren notieren? Bitte jeden einzeln. Und dann noch die Koordinaten von diesem: [mm] $3*b_{3}+b_4$
[/mm]
Wäre nett und für das Weitere wichtig!
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Magician |
Nun gut, die Ableitung eines Produkts muss natürlich nach der Produkregel erfolgen, aber ich habe ehrlich gesagt die Aufgabe nur halbherzig bearbeitet, weil ich endlich wissen wollte worums geht, entschuldige mich.
Die Koordinaten sehen wie folgt aus:
für [mm] b_1:[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm],
für [mm] b_2:[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm],
für [mm] b_3:[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm],
für [mm] b_4:[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm],
für [mm] b_5:[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}[/mm],
für [mm] b_6:[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}[/mm],
für[mm] 3*b_{3}+b_4 [/mm] ist der Koordinatenvektor der gleiche wie für [mm] b_4.
[/mm]
Bitte Antworte noch einmal, ich werde dann ebenfalls nochmal Antworten, falls nötig, und dann lass uns das ganze auf morgen verschieben. Muss leider früh raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magician
> Nun gut, die Ableitung eines Produkts muss natürlich nach
> der Produkregel erfolgen, aber ich habe ehrlich gesagt die
> Aufgabe nur halbherzig bearbeitet, weil ich endlich wissen
> wollte worums geht, entschuldige mich.
> Die Koordinaten sehen wie folgt aus:
> für [mm] b_1:[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm],
>
> für [mm] b_2:[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm],
>
> für [mm] b_3:[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm],
>
> für [mm] b_4:[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm],
>
> für [mm] b_5:[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}[/mm],
>
> für [mm] b_6:[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}[/mm],
>
Gut!
> für[mm] 3*b_{3}+b_4[/mm] ist der Koordinatenvektor der gleiche wie
> für [mm] b_4.
[/mm]
>
Nein, ich habe ja die Summe: 3 Mal Vektor 3 + 1 Mal vektor 4. Müsste also so aussehen:
[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm]
> Bitte Antworte noch einmal, ich werde dann ebenfalls
> nochmal Antworten, falls nötig, und dann lass uns das ganze
> auf morgen verschieben. Muss leider früh raus.
>
Das ist aber schade. Wir sind nämlich gleich fertig!
Wir müssen nur noch das Folgende in Erinnerung rufen:
In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Koordinaten der Bilder der einzelnen Basisvektoren.
In der ersten Spalte also di Koordinaten von [mm] $b_{1}'$, [/mm] in der 4. Spalte also die Koordinaten von [mm] $b_{4}'$, [/mm] also
[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}[/mm]
Willst du das nicht noch schnell machen?
Ich weiss, das Ganze ist etwas langwierig, aber sicher nicht umsonst!
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Magician |
Nun gut, also müsste mein Vektor für [mm] b_5 [/mm] so aussehen: [mm] 4b_4 [/mm] + [mm] b_5 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} [/mm] Die Matrix welche gesucht wird, setzt sich dann aus den verschiedenen Vektoren zusammen, also spalte 5i ist dann wie oben. Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magician
Ja, genau!!
Endlich geschafft!
ich werde morgen noch einen kleinen Kommentar, so quasi eine Schlussbetrachtung machen. Jetzt aber: gute Nacht!
Und vielen Dank für deine Geduld! (Ich brauchte sie ja auch ein Wenig )
Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:05 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Magician |
Du musst nicht mir danken, sondern ich dir, für deine Geduld und Mühen. Ich wünsche auch dir eine gute Nacht und freu mich schon auf dein Schlusskommentar, denn ich muss alles morgen nochmal genau betrachten, wenn ich wieder richtig wach bin. Danke, Magician.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magician
der Vollständigkeit halber setze ich noch die Matrix, welche unsere Abbildung für den 6-dimensionalen Raum darstellt, hierhin.
Die angekündigte Schlussbemerkung sowie die Antwort auf eine zurückgestellete Frage kommen dann auch noch (etwas später)
[mm]\begin{pmatrix}1&1&0&0&0&0\\0&1&2&0&0&0\\0&0&1&3&0&0\\0&0&0&1&4&0\\0&0&0&0&1&5\\0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}[/mm]
Mit lieben Grüssen und bis später
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Mi 19.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magician
ich hoffe, du habest gut geschlafen und von Abbildungsmatrizen geträumt.
Ich bin dir noch eine Ant- und ein Nachwort schuldig.
Zunächst zur Antwort.
Du hast in einer deiner Antworten einmal versucht, einen Vektor so darzustellen:
[mm]\begin{pmatrix}e^x\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}[/mm]
Das hat mich fast entsetzt und dich nach meinem Eingreifen wohl ziehmlich verwirrt.
Was hat mich denn so entsetzt?
Die Erkenntnis, dass der Unterschied zwischen Vektor und Koordinaten offensichtlich überhaupt nicht klar ist! Ich glaube, dass die fast ausschliessliche Beschäftigung mit dem zwei- oder dreidimensionalen Euklidischen Raum dazu beiträgt, dass die Unterschiede verschwimmen und nicht klar wahrgenommen werden. Man misst eben Distanzen mit reellen Zahlen, und gibt dann einen Vektor in diesem Raum auch mit einem Tripel von reellen Zahlen an. Mit der Zeit identifiziert man das Tripel völlig mit dem dargestellten Vektor, dass man vergisst, dass das Tripel eigentlich lediglich das zum dargestellten Vektor gehörende Koordinatentripel ist! Vor allem auch deshalb, weil man das meistens mit $(x,y,z)$ bezeichnet, und die Koordinatenachsen ebenso beschriftet. Man bezeichnet also zwei unterschiedliche(!) Sachen mit dem gleichen Buchstaben!
Für die Vektorrechnung ist das aber nicht mehr unproblematisch. Man vergisst dabei ganz, dass man eigentlich 3 Basisvektorn braucht, sagen wir [mm] $\vec{x}$, $\vec{y}$, [/mm] und [mm] $\vec{z}$. [/mm] Um einen beliebigen Vektor im Vektorraum darstellen zu können, bedient man sich der Linearkombination.
... und um das wieder anständig zu schaffen, benötigt man noch eine Menge von Skalaren Grössen. Diese Menge der Skalaren Grössen müssen dann noch eine Körper bilden.
Man kann also einen einzelnen Vektor mit einem Skalar multiplizieren. So kann zum Beispiel die Linearkombination [mm] $2*\vec{x}+4*\vec{y}-1*\vec{z}$ [/mm] entstehen.
Beachte dabei, dass die Produkte immer einen skalaren Faktor und einen Vektor als Faktor haben!
Und die obige Darstellung kann abgekürzt werden, wenn die Basis des Vektorraumes fix vorgegeben ist.
[mm] $\vec{x}$, $\vec{y}$ [/mm] und [mm] $\vec{z}$ [/mm] sind also fest vorgegeben und haben Bestand für alle Linearkombinationen. Der veränderliche Teil in der Linearkombination sind die Skalare, und deshalb lässt sich die gegebene Linearkombination mittels eines abgekürzten Verfahrens angeben: die Angabe der Skalare genügt. Man muss aber die einzelnen Werte trennen und erst noch eine Reihenfolge vereinbaren.
Das Tripel [mm] \begin {pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}[/mm]ist also nur eine abgekürzte Darstellung für die oben angegebene Linearkombination.
Und was jetzt ganz klar werden soll: die einzelnen Komponenten entstammen aus dem Skalarenkörper, nicht aus der Basis des Vektorraums!
Für unser aktuelles Beispiel dürfen also nur reelle Zahlen als Komponenten auftreten, keinesfalls ein Basisvektor, wie du es versucht hast!
Und jetzt noch zur Schlussbetrachtung.
Du weisst von früher, dass man zum Beispiel Kräfte, Geschwindigkeiten oder Rotationen als Vektoren auffassen kann.
Und hier hast du ein Beispiel dafür, dass auch Funktionen als Vektoren aufgefasst werden können!
Und man weiss, dass für jeden Vektorraum mindestens eine Basis angegeben werden kann. Die Basisvektoren sind also auch Funktionen!
(Vielleicht gelingt es dir ja sogar noch zu zeigen, dass die vorgeschlagenen Funktionen tatsächlich eine Basis darstellen: linear unabhängig und den ganzen Vektorraum aufspannend)
Und eine Linearkombination dieser Basisvektoren (Basisfunktionen) führt uns dann in den Raum dieser Funktionen hinaus: in den Funktionenraum!
(Anmerkung für dein späteres Studium: selbst Zustände können als Vektoren dargestellt werden. Und wenn ihr irgendwann mal auf die Suche nach geeigneten Basiszuständen geht, dann ist das genau in diesem Sinne zu verstehen: eine Menge von Zuständen, mit deren Hilfe man durch das Bilden von Linearkombinationen alle anderen möglichen Zustände eines Systems "erreichen" kann)
Stell dir zur Uebung doch einmal vor, das $n$ aus unserer Aufgabe habe den Wert$2$.
Dann ist unser Vektorraum 3-dimensional. Und du kannst dir doch einen 3-dimensionalen Raum vorstellen?
In diesm Raum sind die Punkte (Vektoren) jetzt Linearkombinationen unserer 3 Basisvektoren [mm] $b_1$, $b_2$ [/mm] und [mm] $b_3$. [/mm] Jede darstellbare Funktione hat also ihren festen Platz im Raum, kann also durch Angabe ihrer 3 Koordinaten bestimmt werden.
Einen Raum kann man einer Vielzahl von linearen Abbildungen unterwerfen. Jede der Abbildungen kann durch eine Matrix dargestellt werden. Die Spalten sind dann gerade die Komponenten des Bildes der Basisvektoren unter dieser Abbildung.
Und wer hätte gedacht, dass selbst der Operator, wie er in der Aufgabe gegeben ist, eine Lineare Abbildung ist!
Du kannst das auch mal testen, indem du die Abbildungsmatrix quadrierst. Dann müsste diese Matrix ja die 2 Mal hintereinander ausgeführte Abbildung bedeuten, also das 2 Mal ableiten!
Versuchs mal: bilde die Matrix für das zweimalige Ableiten durch Matrixmultiplikation und wende diese auf einen Vektor an.
Dann nimmst du die durch den Vektor dargestellte Funktion und leitest diese 2 Mal ab. Du wirst staunen: die Resultate stimmen tatsächlich überein!!
Vielleicht versuchst du sogar mal, diese Abbildun im 3-dimensionalen Anschauungsraum zu interpretieren (geometrisch). Kann ich nur empfehlen, fördert das Verständnis für später sicher vermehrt auftauchende abstrakte Gebilde, wie eben den Funktionenraum, den Wahrscheinlichkeitsraum, den Zustandsraum und was so alles sonst noch damit zu bewerkstelligen ist, unheimlich.
So! Ich hoffe, du hast irgendwann mal die Musse, mein langes Geschwafel auch wirklich durchzulesen
Liebe Grüsse
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