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| Aufgabe | n x n-Matrix A mit ||A|| < 1
Vektor b [mm] \in \IR^n
[/mm]
Abbildung [mm] f:\IR^n [/mm] ist definiert durch f(x)=b+Ax, x [mm] \in \IR^n [/mm] |
Nun soll ich zeigen dass die Abbildung f:x [mm] \mapsto [/mm] f(x) kontrahierend ist.
Mir fehlt jeglicher Ansatz. Ich gehe davon aus, dass hier mit ||A|| die Gesamtnorm der Matrix gemeint ist (und hoffe, dass ich damit recht habe!?). Doch wie berechne ich die?
[mm] \|A\|=n \cdot \max_{i,j\in\{1,\dots,n\}}|a_{ij}|
[/mm]
Wäre mir mal ein Ansatz aber entspricht da der Vorfaktor n der Zeilen-/Spaltenanzahl meiner Matrix und wie hilft mir das weiter, da die Form ja allgemein gehalten ist?
Was ist mit kontrahierend gemeint? Dass die Abbildung des Vektors b durch die Matrix schrumpft?
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen sodass ich zumindest einen Denkansatz habe.
Danke im Voraus!
Phiber
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Hiho,
eine Funktion ist kontrahierend, wenn gilt:
[mm]||f(x) - f(y)|| \le \alpha ||x-y||[/mm] mit [mm]\alpha\in[0,1][/mm]
Na nun betrachte dochmal ||f(x) - f(y)|| und forme um.
MfG,
Gono.
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