www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrix mit exp
Matrix mit exp < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Matrix mit exp: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:17 Fr 05.02.2010
Autor: Unk

Aufgabe
Sei [mm] M=exp(\sigma_{1}\theta), [/mm] mit [mm] \sigma_{1}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}. [/mm]

Beweise die folgende Identität: [mm] M=E\cdot cosh(\theta)+\sigma_1 sinh(\theta), [/mm] wobei E die Einheitsmatrix ist.

Hallo,

ich hab hier so ein paar Probleme mit dem, was ich machen soll. Erstmal finde ich es komisch, dass in der Exponentialfunktion eine Matrix steht. Ich kann da mit nicht so recht etwas anfangen. Mit dem Umschreiben komme ich dementsprechend nicht viel weiter. Muss man da irgendwo Eigenwerte berechnen? Aber wie?

Gruß Unk

        
Bezug
Matrix mit exp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Fr 05.02.2010
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]M=exp(\sigma_{1}\theta),[/mm] mit
> [mm]\sigma_{1}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}.[/mm]
>  
> Beweise die folgende Identität: [mm]M=E\cdot cosh(\theta)+\sigma_1 sinh(\theta),[/mm]
> wobei E die Einheitsmatrix ist.
>  Hallo,
>  
> ich hab hier so ein paar Probleme mit dem, was ich machen
> soll. Erstmal finde ich es komisch, dass in der
> Exponentialfunktion eine Matrix steht. Ich kann da mit
> nicht so recht etwas anfangen. Mit dem Umschreiben komme
> ich dementsprechend nicht viel weiter. Muss man da irgendwo
> Eigenwerte berechnen? Aber wie?
>  
> Gruß Unk

Hallo,

ich nehme mal an, daß [mm] \theta\in \IR [/mm] sein soll.

Du sollst also [mm] exp(\begin{pmatrix}0 & \theta\\ \theta & 0\end{pmatrix} [/mm] berechnen.

Schreibe exp(x) als Exponentialreihe, und setze dann für x Deine Matrix ein. Dann weißt Du, was gemeint ist.

Fürs weitere Vorgehen könnten Eigenwerte etc. eine gute Idee sein...

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Matrix mit exp: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:45 Mo 01.03.2010
Autor: Unk

Hallo nochmal,

inwiefern brauche ich da Eigenwerte? Was ich nun habe ist das:
[mm] \mbox{exp(}\sigma_{1}\theta)&=&\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\cdot\sigma_{1}^{i}\theta^{i} [/mm]

und weiterhin weiß ich noch:
[mm] \mbox{sinh}(z)=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2} [/mm] und [mm] \mbox{cosh}(z)=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} [/mm]

Betrachtet man gerade Potenzen von [mm] \sigma_1, [/mm] so ist das die Einheitsmatrix, bei ungeraden bleibt es [mm] \sigma_1. [/mm]
Weiter umformen konnte ich es bisher aber nicht.

Jetzt stecke ich aber fest. Muss ich die Reihen irgendwie trennen?
Oder wo spielen da nun Eigenwerte eine Rolle?

Gruß Unk

Bezug
                        
Bezug
Matrix mit exp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:09 Mo 01.03.2010
Autor: felixf

Hallo,

> inwiefern brauche ich da Eigenwerte?

das ist eine andere Art und Weise, an die Aufgabe heranzugehen. Du kannst die Matrix diagonalisieren, und benutzen dass [mm] $(T^{-1} [/mm] D [mm] T)^n [/mm] = [mm] T^{-1} D^n [/mm] T$ ist.

> Was ich nun habe ist das:
>  
> [mm]\mbox{exp(}\sigma_{1}\theta)&=&\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\cdot\sigma_{1}^{i}\theta^{i}[/mm]
>  
> und weiterhin weiß ich noch:
>  [mm]\mbox{sinh}(z)=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}[/mm] und
> [mm]\mbox{cosh}(z)=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}[/mm]

Schreib mal die Reihenentwicklung hin.

> Betrachtet man gerade Potenzen von [mm]\sigma_1,[/mm] so ist das die
> Einheitsmatrix, bei ungeraden bleibt es [mm]\sigma_1.[/mm]

Genau.

>  Weiter umformen konnte ich es bisher aber nicht.

Damit kannst du jetzt die Reihe aufteilen, in [mm] $Reihe_1 \cdot [/mm] E + [mm] Reihe_2 \cdot \sigma_1$. [/mm]

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Matrix mit exp: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:53 Mo 01.03.2010
Autor: Unk

Hallo,

> Damit kannst du jetzt die Reihe aufteilen, in [mm]Reihe_1 \cdot E + Reihe_2 \cdot \sigma_1[/mm].
>  
> LG Felix
>  

Genau so hatte ich das vor. Ich bin mal soweit gekommen: [mm] \mbox{exp(}\sigma_{1}\theta)&=&\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\cdot\sigma_{1}^{i}\theta^{i}\\&=&\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(2i)!}\theta^{2i}E+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(2i-1)!}\theta^{2i-1}\sigma_{1}. [/mm]

Ich erkenne da aber noch nicht die Hyperbelfunktionen, also entweder ist es falsch, oder ich muss noch etwas mehr machen.

Es gilt ja [mm] \mbox{cosh}(\theta)=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\theta^{i}+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{i!}{\theta^{i}}\right]. [/mm]

Kann ich das noch irgendwie umformen, dass da dann mein Endergebnis steht?

Gruß Unk

Bezug
                                        
Bezug
Matrix mit exp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:06 Mo 01.03.2010
Autor: felixf

Moin,

> > Damit kannst du jetzt die Reihe aufteilen, in [mm]Reihe_1 \cdot E + Reihe_2 \cdot \sigma_1[/mm].
>
> Genau so hatte ich das vor. Ich bin mal soweit gekommen:
> [mm]\mbox{exp(}\sigma_{1}\theta)&=&\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\cdot\sigma_{1}^{i}\theta^{i}\\&=&\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(2i)!}\theta^{2i}E+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(2i-1)!}\theta^{2i-1}\sigma_{1}.[/mm]

[ok]

> Ich erkenne da aber noch nicht die Hyperbelfunktionen, also
> entweder ist es falsch, oder ich muss noch etwas mehr
> machen.
>
> Es gilt ja
> [mm]\mbox{cosh}(\theta)=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}\theta^{i}+\sum_{i=0}^{\infty}\frac{i!}{\theta^{i}}\right].[/mm]

Nein, das gilt nicht. Hier hast du dich eindeutig verrechnet.

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Matrix mit exp: Alternative
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:24 Mo 01.03.2010
Autor: SEcki


> Beweise die folgende Identität: [mm]M=E\cdot cosh(\theta)+\sigma_1 sinh(\theta),[/mm]

Wenn man ODEs gemacht hat, kann man die Gleichung beweisen, in dem man zeigt, dass beide Gleichungen das AWP [m]\dot{x}=\sigma*x,\,\,x(0)=E[/m] lösen.

SEcki

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de