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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Acores |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 } [/mm] aus Mat(3x3, R)
Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S aus Mat(3x3, R), so dass [mm] S^{-1} [/mm] A S = D eine Diagonalmatrix ist. Bestimmen Sie ausserdem den geometrischen Typ der quadratischen Fläche, die durch die Gleichung [mm] q_D(x1,x2,x3)=1 [/mm] bestimmt wird. (Dabei bezeichnet [mm] q_D [/mm] die durch D definierte quadratische Form) |
Hallo, ich bin momentan am 'trainieren' für meinen letzten Schriftlichen Versuch Mathe1 :/ Bei obiger Aufgabe habe ich bereits alles nötige für den ersten Teil ausgerechnet, Eigenwerte sind 1,2 und 3, Eigenvektoren sind [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}. [/mm] Und ich habe das in eine Matrix gepackt, die Inverse gebildet und dann bei der Multiplikation gab es nicht das gewünschte Ergebnis. Wie ich mit Maple herausgefunden habe, habe ich die Eigenvektoren in einer falschen Reihenfolge aneinander gereiht. Ich habe sie wie oben als Spaltenvektoren hintereinander geschrieben. Maple hat mir aber die Reihenfolge 2,3,1 gegeben und damit funktionierte es. Gibt es irgendwie eine Merkregel mit der ich das nicht mehr falsch mache? Habe noch eine Aufgabe bei der das so lief :/
Und wo wir schonmal dabei sind: Was soll ich beim zweiten Teil der Aufgabe machen? Ich hatte das bei meinem alten Professor nie so und ihc habe keine Ahnung was gefordert ist :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> [mm]A=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 }[/mm] aus Mat(3x3,
> R)
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> Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S aus Mat(3x3, R), so
> dass [mm]S^{-1}[/mm] A S = D eine Diagonalmatrix ist. Bestimmen Sie
> ausserdem den geometrischen Typ der quadratischen Fläche,
> die durch die Gleichung [mm]q_D(x1,x2,x3)=1[/mm] bestimmt wird.
> (Dabei bezeichnet [mm]q_D[/mm] die durch D definierte quadratische
> Form)
> Hallo, ich bin momentan am 'trainieren' für meinen
> letzten Schriftlichen Versuch Mathe1 :/ Bei obiger Aufgabe
> habe ich bereits alles nötige für den ersten Teil
> ausgerechnet, Eigenwerte sind 1,2 und 3, Eigenvektoren sind
> [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}.[/mm]
> Und ich habe das in eine Matrix gepackt, die Inverse
> gebildet und dann bei der Multiplikation gab es nicht das
> gewünschte Ergebnis. Wie ich mit Maple herausgefunden
> habe, habe ich die Eigenvektoren in einer falschen
> Reihenfolge aneinander gereiht. Ich habe sie wie oben als
> Spaltenvektoren hintereinander geschrieben. Maple hat mir
> aber die Reihenfolge 2,3,1 gegeben und damit funktionierte
> es. Gibt es irgendwie eine Merkregel mit der ich das nicht
> mehr falsch mache? Habe noch eine Aufgabe bei der das so
> lief :/
Die Reihenfolge der Eigenvektoren bestimmt, in welcher Reihenfolge die Eigenwerte in der Diagonalmatrix erscheinen. [mm] S^{-1}AS [/mm] ist aber in jedem Fall eine Diagonalmatrix, wenn die Spalten von S eine Basis von Eigenvektoren bilden.
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> Und wo wir schonmal dabei sind: Was soll ich beim zweiten
> Teil der Aufgabe machen? Ich hatte das bei meinem alten
> Professor nie so und ihc habe keine Ahnung was gefordert
> ist :(
Da alle Eigenwerte >0 sind, handelt es sich um ein Ellipsoid, siehe z.B.
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadrik
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Acores |
Dankeschön für die Antwort, hat mir viel geholfen! Hab nur eine Weile kein Internet gehabt, drum gings etwas schlecht mit dem Antworten :/
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