Matrix der Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Di 21.06.2005 | | Autor: | mausi |
Hallo kann mal bitte jemand einen Tip zu dieser Aufgabe geben???
Danke
Sei L= Verknüpfung on [mm] L_1 [/mm] und [mm] L_2 [/mm] von 2 Abbildungen
[mm] L_1: [/mm] Spiegelung an der Geraden g:y=x und [mm] L_2:Drehung [/mm] um Nullpunkt um den Winkel pi/4 in math positiver Richtung
a) Bestimmen sie die Matrix [mm] A^B_1 [/mm] der Abbildung [mm] L_1 [/mm] in der Basis [mm] B=((\wurzel{2}/2,\wurzel{2}/2),(-\wurzel{2}/2,\wurzel{2}/2))
[/mm]
Was muss ich rechnen, hab kein Plan
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Di 21.06.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mausi
> Hallo kann mal bitte jemand einen Tip zu dieser Aufgabe
> geben???
> Danke
> Sei L= Verknüpfung on [mm]L_1[/mm] und [mm]L_2[/mm] von 2 Abbildungen
> [mm]L_1:[/mm] Spiegelung an der Geraden g:y=x und [mm]L_2:Drehung[/mm] um
> Nullpunkt um den Winkel pi/4 in math positiver Richtung
> a) Bestimmen sie die Matrix [mm]A^B_1[/mm] der Abbildung [mm]L_1[/mm] in der
> Basis
> [mm]B=((\wurzel{2}/2,\wurzel{2}/2),(-\wurzel{2}/2,\wurzel{2}/2))[/mm]
>
> Was muss ich rechnen, hab kein Plan
> danke
Ich denke, dass das nur eine Vorbereitungsaufgabe ist, um die Koordinatentransformationen später ein Wenig besser zu begreifen.
Ich würde einfach eine Skizze machen:
Ein 2-dimensionales Koordinatensystem, und darin noch ein zweites, vielleicht mit einer anderen Farbe, sagen wir: grün. Das ist dann deine Basis B. Du siehst sicher, dass es aus dem Originalkoordinatensystem entsteht, wenn man dieses um 90° nach links dreht.
Und nun beobachte, was mit den grünen Einheitsvektoren geschieht, wenn man die gegebene Spielgelung macht: Der erste Vektor bleibt erhalten! Der zweite Vektor kehrt lediglich seine Richtung!
Weil das die beiden Basisvektoren sind, und die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren als Spalten in der Matrix zu stehen haben, kannst du also einfach dieses hinschreiben, ohne zu rechnen:
[mm] $A_1^B [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }$
[/mm]
Mit freundlichen Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Di 21.06.2005 | | Autor: | mausi |
Danker lieber Paulus
ich bin immer so schlecht darin mir das grafisch vorzustellen :-(
b) is bestimmt genauso
Bestimmen sie die Matrix [mm] A^E_1 [/mm] der Abbildung [mm] L_1 [/mm] in der kanonischen Basis E von [mm] R^2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Di 21.06.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mausi
> Danker lieber Paulus
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> ich bin immer so schlecht darin mir das grafisch
> vorzustellen :-(
>
> b) is bestimmt genauso
> Bestimmen sie die Matrix [mm]A^E_1[/mm] der Abbildung [mm]L_1[/mm] in der
> kanonischen Basis E von [mm]R^2[/mm]
Ja, das ist genau so. Die Gerade $y=x$ ist ja die Hauptdiagonale. Und eine Spiegelung daran führt ja die x-Achse in die y-Achse über, und umgekehrt.
Aus dem ersten Basisvektor mit den Koordinaten [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] entsteht also der Vektor mit den Koordinaten [mm] $\vektor{0\\1}$ [/mm] (Das müsste somit der erste Spaltenvektor der Matrix sein.
Aus dem zweiten Basisvektor mit den Koordinaten [mm] $\vektor{0\\1}$ [/mm] entsteht also der Vektor mit den Koordinaten [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] (Das müsste somit der zweite Spaltenvektor der Matrix sein.
Darum sollte es eigentlich so aussehen:
[mm] $A_1^E=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }$
[/mm]
Alles klar? 
Mit freundlichen Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Mi 22.06.2005 | | Autor: | mausi |
ja supi Danke Paulus
und [mm] A^E_2?? [/mm] wie verhält es sich da???Oder [mm] A^E [/mm] der Verknüpfung von [mm] L_1 [/mm] und [mm] L_2??
[/mm]
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Dankeschön
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