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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Matrix diagonalisieren
Matrix diagonalisieren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrix diagonalisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:32 Do 09.04.2009
Autor: Teradil

Aufgabe
Gegeben sei die Matrix A = [mm] \pmat{ 3 & 1 & -4 \\ 1 & 5 & 1 \\ -4 & 1 & 10 }. [/mm]
Finden Sie eine Matrix P [mm] \in \IR^{3 \times 3} [/mm] so, dass [mm] P^T*A*P [/mm] eine Diagonalmatrix ist.

Aus der Vorlesung ist bekannt, dass jede symmetrische Matrix durch eine orthogonale Matrix diagonalisierbar ist. Also auch diese Matrix. Nun habe ich das charakteristische Polynom bestimmt und herausbekommen, dass diese Matrix nur komplexe Eigenwerte besitzt. Damit kann ich schonmal P nicht aus den Eigenvektoren von A aufbauen.

Da P orthogonal ist [mm] (P^T*P [/mm] = I) gilt, dass die Spalten- und Zeilenvektoren orthogonal zueinander sind.

Sei P = [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i }, [/mm] dann gelten folgende Gleichungen:
ab  + de + gh = 0
ac + df + gi = 0
bc + ef + hi = 0

ad +be + cf = 0
ag + bh + ci  = 0
dg + eh + fi = 0

Außerdem komme ich mit D = [mm] P^T*A*P [/mm] = [mm] \pmat{ x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z } [/mm] auf folgende Gleichungen:
(3 a+d-4 g) a+(a+5 d+g) d+(-4 a+d+10 g) g = x
(3 a+d-4 g) b+(a+5 d+g) e+(-4 a+d+10 g) h = 0
(3 a+d-4 g) c+(a+5 d+g) f+(-4 a+d+10 g) i = 0

(3 b+e-4 h) a+(b+5 e+h) d+(-4 b+e+10 h) g = 0
(3 b+e-4 h) b+(b+5 e+h) e+(-4 b+e+10 h) h = y
(3 b+e-4 h) c+(b+5 e+h) f+(-4 b+e+10 h) i = 0

(3 c+f-4 i) a+(c+5 f+i) d+(-4 c+f+10 i) g = 0
(3 c+f-4 i) b+(c+5 f+i) e+(-4 c+f+10 i) h = 0
(3 c+f-4 i) c+(c+5 f+i) f+(-4 c+f+10 i) i = z

Bringt mich dieser Ansatz sehr viel weiter? Oder gibt es da noch etwas weniger aufwändiges, als jetzt 9 Gleichungen (mit 6 Nebenbedingungen) durchzuackern, um (x,y,z) zu bestimmen? Wenn ja: Wie?

        
Bezug
Matrix diagonalisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:37 Do 09.04.2009
Autor: angela.h.b.


> Gegeben sei die Matrix A = [mm]\pmat{ 3 & 1 & -4 \\ 1 & 5 & 1 \\ -4 & 1 & 10 }.[/mm]
>  
> Finden Sie eine Matrix P [mm]\in \IR^{3 \times 3}[/mm] so, dass
> [mm]P^T*A*P[/mm] eine Diagonalmatrix ist.
>  Aus der Vorlesung ist bekannt, dass jede symmetrische
> Matrix durch eine orthogonale Matrix diagonalisierbar ist.
> Also auch diese Matrix. Nun habe ich das charakteristische
> Polynom bestimmt und herausbekommen, dass diese Matrix nur
> komplexe Eigenwerte besitzt.

Hallo,

Du hast Dich verrechnet. Symmetrische Matrizen haben nur reelle Eigenwerte.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Matrix diagonalisieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:44 Do 09.04.2009
Autor: Teradil

Das hätte ich ja auch gerne geglaubt, wenn MAPLE mir nicht folgendes ausspucken würde:

> with(LinearAlgebra);
> A := Matrix([ [3, 1, -4], [1, 5, 1], [-4, 1, 10] ])
> CharacteristicPolynomial(A, x);

                           [mm] -49+x^3-18x^2+77x [/mm]

> Eigenvalues(A);

[mm] \bruch{1}{6}*(2052+84I\wurzel{6699})^{\bruch{1}{3}}+\bruch{62}{2052+84I\wurzel{6699})^{\bruch{1}{3}}}+6 [/mm]

...

Da gibt's noch zwei weitere, sehr viel hässlichere Werte...

Bezug
                        
Bezug
Matrix diagonalisieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:53 Do 09.04.2009
Autor: Teradil

Das Polynom selber scheint ja offensichtlich mindestens eine reelle Nullstelle zu besitzen. Nur liegt die nicht sonderlich angenehm irgendwo zwischen [mm] \bruch{3}{4} [/mm] und [mm] \bruch{4}{5}... [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Matrix diagonalisieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:12 Do 09.04.2009
Autor: angela.h.b.


> Das hätte ich ja auch gerne geglaubt, wenn MAPLE mir nicht
> folgendes ausspucken würde:

Hallo,

welche Verdauungsschwierigkeiten Dein Maple aktuell hat, kann ich Dir nun auch nicht sagen.

Es haben jedenfalls symmetrische Matrizen reelle Eigenwerte, wenn Du's nicht glaubst, guck Dir den beweis dazu an...

Mein Rechner liefert mir drei reelle Eigenwerte,  [mm] x_1\approx [/mm] 0,7685, [mm] x_2\approx [/mm] 5,3794, [mm] x_3\approx [/mm] 11,8521, welche in der Tat nicht sonderlich gemütlich aussehen.

> Da gibt's noch zwei weitere, sehr viel hässlichere Werte...

Ich vermute, daß wir an der Häßlickeit der Werte nichts werden drehen können.

Gruß v. Angela


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