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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Mo 12.12.2011 | | Autor: | JackRed |
| Aufgabe | Sei [mm] A_{ij} [/mm] eine (n x n)-Matrix mit dem Eintrag 1 an der Stelle i,j und sonst nur Nullen.
Zeigen Sie:
[mm] A_{ij}A_{kl}=\delta_{jk}A_{il},
[/mm]
wobei [mm] \delta_{jk} [/mm] das Kronecker-Delta ist. |
Hallo,
ich verstehe die Gleichung in der Aufgabe und kann's auch irgendwie nachvollziehen, dass es so ist, aber ich kann's nicht beweisen.
Ich könnte ein Element des Matrixproduktes [mm] A_{ij}A_{kl} [/mm] mit Summenzeichen schreiben, aber das hilft mir auch nicht weiter. Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht weiß in welchen Schritt ich auf [mm] A_{il} [/mm] kommen soll.
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Hallo!
> Sei [mm]A_{ij}[/mm] eine (n x n)-Matrix mit dem Eintrag 1 an der
> Stelle i,j und sonst nur Nullen.
> Zeigen Sie:
>
> [mm]A_{ij}A_{kl}=\delta_{jk}A_{il},[/mm]
>
> wobei [mm]\delta_{jk}[/mm] das Kronecker-Delta ist.
> Hallo,
Ist das die ganze Aufgabenstellung?
>
> ich verstehe die Gleichung in der Aufgabe und kann's auch
> irgendwie nachvollziehen, dass es so ist, aber ich kann's
> nicht beweisen.
>
> Ich könnte ein Element des Matrixproduktes [mm]A_{ij}A_{kl}[/mm]
> mit Summenzeichen schreiben, aber das hilft mir auch nicht
> weiter. Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht weiß in
> welchen Schritt ich auf [mm]A_{il}[/mm] kommen soll.
Ich würde es schon über die Summen probieren.
[mm]E^{i,j}[/mm]
Wie lauted denn [mm](E^{i,j})_{k,l}[/mm] in der Kronecker Schreibweise?
Wenn du das hast, kannst du so anfangen:
[mm](E^{i,j}A)_{k,l}=\sum_{m=1}^{n} (E^{i,j})_{k,m}A_{m,l}[/mm]
Valerie
Edit:
[mm] A_{i,j} [/mm] ist nicht die Einheitsmatrix. Das war blödsinn, sorry.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mo 12.12.2011 | | Autor: | JackRed |
Hi, erstmal danke für deine Antwort.
> Ich würde es schon über die Summen probieren.
>
> zunächst mal ist dein [mm]A_{i,j}[/mm] die Einheitsmatrix [mm]E^{i,j}[/mm]
Wieso ist [mm] A_{i,j} [/mm] eine Einheitsmatrix? Ich denk [mm] A_{i,j} [/mm] hat nur eine 1. Oder hab' ich was falsch verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi, erstmal danke für deine Antwort.
>
> > Ich würde es schon über die Summen probieren.
> >
> > zunächst mal ist dein [mm]A_{i,j}[/mm] die Einheitsmatrix [mm]E^{i,j}[/mm]
> Wieso ist [mm]A_{i,j}[/mm] eine Einheitsmatrix? Ich denk [mm]A_{i,j}[/mm]
> hat nur eine 1. Oder hab' ich was falsch verstanden?
Nein. [mm]A_{i,j}[/mm] ist natürlich nicht die Einheitsmatrix.
FRED
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> Hi, erstmal danke für deine Antwort.
>
> > Ich würde es schon über die Summen probieren.
> >
> > zunächst mal ist dein [mm]A_{i,j}[/mm] die Einheitsmatrix [mm]E^{i,j}[/mm]
> Wieso ist [mm]A_{i,j}[/mm] eine Einheitsmatrix? Ich denk [mm]A_{i,j}[/mm]
> hat nur eine 1. Oder hab' ich was falsch verstanden?
>
Nein, das mit der Eiheitsmatrix war blödsinn! Du hast natürlich recht!
Ich meinte das so:
mit [mm](E^{i,j})_{k,l}=\begin{cases} 1, & \mbox{fuer } j=k \textrm { und } i=l \mbox{ } \\
0 & \mbox{fuer } sonst \mbox{ } \end{cases}=\delta_{jk}\delta_{il}[/mm]
Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Mo 12.12.2011 | | Autor: | JackRed |
Ok, hab's jetzt hinbekommen. Der entscheidende Tipp war, die Komponenten von [mm] A_{ij} [/mm] in Kronecker-Schreibweise zu schreiben.
Dann schreibt man die Komponenten des Produkts von zwei solcher Matrizen A als Summe von Zeilen- und Spaltenprodukt, schreibt die einzelnen Komponenten der A in Deltas und dann kann man in [mm] A_{il} [/mm] zurück zusammenfassen.
Danke für deine Hilfe.
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