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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Sa 19.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
Stcihwort Matrixnorm.
Folgende Definition: [mm] \parallel{A}\parallel_p:=\sup_{x\not=0}\bruch{\parallel{Ax}\parallel_p}{\parallel{x}\parallel_p} [/mm] mit [mm] \parallel{x}\parallel_p:=(\summe_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
Jetzt sehe ich in Büchern und im Internet immer wieder folgendes, wie hier zum Beispiel:
[mm] A\in\IR^{n\times{n}}
[/mm]
[mm] \parallel{Ax}\parallel_1=\summe_{i=1}^{n}|(Ax)_i|=\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}|a_{i,j}x_i|\le....\le{\parallel{A}\parallel_1\parallel{x}\parallel_1}
[/mm]
Aber wo ist jetzt das sup geblieben? Und warum stimmt [mm] \parallel{Ax}\parallel_1=\summe_{i=1}^{n}|(Ax)_i|=\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}|a_{i,j}x_i|? [/mm] Irgendwie verstehe ich das nicht ganz. Versuche mir das auch anhand von Beispielen zu veranschaulichen - vergeblich.
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Sa 19.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> warum stimmt
> [mm]\parallel{Ax}\parallel_1=\summe_{i=1}^{n}|(Ax)_i|=\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}|a_{i,j}x_i|?[/mm]
Ja hier ist $Ax$ ja keine Matrix, sonder ein Vektor...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Sa 19.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Ja hier ist [mm]Ax[/mm] ja keine Matrix, sonder ein Vektor...
danke für die fixe Antwort.
Ich werde mir das jetzt noch mal genauer ansehen. Aber: Wo ist das sup geblieben?
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Sa 19.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich werde mir das jetzt noch mal genauer ansehen. Aber: Wo
> ist das sup geblieben?
Ja diese Abschätzung geht eben nur für $p=1$, da dann nämlich gilt:
(1) [mm] $\parallel A\parallel_1=\max_j\sum_{i=1}^n|a_{ij}|$
[/mm]
d.h. die 1-Matrixnorm ist einfach die "maximale Betrags-Spaltensumme" der Matrix. In dem Thread von gestern siehst du wie ich genau das ausnutze um dieses Supremum zu bestimmen, ohne wirklich unendlich viele Vektoren auszuprobieren (auch wenn mir das da noch nicht klar war). Da verschwindet also das Supremum. 
Ok, nun der richtige Beweis:
[mm] $\parallel{Ax}\parallel_1=\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}x_j|=\sum_{j=1}^{n}|x_j|\cdot\underbrace{\left(\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|\right)}_{\text{j-te Spaltensumme}}\le\sum_{j=1}^{n}|x_j|\cdot\underbrace{\left(\max_j\sum_{i=1}^n|a_{i,j}|\right)}_{\text{größte Spaltensumme}}\stackrel{(1)}{=}\parallel x\parallel_1\cdot\parallel A\parallel_1$
[/mm]
(in deiner vorangegangenen Version hattest du da direkt am Anfang auch zwei Indizes vertauscht, weshalb es natürlich nicht klappen konnte)
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