Matrix hoch p = E < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 So 18.11.2007 | | Autor: | hopsie |
| Aufgabe | Sei [mm] p\ge3 [/mm] eine Primzahl, R ein Ring mit [mm] p*1_{R}=0 [/mm] und
G= [mm] \{ \pmat{ 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 } \in M_{3}(R) | a, b, c, \in R \} [/mm] .
a) Zeige: G ist eine nichtabelsche Gruppe, wobei die Multiplikation in G durch die übliche Matrixmultiplikation gegeben ist.
Hinweis: Jedes Element A [mm] \in [/mm] G hat die Form A = E + N , wobei E die Einheitsmatrix ist und für N gilt [mm] N^{3} [/mm] = 0
b) Zeige: Für alle A [mm] \in [/mm] G gilt [mm] A^{p} [/mm] = E.
Hinweis: Verwende ohne Beweis, dass p ein Teiler von [mm] \vektor{p \\ i} [/mm] ist für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] p. |
Hallo!
Habe ein paar Fragen zur b).
Mein Ansatz ist, dass ich den Hinweis aus der a) verwende:
[mm] A^{p} [/mm] = (E + [mm] N)^{p} [/mm] und dann das ganze wie mit dem Binomischen Lehrsatz ausmultipliziere, d.h. ich bekomme
[mm] A^{p} [/mm] = [mm] E^{p} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ p}E^{p-1}N [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ p}E^{p-2}N^{2} [/mm] + [mm] \vektor{3 \\ p}E^{p-3}N^{3} [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ p}E^{p-4}N^{4} [/mm] + ... + [mm] \vektor{p \\ p}N^{p}.
[/mm]
Es gilt doch (wegen des Hinweises aus der a)), dass [mm] \forall [/mm] i [mm] \ge [/mm] 3 [mm] N^{i} [/mm] = 0, oder? D.h. ab dem 4. Summanden fällt alles weg. Es bleibt
[mm] E^{p} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ p}E^{p-1}N [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ p}E^{p-2}N^{2} [/mm] = E + pN + [mm] \vektor{2 \\ p}N^{2}.
[/mm]
Jetzt weiß ich aus der Angabe, dass [mm] p*1_{R}= [/mm] 0. Folgt daraus jetzt einfach, dass p*a= 0 [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] R? Weil man doch schreiben kann:
p*a = [mm] p*(1_{R}*a) [/mm] = [mm] (p*1_{R})*a [/mm] = 0*a = 0.
Dann würde p*N = 0 folgen und, da [mm] \vektor{2 \\ p} [/mm] = [mm] \bruch{p(p-1)}{2} [/mm] auch [mm] \vektor{2 \\ p}N^{2} [/mm] = 0. D.h. Es gilt [mm] A^{p} [/mm] = E.
Stimmt das?
Vielen Dank im Voraus 
LG, hopsie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Habe ein paar Fragen zur b).
> Mein Ansatz ist, dass ich den Hinweis aus der a)
> verwende:
> [mm]A^{p}[/mm] = (E + [mm]N)^{p}[/mm] und dann das ganze wie mit dem
> Binomischen Lehrsatz ausmultipliziere, d.h. ich bekomme
> [mm]A^{p}[/mm] = [mm]E^{p}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\ p}E^{p-1}N[/mm] + [mm]\vektor{2 \\ p}E^{p-2}N^{2}[/mm]
> + [mm]\vektor{3 \\ p}E^{p-3}N^{3}[/mm] + [mm]\vektor{4 \\ p}E^{p-4}N^{4}[/mm]
> + ... + [mm]\vektor{p \\ p}N^{p}.[/mm]
> Es gilt doch (wegen des
> Hinweises aus der a)), dass [mm]\forall[/mm] i [mm]\ge[/mm] 3 [mm]N^{i}[/mm] = 0,
> oder? D.h. ab dem 4. Summanden fällt alles weg. Es bleibt
> [mm]E^{p}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\ p}E^{p-1}N[/mm] + [mm]\vektor{2 \\ p}E^{p-2}N^{2}[/mm]
> = E + pN + [mm]\vektor{2 \\ p}N^{2}.[/mm]
> Jetzt weiß ich aus der
> Angabe, dass [mm]p*1_{R}=[/mm] 0. Folgt daraus jetzt einfach, dass
> p*a= 0 [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] R?
ja. den beweis hast du ja geliefert.
> Weil man doch schreiben kann:
> p*a = [mm]p*(1_{R}*a)[/mm] = [mm](p*1_{R})*a[/mm] = 0*a = 0.
> Dann würde p*N = 0 folgen und, da [mm]\vektor{2 \\ p}[/mm] =
> [mm]\bruch{p(p-1)}{2}[/mm] auch [mm]\vektor{2 \\ p}N^{2}[/mm] = 0. D.h. Es
> gilt [mm]A^{p}[/mm] = E.
>
> Stimmt das?
bis auf, dass fast alle binomialkoeffizienten "falschrum" sind. scheint alles zu stimmen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 18.11.2007 | | Autor: | hopsie |
Ah ja, stimmt, vertippt.
Vielen Dank!
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