Matrix lösen Ax=b; A,b gegeben < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Do 19.11.2009 | | Autor: | banz |
| Aufgabe | Es seien a,b,c,d [mm] \in \IQ. [/mm] Außerdem seien A [mm] \in \IQ^{4x4} [/mm] und b [mm] \in \IQ^{4} [/mm] gegeben:
A = [mm] \pmat{ -2 & -4 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & -1 & 3 \\ 3 & 6 & -4 & 6 \\ -1 & -2 & 1 & -2 }
[/mm]
und b= [mm] \pmat{ a \\ b \\ c \\ d }
[/mm]
Für welche a,b,c,d [mm] \in \IQ [/mm] ist das LGS Ax = b zu lösen?
Bestimme gegebenenfalls die Lösungsmenge des LGS.
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Hallo,
hab ein Problem mit der Aufgabe weil b gegeben ist statt x. Ich weiß nicht wie ich das als Matrix hinschreiben soll. Einfach eine fünfte Spalte mit a,b,c,d ? Aber da komm ich dann doch mit dem Gauß-Verfahren auch nicht weit?!
Mir fehlt einfach schon der Ansatz...
Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG
banz
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Hallo,
> Es seien a,b,c,d [mm]\in \IQ.[/mm] Außerdem seien A [mm]\in \IQ^{4x4}[/mm]
> und b [mm]\in \IQ^{4}[/mm] gegeben:
>
> A = [mm]\pmat{ -2 & -4 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & -1 & 3 \\ 3 & 6 & -4 & 6 \\ -1 & -2 & 1 & -2 }[/mm]
>
> und b= [mm]\pmat{ a \\ b \\ c \\ d }[/mm]
>
>
> Für welche a,b,c,d [mm]\in \IQ[/mm] ist das LGS Ax = b zu lösen?
> Bestimme gegebenenfalls die Lösungsmenge des LGS.
>
> Hallo,
>
> hab ein Problem mit der Aufgabe weil b gegeben ist statt x.
> Ich weiß nicht wie ich das als Matrix hinschreiben soll.
> Einfach eine fünfte Spalte mit a,b,c,d ? Aber da komm ich
> dann doch mit dem Gauß-Verfahren auch nicht weit?!
> Mir fehlt einfach schon der Ansatz...
>
Was weißt du denn beispielsweise über die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems? Hattet ihr sowas wie, dass der rang(A) = rang(A|b), also der Matrix in der A und b drinsteht. Das heißt insbesondere, dass b zu den Spalten von der Matrix A linear abhängig sein.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Do 19.11.2009 | | Autor: | banz |
Also, Rang(A) sagt mir nichts. Die Lineare Abhängigkeit kenne ich, aber nur im [mm] \IR^{3}.
[/mm]
Wie komme ich weiter? Kannst du mir einen Ansatz geben?
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Do 19.11.2009 | | Autor: | banz |
So, habs mal bis hierhin aufgelöst:
[mm] \pmat{ -2 & -4 & 3 & -5 & a \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2b+a \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 3a+2c \\ 0 & 0 & 0 & 4 & a-2d-(3a+2c) }
[/mm]
Was muss ich jetzt machen? Gleichungen in der Form a= -2x1-4x2... aufstellen und dann einsetzen, oder? Muss ich nach a,b,c,d oder nach x1,x2,x3,x4 auflösen?
Danke!
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> So, habs mal bis hierhin aufgelöst:
Hallo,
nachgerechnet habe ich das jetzt nicht.
Du bist noch nicht fertig: man rechnet doch immer bis zur Zeilenstufenform.
>
>
> [mm]\pmat{ -2 & -4 & 3 & -5 & a \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2b+a \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 3a+2c \\ 0 & 0 & 0 & 4 & a-2d-(3a+2c) }[/mm]
--> (3.zeile - 2.Zeile) [mm] \pmat{ -2 & -4 & 3 & -5 & a \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2b+a \\ 0 & 0 & 0 & -4 & 2a-2b+2c \\ 0 & 0 & 0 & 4 & a-2d-(3a+2c) }
[/mm]
--> (4.zeile +3.Zeile) [mm] \pmat{ -2 & -4 & 3 & -5 & a \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2b+a \\ 0 & 0 & 0 & -4 & 2a-2b+2c \\ 0 & 0 & 0 & 0& -2d+2a-2b }
[/mm]
Man könnte hier noch weitermachen bis zur reduzierten ZSF, dann ist das Ablesen sehr leicht, aber wenn Ihr noch nicht weiter über Gleichungssysteme gesprochen habt, war das sicher noch nicht dran.
>
> Was muss ich jetzt machen?
Jetzt mußt Du erstmal feststellen, daß das System überhaupt nur lösbar ist, wenn -2d+2a-2b =0.
Danch dann auflösen nach den Variablen.
Du wirst feststellen, daß das nicht eindeutig geht.
Gruß v. Angela
> Gleichungen in der Form a=
> -2x1-4x2... aufstellen und dann einsetzen, oder? Muss ich
> nach a,b,c,d oder nach x1,x2,x3,x4 auflösen?
>
>
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Do 19.11.2009 | | Autor: | banz |
So ich habs mal aufgelöst:
[mm] x_{1} [/mm] = 3a +b +2c - [mm] 2x_{2}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}a [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}b [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}c
[/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}a +\bruch{1}{2}b [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}c
[/mm]
Wie formuliert man nun formal korrekt das Ergebnis?
Auch wenn es kein eindeutiges gibt, gibt man es trotzdem in der Form b=(a,b,c,d) an?
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> So ich habs mal aufgelöst:
Hallo,
ich hab's nicht genau geprüft.
Vom Prinzip her hast Du es richtig gemacht.
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 3a +b +2c - [mm]2x_{2}[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}a[/mm] + [mm]\bruch{3}{2}b[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}c[/mm]
> [mm]x_{4}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}a +\bruch{1}{2}b[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}c[/mm]
>
>
> Wie formuliert man nun formal korrekt das Ergebnis?
Für a-d-b=0 haben alle Lösungen haben die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{3a +b +2c -2x_{2}\\x_2\\ \bruch{3}{2}a + \bruch{3}{2}b + \bruch{1}{2}c \\ -\bruch{1}{2}a +\bruch{1}{2}b - \bruch{1}{2}c }
[/mm]
[mm] =\vektor{3a +b +2c \\0\\ \bruch{3}{2}a + \bruch{3}{2}b + \bruch{1}{2}c \\ -\bruch{1}{2}a +\bruch{1}{2}b - \bruch{1}{2}c } [/mm] + [mm] x_2*\vektor{-2\\1\\ 0 \\ 0 }
[/mm]
= [mm] \vektor{3a +b +2c \\0\\ \bruch{3}{2}a + \bruch{3}{2}b + \bruch{1}{2}c \\ -\bruch{1}{2}a +\bruch{1}{2}b - \bruch{1}{2}c } [/mm] + [mm] <\vektor{-2\\1\\ 0 \\ 0 }>
[/mm]
Du kannst schreiben: L= [mm] \vektor{3a +b +2c \\0\\ \bruch{3}{2}a + \bruch{3}{2}b + \bruch{1}{2}c \\ -\bruch{1}{2}a +\bruch{1}{2}b - \bruch{1}{2}c } [/mm] + [mm] <\vektor{-2\\1\\ 0 \\ 0 }>
[/mm]
Vorne hast Du eine spezielle Lösung, hinten die Lösung des homogenen Systems
Gruß v. Angela
> Auch wenn es kein eindeutiges gibt, gibt man es trotzdem
> in der Form b=(a,b,c,d) an?
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Hallo,
solltet ihr den Rang einer Matrix nicht gegeben haben kannst du doch auch ganz normal das Gauß Verfahren verwenden.
Dein Vektor [mm] \vec{b} [/mm] ist nix anderes als der Lösungsvektor.
Einfach den Lösungsvektor an die Matrix hängen und Gauß anwenden.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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> Dein Vektor [mm]\vec{b}[/mm] ist nix anderes als der
> Lösungsvektor. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Lösungsvektor des Gleichungssystems
$\ [mm] A*\vec{x}\ [/mm] =\ [mm] \vec{b}$
[/mm]
ist natürlich nicht [mm] \vec{b}, [/mm] sondern [mm] \vec{x} [/mm] !
LG
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Erster