Matrix diagonalisierbar < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix $A = [mm] \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$
[/mm]
a)Argumentiere, dass A diagonalisierbar ist
b) Diagonalisiere die Matrix
c) Berechne durch diese Zerlegung [mm] $A^{1002}$ [/mm] |
Schönen guten Tag,
ich würde a und b quasi in einem machen.
Eine quadratische Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn es eine Matrix B gibt mit $ A = [mm] BDB^{-1}$ [/mm] wobei D eine Diagonalmatrix ist.
In einem ersten Schritt bestimme ich die Eigenwerte von A.
[mm] $\chi_A [/mm] = [mm] \lambda^2 [/mm] -4$ womit A die Eigenwerte [mm] $\lambda_1 [/mm] = -2$ und [mm] $\lambda_2 [/mm] = 2$ hat.
Somit wäre die Diagonalmatrix $D = [mm] \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
Die Matrix $B$ besteht aus den zugehörigen Eigenvektoren - also die Spalten von B sind die EV von A.
Somit
$ [mm] \bigl( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} [/mm] + 2 [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} (x,y)^T [/mm] = [mm] (0,0)^T$
[/mm]
was im GLS
$3x -y = 0$
$-3x+y=0$ mündet. Woraus folgt, dass jeder Vektor $ [mm] \begin{pmatrix} t \\ 3t \end{pmatrix}$ [/mm] mit $t [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] ein Eigenvektor ist - ein solcher wäre zb $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
[/mm]
Macht man gleiches für den anderen Eigenwert so erhält man
$-x-y = 0$
$-3x-3y=0$
also $x=-y$ somit sind alle Vektoren $ [mm] \begin{pmatrix} t \\ -t \end{pmatrix}$ [/mm] mit $t [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] ein Eigenvektor so zb der Vektor
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ [/mm]
Ich würde hier sagen, dass a) und b) beantwortet ist, denn zum einen ist argumentiert, dass A diagonalisierbar ist, weil es eine entsprechende Darstellung [mm] $BDB^{-1}$ [/mm] mit einer Diagonalmatrix D gibt und zum anderen ist D und B auch berechnet und damit b) erledigt.
zu c)
Wenn A diagonalisierbar ist, dann gilt [mm] $A^k [/mm] = [mm] BD^{k}B^{-1}$ [/mm]
ergo ist
[mm] $A^{1002} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-2)^{1002} & 0 \\ 0 & 2^{1002} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}^{-1}$ [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2^{1001} & 0 \\ 0 & 2^{1001} \end{pmatrix}.
[/mm]
Ist das korrekt was ich gemacht habe?
Vielen Dank vorab und LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Do 11.05.2023 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
ich konnte nur wenig Zeit investieren und bin lange aus dem Thema raus. Ein paar Anmerkungen:
a) Argumentiere .... Das ist nicht die in der Mathematik übliche Formulierung (Zeige, Beweise, ...). Entsprechend würde ich auch als Antwort einen Text erwarten.
b) Indem Du die Matritzen B und D angibst hast Du die Diagonalisierbatrkeit gezeigt. Ich erhalte aber $ [mm] A^T [/mm] = [mm] BDB^{-1} [/mm] $.
Habe ich mich verrechnet?
c) Ich komme auf ein lecht anderes Ergebnis. Auch hier schließe ich einen Rechenfehler meinerseits nicht aus.
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Hiho,
> Somit wäre die Diagonalmatrix [mm]D = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
Was ist denn mit [mm]D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}[/mm]?
> Wenn A diagonalisierbar ist, dann gilt [mm]A^k = BD^{k}B^{-1}[/mm]
>
> ergo ist
>
> [mm]A^{1002} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-2)^{1002} & 0 \\ 0 & 2^{1002} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}^{-1}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 2^{1001} & 0 \\ 0 & 2^{1001} \end{pmatrix}.[/mm]
du hast Spalten mit Zeilen verwechselt.
Du schriebst selbst:
> Die Matrix $ B $ besteht aus den zugehörigen Eigenvektoren - also die Spalten von B sind die EV von A.
Du hast die EV aber als Zeilen notiert, nicht als Spalten.
Demzufolge stimmt deine Rechnung nicht.
Das wäre dir übrigens aufgefallen, wenn du die Diagonalmatrix mal mit dem von dir gewählten B versucht hättest, wirklich mal auszurechnen.
Gruß,
Gono
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Hallo Gono!
ich hatte mich vertippt
$ B = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} [/mm] $
Somit ist
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2& 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 \\ 3/4 & -1/4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1& -1 \end{pmatrix}$
[/mm]
Ich glaube wie ich die Eigenwerte in D anordne ist egal, sofern ich die Eigenvektoren ebenfalls entsprechend anordne? also wenn ich
$D = [mm] \begin{pmatrix} 2& 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} [/mm] $ nehme, dann wäre $B = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$?
[/mm]
wenn ich reche
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ \begin{pmatrix} (-2)^{1002} & 0 \\ 0 & 2^{1002} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/4 & 1/4 \\ 3/4 & -1/4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2^{1002}& 0 \\ 0 & 2^{1002} \end{pmatrix}$
[/mm]
Passt das so?
Zu a) wegen Chrisnos Antwort: A hat zwei voneinander verschiedene Eigenwerte, entsprechend existieren zwei linear unabhängige Eigenvektoren, also ist A diagonalisierbar.
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Hiho,
> [mm]B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich glaube wie ich die Eigenwerte in D anordne ist egal,
> sofern ich die Eigenvektoren ebenfalls entsprechend
> anordne?
Du verdrehst hier Ursache und Wirkung… du "ordnest" ja die Eigenwerte nicht an, und erstellst dann die zugehörige Transformationsmatrix, sondern umgekehrt.
Du bestimmst die Transformationsmatrix und berechnest dann die zugehörige Diagonalgestalt.
Dabei passiert es "zufällig", dass der n-te Diagonaleintrag gerade der Eigenwert des in der n-ten Spalte stehenden Eigenvektors ist.
Und natürlich ist das nicht wirklich Zufall, aber es sollte einem klar sein, in welcher Reihenfolge man hier eigentlich arbeitet.
Wenn man das verinnerlicht hat (was bei dir anscheinend noch nicht so 100% gegeben ist), kann man den Weg natürlich abkürzen, indem man direkt nach der Berechnung erst eine Diagonalmatrix und dann die zugehörige Basistransformationsmatrix aufschreibt.
Auf meinen ersten Hinweis bist du übrigen nicht wirklich eingegangen: Du schriebst die Diagonalmatrix. Es gibt nicht die, sondern unter Umständen eben n! viele bei einer $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrix.
D.h. das einzige was du angegeben hast, ist EINE Diagonalmatrix.
> Zu a) wegen Chrisnos Antwort: A hat zwei voneinander
> verschiedene Eigenwerte, entsprechend existieren zwei
> linear unabhängige Eigenvektoren, also ist A als $2 [mm] \times [/mm] 2$ Matrix
> diagonalisierbar.
Ansonsten passt das.
Gruß,
Gono
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