Matrix zu Eigenvekt. bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Tu-er |
| Aufgabe | Gegeben ist die Information, dass eine nicht invertierbare Matrix die Eigenvektoren [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] zum EW 3 hat und der EV [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] zu einem anderen Eigenwert.
a) Wie lautet der EW zu [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
b) Bestimmen Sie Kern(A) und Matrix A |
Wie bekomme ich den EW raus, wenn ich die EV gegeben habe?
Ich nehme an, dass das charakt. Polynom so aussieht: (3-x)(3-x)x,
aber wie geht es weiter?
Und wie bekomme ich dann eine linear unabhängige Matrix raus?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist die Information, dass eine nicht invertierbare
> Matrix die Eigenvektoren [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> zum EW 3 hat und der EV [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] zu einem
> anderen Eigenwert.
> a) Wie lautet der EW zu [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> b) Bestimmen
> Sie Kern(A) und Matrix A
> Wie bekomme ich den EW raus, wenn ich die EV gegeben
> habe?
Hallo,
nun, es wird ja bereits gesag, daß die Eigenvektoren [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] zum EW 3 sind.
Überlegen mußt Du nur, welcher EW zu [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] gehört.
Hier ist "nicht invertierbar" der entscheidende Hinweis.
Die Abbildung f, die durch A dargestellt wird, tut folgendes:
[mm] f(\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0})=3\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] f(\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0})=...
[/mm]
[mm] f(\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1})=...
[/mm]
Damit seht doch dann die darstellende Matrix.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Di 27.01.2009 | | Autor: | Tu-er |
Wenn der gesuchte EW zum gegebenen EV 0 ist, dann sieht die darstellende Matrix so aus
[mm]\pmat{ 3 & & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ }[/mm]
Diese Matrix wäre ja dann nicht invertierbar, aber wenn ich nun als test die EV finden möchte, komme ich nicht auf die vorgegebenen EV in der Aufgabe?
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> Wenn der gesuchte EW zum gegebenen EV 0 ist, dann sieht die
> darstellende Matrix so aus
> [mm]\pmat{ 3 &0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ }[/mm]
Hallo,
ja, genau.
> Diese
> Matrix wäre ja dann nicht invertierbar, aber wenn ich nun
> als test die EV finden möchte, komme ich nicht auf die
> vorgegebenen EV in der Aufgabe?
Auf welche kommst Du denn?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Di 27.01.2009 | | Autor: | Tu-er |
Wenn A meine darstellende Matrix ist muss ich doch um auf die EV zu kommen folgendes machen:
([mm]$ \pmat{ 3 &0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ } $[/mm] - z*I)*x=0
wobei z die EW sind.
Wenn ich zum Beispiel z=3 wähle komme ich auf die Matrix
([mm]$ \pmat{ 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ } $[/mm])*x=0. Aufgelöst ergibt dann den Nullvektor...
Oder was mache ich da falsch
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> Wenn A meine darstellende Matrix ist muss ich doch um auf
> die EV zu kommen folgendes machen:
>
> ([mm]$ \pmat{ 3 &0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ } $[/mm] -
> z*I)*x=0
>
> wobei z die EW sind.
> Wenn ich zum Beispiel z=3 wähle komme ich auf die Matrix
>
> [mm]$ \pmat{ 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ } $[/mm].
> Aufgelöst
Hallo,
was meinst Du mit "aufgelöst".
Du mußt jetzt den Kern dieser Matrix bestimmen.
> ergibt dann den Nullvektor...
Das ergibt nicht den Nullvektor:
Du erhältst [mm] x_3=0, [/mm] die anderen beiden frei wählbar,
also haben alle Vektoren des Kerns die Gestalt [mm] \vektor{r\\s\\0}= r\vektor{1\\0\\0} [/mm] +s [mm] \vektor{0\\1\\0}, [/mm] und mit [mm] (\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0}) [/mm] hast Du eine Basis zum Eigenraum zum EW 3.
Insbesondere sind [mm] \vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0} [/mm] Eigenvektoren zum EW 3.
Gruß v. Angela
> Oder was mache ich da falsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Di 27.01.2009 | | Autor: | Tu-er |
vielen Dank für die fixe Antwort! Du bist echt eine Hilfe!
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