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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Do 10.03.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & \alpha} [/mm] und b:= [mm] \vektor{6 \\ 1 \\ \beta}
[/mm]
a) Bestimmen Sie dim Kern A und Rang A in Abhängigkeit von [mm] \alpha \in \IR.
[/mm]
b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von [mm] \alpha \in \IR [/mm] eine Basis des Zeilenraums Za.
c) Für welche Werte von [mm] \alpha \in \IR [/mm] und [mm] \beta \in \IR [/mm] ist das Gleichungssystem lösbar?
d) Bestimmen Sie die Determinante detA in Abhängigkeit von [mm] \alpha \in \IR. [/mm] |
Könnt Ihr mal schauen, ob ich richtig gerechnet habe
a) Bestimmen Sie dim Kern A und Rang A in Abhängigkeit von [mm] \alpha \in \IR. [/mm]
Habe die Matrix in die Zeilen-Stufenform gebracht.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & \alpha-4}
[/mm]
Nun mache ich eine Fallunterscheidung:
1) Für [mm] \alpha [/mm] = 4 : RangA = 2 , dim KernA = (3-2) = 1
2) Für [mm] \alpha \not= [/mm] 4 : Rang = 3, dim KernA = (3-3) = 0
b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von [mm] \alpha \in \IR [/mm] eine Basis des Zeilenraums Za.
Wieder zwei Fälle:
1) Für [mm] \alpha [/mm] = 4 : Basis Za={(1,2,3),(0,-1,-2)}
2) Für [mm] \alpha \not= [/mm] 4 : Basis Za={(1,2,3),(0,-1,-2),(0,0, [mm] \alpha [/mm] -4)}
c) Für welche Werte von [mm] \alpha \in \IR [/mm] und [mm] \beta \in \IR [/mm] ist das Gleichungssystem lösbar?
Habe ein Gleichungssystem aufgestellt und ebenfalls auf die Zeilen-Stufenform gebracht.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 6\\ 0 & -1 & -2 & -5\\ 0 & 0 & \alpha -4 & \beta -10}
[/mm]
Das Gleichungssystem ist für [mm] \alpha \not= [/mm] 4 [mm] \wedge \beta \not= [/mm] 10 lösbar.
d) Bestimmen Sie die Determinante detA in Abhängigkeit von [mm] \alpha \in \IR.
[/mm]
Nach der Regen von Sarrus:
det [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & \alpha} [/mm] = [mm] (\alpha)+(0)+(6)- (0)-(2)-(2\alpha) [/mm] = [mm] -\alpha [/mm] + 4
Ist es sowei richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Do 10.03.2011 | | Autor: | Pause |
Also Teil (a) und (d) sehen ganz schön aus.
Ich persönlich denke bei Teil (b), dass die Fallunterscheidung nicht zwingend notwendig wäre, aber sie ist auch nicht verkehrt (kannste also auch so stehn lassen!).
Bei Teil (c) warst du etwas vorschnell. Die Idee, dass in der letzten Zeile möglichst irgendwas mit Nullen nicht auftreten sollte ist gut, aber leider hast du zu früh aufgehört zu überlegen.
Mein TIPP: Dein LGS ist dann nicht lösbar, wenn in der letzen Zeile stehen würde [mm] \pmat{ \* & \* & \* & \* \\ \* & \* & \* & \* \\ 0 & 0 & 0 & k } [/mm] mit [mm] k\in \IR\setminus\{0\}, [/mm] denn dann müsste da ja eine Gleichung der Form: [mm] 0*x_{3} \not=0 [/mm] stehen, was offensichtlich unsinnig ist!
Ich hoffe ich konnte helfen!
MfG
Pause
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 10.03.2011 | | Autor: | zoj |
Zu der Aufgabe
c) Für welche Werte von $ [mm] \alpha \in \IR [/mm] $ und $ [mm] \beta \in \IR [/mm] $ ist das Gleichungssystem lösbar?
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 6\\ 0 & -1 & -2 & -5\\ 0 & 0 & \alpha -4 & \beta -10} [/mm] $
Da habe ich nicht aufgepasst!
Es müsste lauten:
Das Gleichungssystem ist für $ [mm] \alpha \not= [/mm] $ 4 lösbar. Denn dann können je nach [mm] \beta [/mm] zwei Fälle auftreten. Entweder eine Lösung für [mm] \beta \not= [/mm] 10 oder unendlich viele Lösungen für [mm] \beta [/mm] = 10.
Bei der Aufgabe a) muss man die Dimension von Kern A bestimmen.
Da habe ich folgendes gerechnet:
dimKernA = Zeilenraum - Rang
Kann man diese Formel bei jeder Matrix anwenden?
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Hallo,
> Zu der Aufgabe
> c) Für welche Werte von [mm]\alpha \in \IR[/mm] und [mm]\beta \in \IR[/mm]
> ist das Gleichungssystem lösbar?
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 6\\ 0 & -1 & -2 & -5\\ 0 & 0 & \alpha -4 & \beta -10}[/mm]
>
> Da habe ich nicht aufgepasst!
> Es müsste lauten:
> Das Gleichungssystem ist für [mm]\alpha \not=[/mm] 4 lösbar. Denn
> dann können je nach [mm]\beta[/mm] zwei Fälle auftreten. Entweder
> eine Lösung für [mm]\beta \not=[/mm] 10 oder unendlich viele
> Lösungen für [mm]\beta[/mm] = 10.
Wie kommst du auf unendlich viele Lösungen für [mm] \beta=10, \alpha\neq4? [/mm] Die dritte Zeile wäre dann die Aussage [mm] (\alpha-4)x_3=0 [/mm] und wegen [mm] (\alpha-4)\neq0 [/mm] folgt [mm] x_3=0
[/mm]
Was ist wenn [mm] \alpha=4 [/mm] und [mm] \beta=10 [/mm] ?
>
>
> Bei der Aufgabe a) muss man die Dimension von Kern A
> bestimmen.
> Da habe ich folgendes gerechnet:
> dimKernA = Zeilenraum - Rang
> Kann man diese Formel bei jeder Matrix anwenden?
Was meinst du? Die Dimension des Zeilenraums? Die entspricht dem Rang der Matrix, so würdest du immer Null für die Dimension des Kerns erhalten.
Du kannst mit der Formel für Kern und Rang bei linearen Abbildungen [mm] f:V\to [/mm] W arbeiten:
[mm] \qquad $\dim V=\dim [/mm] Kern(f)+Rang(f)$
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Do 10.03.2011 | | Autor: | zoj |
Stimmt.
Nochmal
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 6\\ 0 & -1 & -2 & -5\\ 0 & 0 & \alpha -4 & \beta -10} [/mm] $
Lösbar für [mm] \alpha [/mm] = 4 und [mm] \beta [/mm] = 10 => unendlich viele Lösungen
Lösbar für [mm] \alpha \not= [/mm] 4 und [mm] \beta [/mm] beliebig => eine Lösung.
Nun sollte es stimen.
Mit Dimension des Zeilenraums meinte ich dimV (Formel).
$ [mm] \dim V=\dim [/mm] Kern(f)+Rang(f) $
Die habe ich gesucht.
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Hallo,
> Stimmt.
>
> Nochmal
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 6\\ 0 & -1 & -2 & -5\\ 0 & 0 & \alpha -4 & \beta -10}[/mm]
> Lösbar für [mm]\alpha[/mm] = 4 und [mm]\beta[/mm] = 10 => unendlich viele
> Lösungen
> Lösbar für [mm]\alpha \not=[/mm] 4 und [mm]\beta[/mm] beliebig => eine
> Lösung.
> Nun sollte es stimen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Mit Dimension des Zeilenraums meinte ich dimV (Formel).
Das stimmt aber im Allgemeinen nicht, die Dimension des Zeilenraums ist die Dimension des Spaltenraums. Daher wird diese gemeinsame Dimension auch als Rang der Matrix bezeichnet.
> [mm]\dim V=\dim Kern(f)+Rang(f)[/mm]
> Die habe ich gesucht.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Do 10.03.2011 | | Autor: | zoj |
>Das stimmt aber im Allgemeinen nicht, die Dimension des Zeilenraums ist >die Dimension des Spaltenraums. Daher wird diese gemeinsame Dimension >auch als Rang der Matrix bezeichnet.
Ja, ich muss mich schon richtig Ausdrücken.
Die Korrekten Bezeichnungen müssen sein.
Danke für die Hilfe
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