Matrix invertierbar... < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Manuel-Z |
| Aufgabe | Für welche Parameter t [mm] \in \IR [/mm] ist die Matrix invertierbar? Berechnen sie gegebenenfalls das Inverse.
[mm] \pmat{ 1& t &0 & 0 \\t&1&0&0\\0&t&1&0\\0&0&t&1} [/mm] |
Eine Matrix ist doch invertierbar, wenn ihe Zeilenvektoren linearunabhänigig sind.
Hier für t [mm] \not= [/mm] 1.
Wie berechne ich das Inverse bei dieser Matrix? Was mache ich mit dem t?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Für welche Parameter t [mm]\in \IR[/mm] ist die Matrix invertierbar?
> Berechnen sie gegebenenfalls das Inverse.
>
> [mm]\pmat{ 1& t &0 & 0 \\t&1&0&0\\0&t&1&0\\0&0&t&1}[/mm]
> Eine
> Matrix ist doch invertierbar, wenn ihe Zeilenvektoren
> linearunabhänigig sind.
>
> Hier für t [mm]\not=[/mm] 1.
Das stimmt sicher, aber vielleicht gibt es noch andere t. Meist ergeben sich alle t, die du ausschließen musst, erst beim invertieren.
> Wie berechne ich das Inverse bei dieser Matrix? Was mache
> ich mit dem t?
Wie berechnest du normalerweise das Inverse?
Normalerweise schreibt man rechts neben die zu invertierende Matrix die Einheitsmatrix:
[mm]\pmat{ 1& t &0 & 0& | & 1 & 0 & 0 & 0 \\t&1&0&0& | & 0 & 1 & 0 & 0\\0&t&1&0& | & 0 & 0 & 1 & 0\\0&0&t&1& | & 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
Dann versucht man mit elementaren Zeilenumformungen die linke Seite (also die ursprüngliche Matrix A) auf die Einheitsmatrix zu bringen. Die rechte Matrix wird bei den Zeilenumformungen entsprechend mit verändert. Wenn du das geschafft hast, steht auf der rechten Seite die zu A inverse Matrix. Versuche es mal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Manuel-Z |
Normale Matrizen kann ich invertieren. Aber bei Matrizen mit t's oder ähnlichem....
Was mache ich mit dem t? Wie mache ich das t zu 0?
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Hallo Manuel,
das kannst du wie üblich machen..
Addiere mal das $(-t)$-fache der 3.Zeile auf die 4.Zeile, dann das $(-t)-fache der 2.Zeile auf die 3.Zeile, dann das $(-t)-fache der 1.Zeile auf die 2.Zeile.
Da bleibt eine sehr "schöne" umgeformte Matrix übrig, an der du alles "ablesen" kannst...
Alternativ zu diesem Weg kannst du auch - kürzer und schneller - die Determinante deiner Matrix ausrechnen, etwa durch Entwicklung nach der 1.Spalte.
Die wird sich in Abhängigkeit von t ergeben, und die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante [mm] \neq [/mm] 0 ist
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Manuel-Z |
[mm] \pmat{ 1 & t & 0 & 0 | 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1-t^{2} & 0 & 0 | -t & 0 & 0 & 0 \\ 1-t^{2} & 0 & 1 & 0 | 0 &-t & 1 & 0 \\ 0 & -t^{2} & 0 & 1 | 0 &0 &-t &1 }
[/mm]
t muß =0
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Hallo nochmal,
den rechten Teil habe ich bis auf den Eintrag [mm] a_{22} [/mm] genauso, der ist bei mir 1... Tippfehler?
Aber im linken was ziemlich anderes.
Ich komme da nach den o.g. Umformungen auf
[mm] $\pmat{1&t&0&0\\0&1-t^2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1}$
[/mm]
Dann müsstest du beim nächsten Schritt zur Umformung in die Einheitsmatrix ja die 2.Zeile durch [mm] $1-t^2=(1-t)(1+t)$ [/mm] teilen.
Das ist nur erlaubt, wenn ....
Damit hast du dann die Fälle, die interessant sind, also für die die Matrix nicht invertierbar ist
Was du mit "t muß 0" meinst, weiß ich nicht, aber für $t=0$ ist die Matrix auf jeden Fall invertierbar, denn in dem Fall ist es ja die Einheitsmatrix 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Manuel-Z |
Ich komme nicht auf die Matrix.
Ist nur erlaubt, wenn.... [mm] 1-t^{2} [/mm] ungleich 0 ist.
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Hallo nochmal,
> Ich komme nicht auf die Matrix.
Ich auch nicht
Habe mich verrechnet und verschrieben, tut mir leid
Aber auf deine Matrix komme ich trotzdem nicht
Meine "Tipps" zur Umformung waren Unfug, nach meiner zweiten Rechnung, ausgehend von der Matrix in Stefans post, erhalte ich:
[mm] $\pmat{1&t&0&0\\t&1&0&0\\0&t&1&0\\0&0&t&1}$
[/mm]
[mm] $(-t)\cdot{}$Zeile1 [/mm] + Zeile2 gibt
[mm] $\pmat{1&t&0&0\\0&1-t^2&0&0\\0&t&1&0\\0&0&t&1}$
[/mm]
[mm] $(-t)\cdot{}$Zeile2 [/mm] + [mm] $(1-t^2)\cdot{}$Zeile3 [/mm] gibt
[mm] $\pmat{1&t&0&0\\0&1-t^2&0&0\\0&0&1-t^2&0\\0&0&t&1}$
[/mm]
Nun noch [mm] $(-t)\cdot{}$Zeile3 [/mm] + [mm] $(1-t^2)\cdot{}$Zeile4 [/mm] gibt
[mm] $\pmat{1&t&0&0\\0&1-t^2&0&0\\0&0&1-t^2&0\\0&0&0&1-t^2}$
[/mm]
Hier musst du nun wirklich auf dem weiteren Wege zur Einheitsmatrix durch [mm] 1-t^2 [/mm] teilen, also muss [mm] t\neq \pm [/mm] 1 sein für die weitere Umformung
>
> Ist nur erlaubt, wenn.... [mm]1-t^{2}[/mm] ungleich 0 ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
genau, du bekommst also 2 "kritische" Werte für t
So, ich hoffe, es stimmt nun
Bedeutend angenehmer ist der Weg über die Determinante ![[baeh]](/images/smileys/baeh.gif "[baeh]")
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Manuel-Z |
Also beide falsch 
Über die Determinante ok aber es muß auch so gehen.
Danke für die Hilfe.
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Hi,
das tut es ja auch
Im Prinzip haben wir (sozusagen unterwegs) den Rang der Matrix bestimmt.
Wenn der voll ist, also =4 ist, so ist die Matrix invertierbar.
Für [mm] t=\pm [/mm] 1 erhalten wir ne Nullzeile (sogar 3) und die Matrix ist nicht invertierbar
Also: am Ende ist doch alles gut
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Manuel-Z |
Ist die Inverse
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ -t & 1 & 0&0 \\ t^{2} & -t & 1-t^{2} & 0 \\ -t^{3} & t^{2} & 1+t^{3} &1-t^{2} }
[/mm]
???
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> Ist die Inverse
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 &0 \\ -t & 1 & 0&0 \\ t^{2} & -t & 1-t^{2} & 0 \\ -t^{3} & t^{2} & 1+t^{3} &1-t^{2} }[/mm]
>
> ???
Nein.
Gehe aus von
[mm] \pmat{ 1& t &0 & 0& | & 1 & 0 & 0 & 0 \\t&1&0&0& | & 0 & 1 & 0 & 0\\0&t&1&0& | & 0 & 0 & 1 & 0\\0&0&t&1& | & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Mit folgenden Umformungen geht es ganz leicht:
[mm] \pmat{ 1& t &0 & 0& | & 1 & 0 & 0 & 0 \\0&1-t^{2}&0&0& | & -t & 1 & 0 & 0\\0&t&1&0& | & 0 & 0 & 1 & 0\\0&0&t&1& | & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1& t &0 & 0& | & 1 & 0 & 0 & 0 \\0&1&0&0& | & \bruch{-t}{1-t^{2}} & \bruch{1}{1-t^{2}} & 0 & 0\\0&t&1&0& | & 0 & 0 & 1 & 0\\0&0&t&1& | & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1& 0 &0 & 0& | & 1+\bruch{t^{2}}{1-t^{2}} & \bruch{-t}{1-t^{2}} & 0 & 0 \\0&1&0&0& | & \bruch{-t}{1-t^{2}} & \bruch{1}{1-t^{2}} & 0 & 0\\0&t&1&0& | & 0 & 0 & 1 & 0\\0&0&t&1& | & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1& 0 &0 & 0& | & \bruch{1}{1-t^{2}} & \bruch{-t}{1-t^{2}} & 0 & 0 \\0&1&0&0& | & \bruch{-t}{1-t^{2}} & \bruch{1}{1-t^{2}} & 0 & 0\\0&t&1&0& | & 0 & 0 & 1 & 0\\0&0&t&1& | & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1& 0 &0 & 0& | & \bruch{1}{1-t^{2}} & \bruch{-t}{1-t^{2}} & 0 & 0 \\0&1&0&0& | & \bruch{-t}{1-t^{2}} & \bruch{1}{1-t^{2}} & 0 & 0\\0&0&1&0& | & \bruch{t^{2}}{1-t^{2}} & \bruch{-t}{1-t^{2}} & 1 & 0\\0&0&t&1& | & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1& 0 &0 & 0& | & \bruch{1}{1-t^{2}} & \bruch{-t}{1-t^{2}} & 0 & 0 \\0&1&0&0& | & \bruch{-t}{1-t^{2}} & \bruch{1}{1-t^{2}} & 0 & 0\\0&0&1&0& | & \bruch{t^{2}}{1-t^{2}} & \bruch{-t}{1-t^{2}} & 1 & 0\\0&0&0&1& | & \bruch{-t^{3}}{1-t^{2}} & \bruch{t^{2}}{1-t^{2}} & -t & 1}
[/mm]
Deine Koeffizienten in der Matrix stimmen weitgehend mit den Zählern überein, deswegen vermute ich, dass du irgendwo vergessen hast durch [mm] (1-t^{2}) [/mm] zu teilen.
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