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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrixgleichung aus Paper
Matrixgleichung aus Paper < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrixgleichung aus Paper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Do 25.09.2014
Autor: laupl

Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Matrixgleichung aus einer Veröffentlichung. Die Gleichung lautet
[mm] (\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{A})\boldsymbol{S}= (\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{V})\boldsymbol{\Lambda}(\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{V})^{-1}. [/mm]
Dabei bedeutet H hermitsch (komplex konjugiert und transponiert). Alle Elemente der Matrizen [mm]\in \mathbb{C}[/mm].
Die Matrizen haben die folgenden Dimensionen:
[mm]\boldsymbol{A}[/mm]: [N x M]
[mm]\boldsymbol{S}[/mm]: [M x M]
[mm]\boldsymbol{V}[/mm]: [N x M]
[mm]\boldsymbol{\Lambda}[/mm]: [M x M], Diagonalmatrix
Direkt hinter dieser Gleichung steht: "It becomes clear, that [mm]\boldsymbol{\Lambda}[/mm] and [mm](\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{A})\boldsymbol{S}[/mm] are similar matrices and share their eigenvalues."
Kann mir jemand diese Aussage erklären? Mir ist nämlich ganz und gar nicht klar, warum das so sein sollte.
Falls die Frage so nicht zu beantworten ist, kann es gut sein, dass noch Details über die Matrizen fehlen. Dann einfach nachfragen oder beschreiben unter welchen Voraussetzungen diese Aussage zutrifft.

Dankeschön, Grüße

        
Bezug
Matrixgleichung aus Paper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Do 25.09.2014
Autor: hippias

Tip: Schau doch einmal nach, wann zwei Matrizen similar genannt werden. Dass aehnliche Matrizen gleiche Eigenwerte haben, hast Du sicher schon einmal irgendwo gehoert.

Bezug
                
Bezug
Matrixgleichung aus Paper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:00 Do 25.09.2014
Autor: laupl

Danke für die Antworten!

Bezug
        
Bezug
Matrixgleichung aus Paper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Do 25.09.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

> Hallo,
>  ich habe eine Frage zu einer Matrixgleichung aus einer
> Veröffentlichung. Die Gleichung lautet
>  [mm] (\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{A})\boldsymbol{S}= (\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{V})\boldsymbol{\Lambda}(\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{V})^{-1}. [/mm]
>  
> Dabei bedeutet H hermitsch (komplex konjugiert und
> transponiert). Alle Elemente der Matrizen [mm]\in \mathbb{C}[/mm].
>  
> Die Matrizen haben die folgenden Dimensionen:
>  [mm]\boldsymbol{A}[/mm]: [N x M]
>  [mm]\boldsymbol{S}[/mm]: [M x M]
>  [mm]\boldsymbol{V}[/mm]: [N x M]
>  [mm]\boldsymbol{\Lambda}[/mm]: [M x M], Diagonalmatrix
>  Direkt hinter dieser Gleichung steht: "It becomes clear,
> that [mm]\boldsymbol{\Lambda}[/mm] and
> [mm](\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{A})\boldsymbol{S}[/mm] are
> similar matrices and share their eigenvalues."
>  Kann mir jemand diese Aussage erklären? Mir ist nämlich
> ganz und gar nicht klar, warum das so sein sollte.

Verständlich, denn die Gleichung ist ja aufgebläht wie Blätterteig...

Setze:
   [mm] A=(\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{A})\boldsymbol{S} [/mm]

   [mm] B=\boldsymbol{\Lambda} [/mm]

   [mm] T=\boldsymbol{A}^{\text{H}}\boldsymbol{V} [/mm]


Dann geht die Gleichung doch über in

   [mm] A=TBT^{-1} [/mm]

Das sollte dir auf jeden Fall bekannt vorkommen. Stichwort Ähnlichkeit von Matrizen, so wie hippias es schon erwähnte.


>  Falls die Frage so nicht zu beantworten ist, kann es gut
> sein, dass noch Details über die Matrizen fehlen. Dann
> einfach nachfragen oder beschreiben unter welchen
> Voraussetzungen diese Aussage zutrifft.
>  
> Dankeschön, Grüße


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