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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Di 26.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | −ax + y + 2z = 2
x + y + z = 1
−2x + 2y + az = 3
a [mm] \in \IR [/mm] |
Ich soll die Lösung in abhängigkeit von a bestimmen.
Dazu stelle ich zunächst die Koeffizientenmatrix auf:
[mm] \pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 1 &1\\ -2 & 2 & a & 3}
[/mm]
Naja die rechte Seite ist nicht durch einen Strich abgegrenzt aber ich denke es ist klar was ich meine.
Wenn ich nun den Gauß anwende um auf der Hauptdiagonalen 1en zu erzeugen, führt das dazu, dass ich auf der rechten Seite riesiege Brüche stehen habe aus denen man nichts wirklich ablesen kann....
...was ist hier zu tun um zu einem Ergebnis zu gelangen?
Ich habe mal etwas rumprobiert und bin nun hier gelandet:
Das doppelte der 2. Zeile zur Dritten hinzuaddiert gibt das hier:
[mm] \pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 1 &1\\ 0 & 4 & a+2 & 5}
[/mm]
Nun 2. Zeile und 3. Zeile vertauschen:
[mm] \pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\0 & 4 & a+2 & 5\\ 1 & 1 & 1 &1}
[/mm]
3. Zeile mit a multiplizieren:
[mm] \pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\0 & 4 & a+2 & 5\\ a & a & a &a}
[/mm]
1. Zeile zur 3. Zeile addieren:
[mm] \pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\0 & 4 & a+2 & 5\\ 0 & a+1 & a+2 &a+2}
[/mm]
2. Zeile von 3. Zeile subtrahieren:
[mm] \pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\0 & 4 & a+2 & 5\\ 0 & a-3 & 0 &a-3}
[/mm]
Sofern ich alles richtig gemacht habe sieht die 3. Zeile ja nun recht spannend aus.
Also: [mm] y\cdot(a-3) [/mm] = (a-3) [mm] \Rightarrow [/mm] y=1
Ist das nun ein Information mit der ich was Sinnvolles anstellen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Di 26.05.2009 | | Autor: | jini_9791 |
ich habe die erw. matrix folgendermaßen umgeformt:
(zeile 2 mal a)- zeile 1
(zeile 3 mal 1/2 mal a)- zeile 1
dann die neue zeile 3 - neue zeile 2
und erhalte:
[mm] \pmat{ -a & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1-a & 2-a & 2-a \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2}*a^2 -a & \bruch{3}{2}*a^2 -a}
[/mm]
also erhälst du für z eine unabhängigkeit von a [mm] \Rightarrow [/mm] z=3.
hattest du da sauch so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Di 26.05.2009 | | Autor: | ganzir |
Ne hatte ich nicht, ich abe die erste Zeite durch -a geteilt und auf der ersten Position eine 1 zu haben .... aber wenn man das weiter durchrechnet, die Brüche willst gar nicht erst sehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Di 26.05.2009 | | Autor: | jini_9791 |
versuch doch mal nicht unbedingt 1 auf die diagonale zu bekommen. wenn du alles auf null bringst, bis auf die diagonale bekommst du einfachere brüche.
und mein z=3 ist doch schon ein teil, den du zum lösen brauchst...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Di 26.05.2009 | | Autor: | ganzir |
[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}a^2 [/mm] -a = [mm] \bruch{3}{2}\cdot a^2 [/mm] -a
OK wenn ich das auflöse erhalte ich a = 3
Hier eingesetzt:
−2x + 2y + az = 3
bedeutet das doch, dass 3z = 3 ist. Also z = 1 oder vertue ich mich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Di 26.05.2009 | | Autor: | jini_9791 |
du hast auf der linken seite das z vergessen:
[mm] (\bruch{1}{2} a^2 [/mm] -a) z = [mm] \bruch{3}{2} a^2 [/mm] -a
und ich hab bei mir einen fehler gefunden (ich hatte [mm] 3(\bruch{1}{2}a^2 [/mm] -a)), es kommt dann folgendes für z raus:
z = [mm] \bruch{3a -1}{a-1}
[/mm]
also darf a auf keinen fall 1 sein und du hast somit deine zweite bedingung:
a [mm] \not= [/mm] 1 .
die erste ist a [mm] \not= [/mm] 0 , da ich beim umformen mal a gerechnet habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Di 26.05.2009 | | Autor: | ganzir |
So jetzt noch mal ganz langsam und von vorne:
Wir starten mit:
−ax + y + 2z = 2
x + y + z = 1
−2x + 2y + az = 3
a $ [mm] \in \IR [/mm] $
1. Frage du sagt a [mm] \not= [/mm] 0 da du mit a multipliziert hast, damit ist aber gegen a $ [mm] \in \IR [/mm] $ aus der Aufgabenstellung verstoßen worden, da 0 [mm] \in \IR [/mm] oder nicht?
Wie dem auch sei ich gehe deinen Weg jetzt nochmal nach. Wir haben diese Ausgangsmatrix:
$ [mm] \pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 1 &1\\ -2 & 2 & a & 3} [/mm] $
Wir multiplizieren die 2. Zeile mit a. Dies führt uns zu:
$ [mm] \pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\ a & a & a &a\\ -2 & 2 & a & 3} [/mm] $
Ich meine mal etwas davon gehört zu haben, dass ich die Ausbreitung der Variablen in der Matirx tunlichst verhindern sollte?!
Davon subtrahiere ich die 1. Zeile:
$ [mm] \pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\ 2a & a-1 & a-2 &a-2\\ -2 & 2 & a & 3} [/mm] $
oder meintest du addieren, damit ich auf der ersten Position in der zweiten Zeile eine 0 bekomme? Wäre dann das hier:
$ [mm] \pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\ 0 & a+1 & a+2 &a+2\\ -2 & 2 & a & 3} [/mm] $ ?
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> −ax + y + 2z = 2
> x + y + z = 1
> −2x + 2y + az = 3
>
> a [mm]\in \IR[/mm]
> Ich soll die Lösung in abhängigkeit von a
> bestimmen.
>
> Dazu stelle ich zunächst die Koeffizientenmatrix auf:
>
> [mm]\pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 1 &1\\ -2 & 2 & a & 3}[/mm]
>
> Naja die rechte Seite ist nicht durch einen Strich
> abgegrenzt aber ich denke es ist klar was ich meine.
>
> Wenn ich nun den Gauß anwende um auf der Hauptdiagonalen
> 1en zu erzeugen, führt das dazu, dass ich auf der rechten
> Seite riesiege Brüche stehen habe aus denen man nichts
> wirklich ablesen kann....
>
> ...was ist hier zu tun um zu einem Ergebnis zu gelangen?
>
> Ich habe mal etwas rumprobiert und bin nun hier gelandet:
>
> Das doppelte der 2. Zeile zur Dritten hinzuaddiert gibt das
> hier:
>
>
> [mm]\pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 1 &1\\ 0 & 4 & a+2 & 5}[/mm]
>
> Nun 2. Zeile und 3. Zeile vertauschen:
>
>
> [mm]\pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\0 & 4 & a+2 & 5\\ 1 & 1 & 1 &1}[/mm]
>
> 3. Zeile mit a multiplizieren:
Hallo,
notiere "für [mm] a\not=0", [/mm] denn wenn Du mit 0 durchmultiplizierst, veränderst Du Dein GS erheblich.
>
> [mm]\pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\0 & 4 & a+2 & 5\\ a & a & a &a}[/mm]
>
> 1. Zeile zur 3. Zeile addieren:
>
> [mm]\pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\0 & 4 & a+2 & 5\\ 0 & a+1 & a+2 &a+2}[/mm]
>
> 2. Zeile von 3. Zeile subtrahieren:
>
> [mm]\pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\0 & 4 & a+2 & 5\\ 0 & a-3 & 0 &a-3}[/mm]
>
> Sofern ich alles richtig gemacht habe sieht die 3. Zeile ja
> nun recht spannend aus.
>
> Also: [mm]y\cdot(a-3)[/mm] = (a-3) [mm]\Rightarrow[/mm] y=1
Das ist richtig für [mm] a\not=3. [/mm] Du untersuchst also gerade für [mm] a\in \IR \{0, 3\}
[/mm]
>
> Ist das nun ein Information mit der ich was Sinnvolles
> anstellen kann?
Bring's jetzt weiter auf ZSF. Für die a, die noch im Rennen sind, hast Du durch Division der letzten Zeile durch a-3:
[mm] \pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\0 & 4 & a+2 & 5\\ 0 & 1 & 0 &1} [/mm]
--> [mm] \pmat{ -a & 1 & 2 & 2\\0 & 4 & a+2 & 5\\ 0 & 0 & -a-2 &-1}
[/mm]
Auch hier kannst Du wieder Unterschiede feststellen, je nach Wahl des a.
Am Ende untersuchst Du noch die Matrizen für die a, die unterwegs ausgeschlossen wurden.
Gruß v. Angela
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