Matrixexponential (2) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Myth |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] e^{A}, [/mm] wobei
[mm] A=\begin{pmatrix}
a & b\\
-b & a
\end{pmatrix}
[/mm]
mit a,b [mm] \in \IR. [/mm] |
Hi zusammen, auch ich hätte eine Frage zu Matrixexponentialfunktionen.
In unserem Skript steht, dass man das auch mit Hauptachsentransformation macht, aber leider ist diese Matrix nicht symmetrisch.
Auch die allgemeine Definition über die Exponentialfunktion [mm] e^{A} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k!} A^{k} [/mm] = [mm] A^{0} [/mm] + [mm] A^{1} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{2}A^{2} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{6}A^{3} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{24}A^{4} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{120}A^{5} [/mm] + [mm] \dfrac{1}{720}A^{6} [/mm] + ... hilft mir nicht weiter, da
[mm] A^2, A^3,A^4,A^5... [/mm] niemals [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] werden.
Welche weiteren Methoden gibt es um [mm] e^A [/mm] zu berechnen?
Gruß Myth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Mo 11.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Berechnen Sie [mm]e^{A},[/mm] wobei
>
> [mm]A=\begin{pmatrix}
a & b\\
-b & a
\end{pmatrix}[/mm]
>
> mit a,b [mm]\in \IR.[/mm]
> Hi zusammen, auch ich hätte eine Frage
> zu Matrixexponentialfunktionen.
>
> In unserem Skript steht, dass man das auch mit
> Hauptachsentransformation macht, aber leider ist diese
> Matrix nicht symmetrisch.
>
> Auch die allgemeine Definition über die
> Exponentialfunktion [mm]e^{A}[/mm] =
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k!} A^{k}[/mm] = [mm]A^{0}[/mm] +
> [mm]A^{1}[/mm] + [mm]\dfrac{1}{2}A^{2}[/mm] + [mm]\dfrac{1}{6}A^{3}[/mm] +
> [mm]\dfrac{1}{24}A^{4}[/mm] + [mm]\dfrac{1}{120}A^{5}[/mm] +
> [mm]\dfrac{1}{720}A^{6}[/mm] + ... hilft mir nicht weiter, da
> [mm]A^2, A^3,A^4,A^5...[/mm] niemals [mm]\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
> werden.
>
> Welche weiteren Methoden gibt es um [mm]e^A[/mm] zu berechnen?
Kennst du [mm] $\exp(A [/mm] + B) = [mm] \exp(A) \exp(B)$, [/mm] falls $A B = B A$ ist?
Falls ja, geht es damit sehr gut. Schreibe $A = [mm] \pmat{a & 0 \\ 0 & a} [/mm] + [mm] \pmat{0 & b \\ -b & 0 }$.
[/mm]
Das Matrixexponential vom ersten Summand ist sehr einfach.
Das Matrixexponential vom zweiten Summand ist auch nicht sonderlich schwer; beachte, dass [mm] $\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}^2 [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }$ [/mm] ist. (Kennst du eine komplexe Zahl, die das gleiche macht?)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Di 12.06.2012 | | Autor: | Myth |
Ok, erstma danke für die schnelle Antwort!
zum ersten Summanden [mm] A_{1} [/mm] = [mm] \pmat{a & 0 \\ 0 & a} [/mm] :
[mm] A^n [/mm] = [mm] \pmat{a^n & 0 \\ 0 & a^n}
[/mm]
also gilt:
[mm]E_{n}+ \dfrac{1}{1!}A[/mm] + [mm]\dfrac{1}{2!}A^{2}[/mm] + [mm]\dfrac{1}{3!}A^{3}[/mm] + ... + [mm]\dfrac{1}{n!}A^{n}[/mm] = [mm] \pmat{1+\dfrac{1}{1!}a + ... + \dfrac{a^{n}}{n!} & 0 \\ 0 & 1+\dfrac{1}{1!}a + ... + \dfrac{a^{n}}{n!}}
[/mm]
und daraus folgt dann:
[mm] e^{A_{1}} [/mm] = [mm] \pmat{e^{a} & 0 \\ 0 & e^{a}}
[/mm]
zum zweiten Summanden [mm] A_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & b \\ -b & 0} [/mm] hab ich gegrübelt, aber leider die komplexe Zahl, die du meinst, bis jetzt noch nicht gefunden...
Gruß Myth
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:28 Mi 13.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, erstma danke für die schnelle Antwort!
>
> zum ersten Summanden [mm]A_{1}[/mm] = [mm]\pmat{a & 0 \\ 0 & a}[/mm] :
>
> [mm]A^n[/mm] = [mm]\pmat{a^n & 0 \\ 0 & a^n}[/mm]
>
> also gilt:
>
> [mm]E_{n}+ \dfrac{1}{1!}A[/mm] + [mm]\dfrac{1}{2!}A^{2}[/mm] +
> [mm]\dfrac{1}{3!}A^{3}[/mm] + ... + [mm]\dfrac{1}{n!}A^{n}[/mm] =
> [mm]\pmat{1+\dfrac{1}{1!}a + ... + \dfrac{a^{n}}{n!} & 0 \\ 0 & 1+\dfrac{1}{1!}a + ... + \dfrac{a^{n}}{n!}}[/mm]
>
> und daraus folgt dann:
>
> [mm]e^{A_{1}}[/mm] = [mm]\pmat{e^{a} & 0 \\ 0 & e^{a}}[/mm]
>
> zum zweiten Summanden [mm]A_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & b \\ -b & 0}[/mm] hab
> ich gegrübelt, aber leider die komplexe Zahl, die du
> meinst, bis jetzt noch nicht gefunden...
>
> Gruß Myth
Sei [mm]Z:=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0}[/mm]
Dann ist [mm] Z^2=-I [/mm] (I = Einheitsmatrix)
Für welche z [mm] \in \IC [/mm] gilt [mm] z^2=-1 [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Do 14.06.2012 | | Autor: | Myth |
Wenn [mm] z^2=-1 [/mm] mit Z [mm] \in \IC [/mm] sein soll, dann muss Z=i sein.
Z = [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 }, [/mm] dann ist [mm] Z^2 [/mm] = -I
Mir ist jetzt nur noch nicht klar, wo genau du hinwillst. Was kann ich mit dieser Information jetzt anfangen?
Gruß Myth
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Mo 18.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wenn [mm]z^2=-1[/mm] mit Z [mm]\in \IC[/mm] sein soll, dann muss Z=i sein.
>
> Z = [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 },[/mm] dann ist [mm]Z^2[/mm] = -I
Was hat diese Matrix mit der Aufgabe zu tun?
Du musst mit $Z = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }$ [/mm] arbeiten.
Es gilt [mm] $Z^2 [/mm] = [mm] -E_2$, [/mm] womit sich die Menge [mm] $\{ a E_2 + b Z \mid a, b \in \IR \}$ [/mm] wie [mm] $\IC$ [/mm] verhaelt (genauer: es sind zwei isomorphe Koerper).
Weiterhin gilt [mm] $\exp(a E_2 [/mm] + b Z) = [mm] \exp(a E_2) \cdot \exp(b [/mm] Z) = [mm] e^a \exp(b [/mm] Z)$.
Jetzt kannst du dich ueberzeugen, dass sich [mm] $\exp(b [/mm] Z)$ wie [mm] $\exp(b [/mm] i)$ verhaelt. Da [mm] $\exp(b [/mm] i) = [mm] \cos [/mm] b + i [mm] \sin [/mm] b$ ist, sollte [mm] $\exp(b [/mm] Z) = [mm] \cos [/mm] b [mm] \cdot E_2 [/mm] + [mm] \sin [/mm] b [mm] \cdot [/mm] Z$ sein. Man kann ohne viel Aufwand nachrechnen, dass dies so ist -- etwa indem man die Reihenentwicklung von [mm] $\cos(b [/mm] Z)$ genau anschaut und mit der Reihenentwicklung von [mm] $\cos [/mm] b [mm] \cdot E_2 [/mm] + [mm] \sin [/mm] b [mm] \cdot [/mm] Z$ vergleicht.
Damit ist [mm] $\exp \pmat{a & b \\ -b & a } [/mm] = [mm] \exp(a E_2 [/mm] + b Z) = [mm] e^a (\cos [/mm] b [mm] \cdot E_2 [/mm] + [mm] \sin [/mm] b [mm] \cdot [/mm] Z) = [mm] \pmat{ e^a \cos b & e^a \sin b \\ -e^a \sin b & e^a \cos b }$.
[/mm]
LG Felix
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> zum zweiten Summanden [mm]A_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & b \\
-b & 0}[/mm] hab
> ich gegrübelt,
Hallo,
Du kannst die Matrix diagonalisieren,
[mm] A_2=\pmat{ -i & i \\ 1 & 1}*$\pmat{ bi & 0 \\ 0 & -bi}$*$\pmat{ 0.5*i & 0.5 \\ -0.5*i & 0.5}$.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Myth |
Ich will ja berechnen was [mm] e^{A_{2}} [/mm] ist, da hilft mir im Moment dein Tipp noch nicht wirklich weiter. Was kann ich damit anfangen, wenn ich weiß, dass [mm] A_{2} [/mm] diagonalisierbar ist. Jetzt hab ich [mm] A_{2} [/mm] in drei Matrizen "aufgespalten", was mir persönlich das Ganze noch nicht wirklich erleichtert.
Gruß Myth
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Hallo Myth,
> Ich will ja berechnen was [mm]e^{A_{2}}[/mm] ist, da hilft mir im
> Moment dein Tipp noch nicht wirklich weiter. Was kann ich
> damit anfangen, wenn ich weiß, dass [mm]A_{2}[/mm] diagonalisierbar
> ist. Jetzt hab ich [mm]A_{2}[/mm] in drei Matrizen "aufgespalten",
> was mir persönlich das Ganze noch nicht wirklich
> erleichtert.
>
Es ist
[mm] A_2= \underbrace{\pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}}_{=S^{-1}} * \underbrace{\pmat{ bi & 0 \\ 0 & -bi}}_{=D} * \underbrace{\pmat{ -i & i \\ 1 & 1}}_{=S} [/mm]
Dann ergibt sich die n.te Potenz von [mm]A_{2}[/mm] zu:
[mm]A_{2}^{n}=S^{-1}*D^{n}*S[/mm]
> Gruß Myth
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Myth |
> Es ist
>
> [mm]A_2= \underbrace{\pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}}_{=S^{-1}} * \underbrace{\pmat{ bi & 0 \\ 0 & -bi}}_{=D} * \underbrace{\pmat{ -i & i \\ 1 & 1}}_{=S}[/mm]
>
> Dann ergibt sich die n.te Potenz von [mm]A_{2}[/mm] zu:
>
> [mm]A_{2}^{n}=S^{-1}*D^{n}*S[/mm]
>
Danke für den Hinweis!
[mm] A_2= \underbrace{\pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}}_{=S^{-1}} \cdot{} \underbrace{\pmat{ b & 0 \\ 0 & -b}\cdot{}\pmat{ i & 0 \\ 0 & i}}_{=D} \cdot{} \underbrace{\pmat{ -i & i \\ 1 & 1}}_{=S}
[/mm]
[mm] A_{2}^n= \underbrace{\pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}}_{=S^{-1}} \cdot{} \underbrace{\pmat{ b^n & 0 \\ 0 & -b^n}\cdot{}\pmat{ i & 0 \\ 0 & i}}_{=D} \cdot{} \underbrace{\pmat{ -i & i \\ 1 & 1}}_{=S}
[/mm]
Das wäre ja dann derselbe Fall wie bei [mm] A_{1} [/mm] und das ergibt dann:
[mm] e^{A_{2}} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & e^b \\ e^{-b} & 0} [/mm] und [mm] e^{A_{1}} [/mm] = [mm] \pmat{ e^a & 0 \\ 0 & e^a}
[/mm]
Damit ergibt sich für [mm] e^A [/mm] = [mm] \pmat{ eâ & e^b \\ e^{-b} & e^a}
[/mm]
Ist das so richtig geschlussfolgert oder darf man das in diesem Fall nicht so machen?
Gruß Myth
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Hallo Myth,
> > Es ist
> >
> > [mm]A_2= \underbrace{\pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}}_{=S^{-1}} * \underbrace{\pmat{ bi & 0 \\ 0 & -bi}}_{=D} * \underbrace{\pmat{ -i & i \\ 1 & 1}}_{=S}[/mm]
> >
> > Dann ergibt sich die n.te Potenz von [mm]A_{2}[/mm] zu:
> >
> > [mm]A_{2}^{n}=S^{-1}*D^{n}*S[/mm]
> >
>
> Danke für den Hinweis!
>
> [mm]A_2= \underbrace{\pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}}_{=S^{-1}} \cdot{} \underbrace{\pmat{ b & 0 \\ 0 & -b}\cdot{}\pmat{ i & 0 \\ 0 & i}}_{=D} \cdot{} \underbrace{\pmat{ -i & i \\ 1 & 1}}_{=S}[/mm]
>
> [mm]A_{2}^n= \underbrace{\pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}}_{=S^{-1}} \cdot{} \underbrace{\pmat{ b^n & 0 \\ 0 & -b^n}\cdot{}\pmat{ i & 0 \\ 0 & i}}_{=D} \cdot{} \underbrace{\pmat{ -i & i \\ 1 & 1}}_{=S}[/mm]
>
> Das wäre ja dann derselbe Fall wie bei [mm]A_{1}[/mm] und das
> ergibt dann:
>
> [mm]e^{A_{2}}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & e^b \\ e^{-b} & 0}[/mm] und [mm]e^{A_{1}}[/mm] =
> [mm]\pmat{ e^a & 0 \\ 0 & e^a}[/mm]
>
[mm]\pmat{ i & 0 \\ 0 & i}}^{n}[/mm] ist nicht für jedes n die Einheitsmatrix.
> Damit ergibt sich für [mm]e^A[/mm] = [mm]\pmat{ eâ & e^b \\ e^{-b} & e^a}[/mm]
>
> Ist das so richtig geschlussfolgert oder darf man das in
> diesem Fall nicht so machen?
>
> Gruß Myth
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Myth |
Wenn ich das mal in [mm] e^A [/mm] = [mm] E_n [/mm] + A + [mm] \frac{1}{2!} A^2 [/mm] + ... + [mm] \frac{1}{n!} A^n [/mm] bekomme ich:
[mm]e^{A_{2}} = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } + \pmat{ 0 & b \\ -b & 0 } + \frac{1}{2!} (S^{-1} \cdot\underbrace{\pmat{ b^2 & 0 \\ 0 & -b^2 }\cdot\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }}_{=D^2}\cdot S) + \frac{1}{3!} (S^{-1} \cdot\underbrace{\pmat{ b^3 & 0 \\ 0 & -b^3 }\cdot\pmat{ -i & 0 \\ 0 & -i }}_{=D^3}\cdot S) + \frac{1}{4!} (S^{-1} \cdot\underbrace{\pmat{ b^4 & 0 \\ 0 & -b^4 }\cdot\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }}_{=D^4}\cdot S)[/mm] + ...
Ist das eine bekannte Reihe für eine trigonometrische Funktion? Ich kann die bis jetzt keiner zuordnen...
Gruß Myth
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Hallo Myth,
> Wenn ich das mal in [mm]e^A[/mm] = [mm]E_n[/mm] + A + [mm]\frac{1}{2!} A^2[/mm] + ...
> + [mm]\frac{1}{n!} A^n[/mm] bekomme ich:
>
> [mm]e^{A_{2}} = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } + \pmat{ 0 & b \\ -b & 0 } + \frac{1}{2!} (S^{-1} \cdot\underbrace{\pmat{ b^2 & 0 \\ 0 & -b^2 }\cdot\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }}_{=D^2}\cdot S) + \frac{1}{3!} (S^{-1} \cdot\underbrace{\pmat{ b^3 & 0 \\ 0 & -b^3 }\cdot\pmat{ -i & 0 \\ 0 & -i }}_{=D^3}\cdot S) + \frac{1}{4!} (S^{-1} \cdot\underbrace{\pmat{ b^4 & 0 \\ 0 & -b^4 }\cdot\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }}_{=D^4}\cdot S)[/mm]
> + ...
>
Die Darstellung von [mm]A_{2}[/mm] stimmt leider nicht ganz:
[mm]A_2= \pmat{ -i & i \\ 1 & 1}* \pmat{ bi & 0 \\ 0 & -bi} * \pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5} [/mm]
Dann sind auch alle Matrizen in der Summendatrstellung reell.
> Ist das eine bekannte Reihe für eine trigonometrische
> Funktion? Ich kann die bis jetzt keiner zuordnen...
>
Nach der korrigierten Darstellung solltest Du
auf bekannte Reihen stossen.
> Gruß Myth
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Myth |
>
> Die Darstellung von [mm]A_{2}[/mm] stimmt leider nicht ganz:
>
> [mm]A_2= \pmat{ -i & i \\ 1 & 1}* \pmat{ bi & 0 \\ 0 & -bi} * \pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}[/mm]
>
> Dann sind auch alle Matrizen in der Summendatrstellung
> reell.
>
Bin mir jetzt nicht ganz sicher, wie du das meinst.
Ist [mm]A_2= \pmat{ -i & i \\ 1 & 1}* \pmat{ bi & 0 \\ 0 & -bi} * \pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}[/mm] jetzt die richtige Darstellung oder ist diese noch fehlerhaft?
Gruß Myth
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> >
> > Die Darstellung von [mm]A_{2}[/mm] stimmt leider nicht ganz:
> >
> > [mm]A_2= \pmat{ -i & i \\
1 & 1}* \pmat{ bi & 0 \\
0 & -bi} * \pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\
-0.5\cdot{}i & 0.5}[/mm]
>
> >
> > Dann sind auch alle Matrizen in der Summendatrstellung
> > reell.
> >
>
>
> Bin mir jetzt nicht ganz sicher, wie du das meinst.
>
> Ist [mm]A_2= \pmat{ -i & i \\
1 & 1}* \pmat{ bi & 0 \\
0 & -bi} * \pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\
-0.5\cdot{}i & 0.5}[/mm]
> jetzt die richtige Darstellung oder ist diese noch
> fehlerhaft?
Hallo,
sie ist falsch.
Richtig ist die, die ich Dir anfangs gesagt hatte.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Myth |
Ok, dann porbier ich mal die ersten Potenzen von [mm] A_{2}:
[/mm]
[mm]A_{2}^1 = \underbrace{\pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}}_{=S^{-1}} \cdot{} \underbrace{\pmat{ bi & 0 \\ 0 & -bi}}_{=D} \cdot{} \underbrace{\pmat{ -i & i \\ 1 & 1}}_{=S} = \pmat{ 0 & -bi \\ -bi & 0 }[/mm]
[mm]A_{2}^2 = \underbrace{\pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}}_{=S^{-1}} \cdot{} \underbrace{\pmat{ -b^2 & 0 \\ 0 & -b^2}}_{=D^2} \cdot{} \underbrace{\pmat{ -i & i \\ 1 & 1}}_{=S} = \pmat{ -b^2 & 0 \\ 0 & -b^2 }[/mm]
[mm]A_{2}^3 = \underbrace{\pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}}_{=S^{-1}} \cdot{} \underbrace{\pmat{ -ib^3 & 0 \\ 0 & ib^3}}_{=D^3} \cdot{} \underbrace{\pmat{ -i & i \\ 1 & 1}}_{=S} = \pmat{ 0 & ib^3 \\ ib^3 & 0 }[/mm]
[mm]A_{2}^4 = \underbrace{\pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}}_{=S^{-1}} \cdot{} \underbrace{\pmat{ b^4 & 0 \\ 0 & b^4}}_{=D^4} \cdot{} \underbrace{\pmat{ -i & i \\ 1 & 1}}_{=S} = \pmat{ b^4 & 0 \\ 0 & b^4 }[/mm]
Sind die so richtig, weil MathePower meinte, dass dann alle Matrizen reel sein müssten?
Gruß Myth
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Hallo,
ich muß mich bei Dir entschuldigen:
ich habe gesehen, daß ich es zuvor falsch aufgeschrieben hatte. (Ist jetzt korrigiert.)
So, wie Du es hattest,
$ [mm] A_2= \pmat{ -i & i \\ 1 & 1}\cdot{} \pmat{ bi & 0 \\ 0 & -bi} \cdot{} \pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5} [/mm] $ ,
ist es richtig!
Tut mir leid, daß Du dadurch unnötige Rechnungen gemacht hast!
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Myth |
> Hallo,
>
> ich muß mich bei Dir entschuldigen:
>
> ich habe gesehen, daß ich es zuvor falsch aufgeschrieben
> hatte. (Ist jetzt korrigiert.)
>
> So, wie Du es hattest,
> [mm]A_2= \pmat{ -i & i \\ 1 & 1}\cdot{} \pmat{ bi & 0 \\ 0 & -bi} \cdot{} \pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}[/mm]
> ,
> ist es richtig!
>
> Tut mir leid, daß Du dadurch unnötige Rechnungen gemacht
> hast!
>
> LG Angela
>
>
Hallo Angela,
kein Problem, ich bin ja froh, dass ihr euch so viel Mühe gebt, mir das zu erklären!
Dann kommen hier meine neuen Vorschläge:
[mm] A_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & b \\ -b & 0 }
[/mm]
[mm] A_{2}^2 [/mm] = [mm] \pmat{ -b^2 & 0 \\ 0 & -b^2 }
[/mm]
[mm] A_{2}^3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -b^3 \\ b^3 & 0 }
[/mm]
[mm] A_{2}^4 [/mm] = [mm] \pmat{ b^4 & 0 \\ 0 & b^4 }
[/mm]
Ok, jetzt sind auch alle reell...
Eingesetzt in [mm] e^{A_{2}} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & b \\ -b & 0 } [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!} \pmat{ -b^2 & 0 \\ 0 & -b^2 } [/mm] + [mm] \bruch{1}{3!} \pmat{ 0 & -b^3 \\ b^3 & 0 } [/mm] + [mm] \bruch{1}{4!} \pmat{ b^4 & 0 \\ 0 & b^4 } [/mm] + ...
Jetzt bin ich mir etwas unsicher, wie man das in eine Reihe zusammenfasst, dass ich sehen kann, welche trigonometrische(n) Funktion(en) dahinter steckt/stecken. Wie mache ich das mit den wechselnden Vorzeichen?
Gruß Myth
edit:
Ok, hab doch was gefunden:
Sinus: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{(2n+1)}}{(2n+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{A_{2}}{1!} [/mm] - [mm] \bruch{A_{2}^3}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{A_{2}^5}{5!} [/mm] - ...
Cosinus : [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{(2n)}}{(2n)!} [/mm] = [mm] \bruch{A_{2}^0}{0!} [/mm] - [mm] \bruch{A_{2}^2}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{A_{2}^4}{4!} [/mm] - ...
Ist dann [mm] e^{A_{2}} [/mm] = [mm] \pmat{ Cos(b) & Sin(b) \\ -Sin(b) & Cos(b) } [/mm] und ist da dann die Einheitsmatrix schon mit drin?
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Hallo Myth,
> > Hallo,
> >
> > ich muß mich bei Dir entschuldigen:
> >
> > ich habe gesehen, daß ich es zuvor falsch aufgeschrieben
> > hatte. (Ist jetzt korrigiert.)
> >
> > So, wie Du es hattest,
> > [mm]A_2= \pmat{ -i & i \\ 1 & 1}\cdot{} \pmat{ bi & 0 \\ 0 & -bi} \cdot{} \pmat{ 0.5\cdot{}i & 0.5 \\ -0.5\cdot{}i & 0.5}[/mm]
> > ,
> > ist es richtig!
> >
> > Tut mir leid, daß Du dadurch unnötige Rechnungen gemacht
> > hast!
> >
> > LG Angela
> >
> >
>
>
> Hallo Angela,
>
> kein Problem, ich bin ja froh, dass ihr euch so viel Mühe
> gebt, mir das zu erklären!
>
> Dann kommen hier meine neuen Vorschläge:
>
> [mm]A_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & b \\ -b & 0 }[/mm]
>
> [mm]A_{2}^2[/mm] = [mm]\pmat{ -b^2 & 0 \\ 0 & -b^2 }[/mm]
>
> [mm]A_{2}^3[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -b^3 \\ b^3 & 0 }[/mm]
>
> [mm]A_{2}^4[/mm] = [mm]\pmat{ b^4 & 0 \\ 0 & b^4 }[/mm]
>
> Ok, jetzt sind auch alle reell...
>
> Eingesetzt in [mm]e^{A_{2}}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] + [mm]\pmat{ 0 & b \\ -b & 0 }[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2!} \pmat{ -b^2 & 0 \\ 0 & -b^2 }[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{3!} \pmat{ 0 & -b^3 \\ b^3 & 0 }[/mm] + [mm]\bruch{1}{4!} \pmat{ b^4 & 0 \\ 0 & b^4 }[/mm]
> + ...
>
> Jetzt bin ich mir etwas unsicher, wie man das in eine Reihe
> zusammenfasst, dass ich sehen kann, welche
> trigonometrische(n) Funktion(en) dahinter steckt/stecken.
> Wie mache ich das mit den wechselnden Vorzeichen?
>
> Gruß Myth
>
> edit:
>
> Ok, hab doch was gefunden:
>
> Sinus: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{(2n+1)}}{(2n+1)!}[/mm]
> = [mm]\bruch{A_{2}}{1!}[/mm] - [mm]\bruch{A_{2}^3}{3!}[/mm] +
> [mm]\bruch{A_{2}^5}{5!}[/mm] - ...
> Cosinus : [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{(2n)}}{(2n)!}[/mm]
> = [mm]\bruch{A_{2}^0}{0!}[/mm] - [mm]\bruch{A_{2}^2}{2!}[/mm] +
> [mm]\bruch{A_{2}^4}{4!}[/mm] - ...
>
> Ist dann [mm]e^{A_{2}}[/mm] = [mm]\pmat{ Cos(b) & Sin(b) \\ -Sin(b) & Cos(b) }[/mm]
> und ist da dann die Einheitsmatrix schon mit drin?
Ja, das ist richtig.
Für b=0 ergibt sich die EInheitstmatrix.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Myth |
[mm] e^{A_{1}} [/mm] = [mm] \pmat{ e^a & 0 \\ 0 & e^a }
[/mm]
[mm] e^{A_{2}} [/mm] = [mm] \pmat{ cos(b) & sin(b) \\ -sin(b) & cos(b) }
[/mm]
[mm]e^A = e^{A_{1}+A_{2}} = e^{\pmat{ a & 0 \\ 0 & a } + \pmat{ 0 & b \\ -b & 0 }} = e^{\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }} \cdot e^{\pmat{ 0 & b \\ -b & 0 }} = \pmat{ e^a & 0 \\ 0 & e^a } \cdot \pmat{ cos(b) & sin(b) \\ -sin(b) & cos(b) } = \pmat{ e^{a}cos(b) & e^{a}sin(b) \\ -e^{a}sin(b) & e^{a}cos(b)}[/mm]
Richtig?
Gruß Myth
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Hallo Myth,
> [mm]e^{A_{1}}[/mm] = [mm]\pmat{ e^a & 0 \\ 0 & e^a }[/mm]
> [mm]e^{A_{2}}[/mm] = [mm]\pmat{ cos(b) & sin(b) \\ -sin(b) & cos(b) }[/mm]
>
> [mm]e^A = e^{A_{1}+A_{2}} = e^{\pmat{ a & 0 \\ 0 & a } + \pmat{ 0 & b \\ -b & 0 }} = e^{\pmat{ a & 0 \\ 0 & a }} \cdot e^{\pmat{ 0 & b \\ -b & 0 }} = \pmat{ e^a & 0 \\ 0 & e^a } \cdot \pmat{ cos(b) & sin(b) \\ -sin(b) & cos(b) } = \pmat{ e^{a}cos(b) & e^{a}sin(b) \\ -e^{a}sin(b) & e^{a}cos(b)}[/mm]
>
>
> Richtig?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß Myth
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Myth |
Dankeschön!!!
Gruß Myth
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