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| Aufgabe | Es seien K ein Körper und [mm] R:=K^{nxn},wobei n\in\IN. [/mm] Man zeige:
a) Der Ring R hat nur Ideale {0} und R, ist aber kein Schiefkörper
b) Jedes von 0 verschiedene Element von R ist entweder Einheit oder Nullteiler. |
Hallo. Ich versuche grad, diese Aufgabe hier zu bearbeiten.
Erstmal eine allgemeine Frage: Ich habe ein Problem, mir den RIng bzw. die Elemente vorzustellen. Es sind ja alles Matrizen, die selbst aus dem Körper kommen, also müsste dann nicht R=K gelten außer eben die Kommutativität bei der Multiplikation.
Zu a) Die Definition von Ideal I ist ja, dass es nicht leer ist,für alle a,b [mm] \in [/mm] I gilt auch [mm] a-b\in [/mm] I und für alle [mm] a\in [/mm] I und [mm] r\inR [/mm] auch [mm] ra\in [/mm] I.
Das das für {0} und R gilt, verstehe ich, aber jetzt muss man ja bestimmt noch zeigen, dass es keine anderen Ideale in dem Ring gibt, oder muss man das nicht mehr zeigen? Wenn man es machen muss, dann weiß ich nicht, wie das geht. Im Prinzip muss man dann doch mit Widerspruch arbeiten, also es gibt ein Ideal B. Muss man sich das selbst bestimmen, welche Elemente da drin sind?
Zum zweiten Teil der Aufgabe a) : Also der RIng ist kein Schiefkörper. Der Schiefkörper ist laut Definition eine Menge mit zwei zweistelligen Verknüpfungen „+“ und „·“, die alle Eigenschaften eines Körpers besitzt, außer dass die Multiplikation nicht notwendigerweise kommutativ ist.(Wikepedia)
Da [mm] R:=K^{nxn}, [/mm] gelten doch alle Eigenschaften außer die Kommutativität, aber das ist ja irrelevant laut Definition. Kann mir einer einen Ansatz oder ein Idee geben, wie man beweisen kann, dass R kein Schiefkörper ist?
Ich freue mich über jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Sa 24.04.2010 | | Autor: | andreas |
hallo
dein grundsätzliches problem scheint zu sein, dass dir nicht klar ist, was der ring $R$ ist. nim zum beispiel $n = 2$, dann ist $R = [mm] K^{2 \times 2} [/mm] = [mm] \left\{ \pmat{ a & b \\ c & d } : a, b, c, d \in K \right\}$ [/mm] der ring der $2 [mm] \times [/mm] 2$-matrizen. habt ihr in der vorlesung gezeigt, dass dies ein ring ist? wenn nein, mach dir das zunächst klar.
> Erstmal eine allgemeine Frage: Ich habe ein Problem, mir
> den RIng bzw. die Elemente vorzustellen. Es sind ja alles
> Matrizen, die selbst aus dem Körper kommen, also müsste
> dann nicht R=K gelten
nein (außer für $n = 1$), siehe oben.
> Zu a) Die Definition von Ideal I ist ja, dass es nicht leer
> ist,für alle a,b [mm]\in[/mm] I gilt auch [mm]a-b\in[/mm] I und für alle
> [mm]a\in[/mm] I und [mm]r\inR[/mm] auch [mm]ra\in[/mm] I.
und $ar [mm] \in [/mm] I$.
> Das das für {0} und R gilt, verstehe ich,
gut.
> aber jetzt muss
> man ja bestimmt noch zeigen, dass es keine anderen Ideale
> in dem Ring gibt, oder muss man das nicht mehr zeigen?
doch genau das musst du noch zeigen.
> Wenn
> man es machen muss, dann weiß ich nicht, wie das geht. Im
> Prinzip muss man dann doch mit Widerspruch arbeiten, also
> es gibt ein Ideal B. Muss man sich das selbst bestimmen,
> welche Elemente da drin sind?
nim an es gibt ein weiteres ideal $B$. angenommen $B [mm] \not= \{0\}$. [/mm] nun musst du zeigen, dass schon $B = R$ gelten muss. da $B [mm] \not= \{0\}$ [/mm] gibt es ein $a [mm] \in [/mm] B$ mit $a [mm] \not= [/mm] 0$...
> Zum zweiten Teil der Aufgabe a) : Also der RIng ist kein
> Schiefkörper. Der Schiefkörper ist laut Definition eine
> Menge mit zwei zweistelligen Verknüpfungen „+“ und
> „·“, die alle Eigenschaften eines Körpers besitzt,
> außer dass die Multiplikation nicht notwendigerweise
> kommutativ ist.(Wikepedia)
> Da [mm]R:=K^{nxn},[/mm] gelten doch alle Eigenschaften außer die
> Kommutativität, aber das ist ja irrelevant laut
> Definition. Kann mir einer einen Ansatz oder ein Idee
> geben, wie man beweisen kann, dass R kein Schiefkörper
> ist?
überlege dir, dass es elemente gibt, die nicht invertierbar sind.
grüße
andreas
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Vielen Dank. Genau, ich hab echt noch Probleme, mir die Objekte vorzustellen, aber eigentlich ist ja ja logisch(Im nachhinein...)
> dein grundsätzliches problem scheint zu sein, dass dir
> nicht klar ist, was der ring [mm]R[/mm] ist. nim zum beispiel [mm]n = 2[/mm],
> dann ist [mm]R = K^{2 \times 2} = \left\{ \pmat{ a & b \\ c & d } : a, b, c, d \in K \right\}[/mm]
> der ring der [mm]2 \times 2[/mm]-matrizen. habt ihr in der vorlesung
> gezeigt, dass dies ein ring ist? wenn nein, mach dir das
> zunächst klar.
Nein, wir hatten den Ring immer nur in Bezug auf Z(ganzen Zahlen) behandelt.
>
> und [mm]ar \in I[/mm].
Stimmt, das hatte ich vergessen, ein Ideal ist ja Rechts-und Linksideal zusammen.
>
So, hab noch ne Frage allgemein zu Idealen. Der Ring selbst ist ja immer ein Ideal, aber dann kann es doch immer nur den Ring selbst als Ideal geben, weil da ja schon alle Elemente drin sind, oder kann zum Beispiel ein Ideal "alle Elemente durch 3 teilbar" sein. Der Ideal ist ja eine Teilmenge von R selbst, oder?
Nun zurück zu dem Beweis
>
> nim an es gibt ein weiteres ideal [mm]B[/mm]. angenommen [mm]B \not= \{0\}[/mm].
> nun musst du zeigen, dass schon [mm]B = R[/mm] gelten muss. da [mm]B \not= \{0\}[/mm]
> gibt es ein [mm]a \in B[/mm] mit [mm]a \not= 0[/mm]...
>
Also es gibt ein [mm]a \in B[/mm] mit [mm]a \not= 0[/mm] und r [mm] \in [/mm] R, für das laut Definition für Ideal gilt: ar [mm] \in [/mm] B . So, nun muss ich bestimmt zeigen, dass ar [mm] \in [/mm] B=R gilt, oder? Was Anderes fällt mir nicht ein, aber warum das gelten sollte, weiß ich nicht. Vielleicht muss man noch die Abgeschlossenheit eines Ideals benutzen oder kann man sagen, dass r eine Matrix ist und bei der Multiplikation mit a bleibt man ja in R:=K^(nxn)
>
> > Zum zweiten Teil der Aufgabe a) : Also der RIng ist kein
> > Schiefkörper. Der Schiefkörper ist laut Definition eine
> > Menge mit zwei zweistelligen Verknüpfungen „+“ und
> > „·“, die alle Eigenschaften eines Körpers besitzt,
> > außer dass die Multiplikation nicht notwendigerweise
> > kommutativ ist.(Wikepedia)
> > Da [mm]R:=K^{nxn},[/mm] gelten doch alle Eigenschaften außer
> die
> > Kommutativität, aber das ist ja irrelevant laut
> > Definition. Kann mir einer einen Ansatz oder ein Idee
> > geben, wie man beweisen kann, dass R kein Schiefkörper
> > ist?
>
> überlege dir, dass es elemente gibt, die nicht
> invertierbar sind.
Ok, aber irgendwie denke ich, dass alle Elemente invertierbar sind oder soll ich mir nur vorstellen, dass es welche gibt(Annahme=> Widerspruch)? Weil wie gesagt, ich verstehs nicht; der Schiefkörper ist ja ein Körper, nur das die Multiplikation nicht kommutativ ist und das ist ja hier genau der Fall weil Matrizenmultiplikation nicht kommutativ.
Oder ich finde Elemente, die keine Einheiten sind, sprich, die nicht invertierbar sind. Also es existiert ein Element c [mm] \in [/mm] R, wofür cd [mm] \not= [/mm] 1 ist d [mm] \in [/mm] R
Oder kann man hier die Determinanten heranziehen und versuchen, es darüber zu beweisen?
Ich hoffe, einer kann mir helfen, weil ich den Wald vor lauter Bäume nicht sehe. Ich habe noch kein großes Wissen, aber ich bin gewillt, zu lernen
Vielen Dank für jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Sa 24.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich hoffe, einer kann mir helfen, weil ich den Wald vor
> lauter Bäume nicht sehe. Ich habe noch kein großes
> Wissen, aber ich bin gewillt, zu lernen
Ist dir bekannt, dass elemenatre Zeilen- bzw. Spaltenumforumngen durch Multiplikation mit den Elementarmatrizen bewerkstelligt wird? Oder anders: wenn es ein Element ungleich 0 gibt, kannst du dann paasende Matrizen finden, dass du eine neue Matrix durch dranmultiplizieren der gewissen Matrizen basteln kannst, die überall 0 ist aus an der Stelle [m](i,j)[/m] gleich 1 ist? Also arbeite mit Matrizen der Form [m]E_{ij}[/m] die außer an der Stelle [m](i,j)[/m] 0 sind, an der Stelle aber 1.
SEcki
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> Ist dir bekannt, dass elemenatre Zeilen- bzw.
> Spaltenumforumngen durch Multiplikation mit den
> Elementarmatrizen bewerkstelligt wird? Oder anders: wenn es
> ein Element ungleich 0 gibt, kannst du dann paasende
> Matrizen finden, dass du eine neue Matrix durch
> dranmultiplizieren der gewissen Matrizen basteln kannst,
> die überall 0 ist aus an der Stelle [m](i,j)[/m] gleich 1 ist?
> Also arbeite mit Matrizen der Form [m]E_{ij}[/m] die außer an der
> Stelle [m](i,j)[/m] 0 sind, an der Stelle aber 1.
War mir unterbewusst irgendwie klar, aber nicht so direkt.
Also ich soll mit Matrizen arbeiten der Form(Beispiel:n=3)
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Soll ich mit dem, was du geschrieben hast, zeigen, dass es Elemente gibt, die wenn man diese multiplizert, o ergeben und dann ist die Determinante gleich 0 und wäre demnach auch nicht invertierbar und deshalb kein Schiefkörper?
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:29 So 25.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Ist dir bekannt, dass elemenatre Zeilen- bzw.
> > Spaltenumforumngen durch Multiplikation mit den
> > Elementarmatrizen bewerkstelligt wird? Oder anders: wenn es
> > ein Element ungleich 0 gibt, kannst du dann paasende
> > Matrizen finden, dass du eine neue Matrix durch
> > dranmultiplizieren der gewissen Matrizen basteln kannst,
> > die überall 0 ist aus an der Stelle [m](i,j)[/m] gleich 1 ist?
> > Also arbeite mit Matrizen der Form [m]E_{ij}[/m] die außer an der
> > Stelle [m](i,j)[/m] 0 sind, an der Stelle aber 1.
>
> War mir unterbewusst irgendwie klar, aber nicht so direkt.
>
> Also ich soll mit Matrizen arbeiten der Form(Beispiel:n=3)
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Soll ich mit dem, was du geschrieben hast, zeigen, dass es
> Elemente gibt, die wenn man diese multiplizert, o ergeben
> und dann ist die Determinante gleich 0 und wäre demnach
> auch nicht invertierbar und deshalb kein Schiefkörper?
Nein, du sollst damit zeigen, dass jedes Ideal, welches mehr als die 0 enthaelt, bereits ganz [mm] $K^{n \times n}$ [/mm] ist -- indem du mit Hilfe der Schluckeigenschaft zeigst, dass es solche Elemente [mm] $E_{ij}$ [/mm] in dem Ideal gibt, und somit auch mit [mm] $\sum_{i=1}^n E_{ii}$ [/mm] die Einheitsmatrix.
Um zu zeigen, dass es ein Schiefkoerper ist, musst du einfach irgendeine Nicht-Einheit angeben, etwa [mm] $E_{11}$. [/mm] (Wobei $n > 1$ sein muss.)
Fuer Aufgabenteil b) brauchst du uebrigens nur, dass [mm] $K^{n\times n}$ [/mm] eine endlichdimensionale $K$-Algebra ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:03 So 25.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Um zu zeigen, dass es ein Schiefkoerper ist, musst du
> einfach irgendeine Nicht-Einheit angeben, etwa [mm]E_{11}[/mm].
> (Wobei [mm]n > 1[/mm] sein muss.)
Moment mal - da fällt mir auf: in Schiefkörpern ist immer noch jedes Element invertierbar! Das Teil ist (außer für n=1) keine Schiefkörper
> Fuer Aufgabenteil b) brauchst du uebrigens nur, dass
> [mm]K^{n\times n}[/mm] eine endlichdimensionale [mm]K[/mm]-Algebra ist.
Oh, stimmt - das ist nett. Ich hatte da sofort eher an etwas elementares gedacht - anhand des Ranges der Matrix kann man entweder die Matrix invertieren oder einen Nullteiler (quasi direkt) angeben.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:12 So 25.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin SEcki,
> > Um zu zeigen, dass es ein Schiefkoerper ist, musst du
das sollte "kein Schiefkoerper" heissen.
> > einfach irgendeine Nicht-Einheit angeben, etwa [mm]E_{11}[/mm].
Und da sollte ein "nicht-triviale" rein.
> > (Wobei [mm]n > 1[/mm] sein muss.)
>
> Moment mal - da fällt mir auf: in Schiefkörpern ist immer
> noch jedes Element invertierbar!
Jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ 
> > Fuer Aufgabenteil b) brauchst du uebrigens nur, dass
> > [mm]K^{n\times n}[/mm] eine endlichdimensionale [mm]K[/mm]-Algebra ist.
>
> Oh, stimmt - das ist nett. Ich hatte da sofort eher an
> etwas elementares gedacht - anhand des Ranges der Matrix
> kann man entweder die Matrix invertieren oder einen
> Nullteiler (quasi direkt) angeben.
Ja, hier geht das auch direkter :)
LG Felix
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> > > Fuer Aufgabenteil b) brauchst du uebrigens nur, dass
> > > [mm]K^{n\times n}[/mm] eine endlichdimensionale [mm]K[/mm]-Algebra ist.
> >
> > Oh, stimmt - das ist nett. Ich hatte da sofort eher an
> > etwas elementares gedacht - anhand des Ranges der Matrix
> > kann man entweder die Matrix invertieren oder einen
> > Nullteiler (quasi direkt) angeben.
>
> Ja, hier geht das auch direkter :)
Also bei b) reicht es aus, wenn man zum Beispiel sagt, dass R Körper ist =>jedes Element ungleich Null hat Inverse =>also kann es nur Einheit(Menge der invertierbaren Elemente) oder Nullteiler.
Kann mir einer mit seinen eigenen Worten erklären, wo der Unterschied zwischen Einheit und Nullteiler ist? Beides setzt ja Inverse voraus...
Vielen Dank schonmal
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 So 25.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also bei b) reicht es aus, wenn man zum Beispiel sagt, dass
> R Körper ist =>jedes Element ungleich Null hat Inverse
> =>also kann es nur Einheit(Menge der invertierbaren
> Elemente) oder Nullteiler.
Nein. In einem Körper gibt es die 0 - und ansonsten EInheiten. Eine Einheit ist kein Nullteiler, ein Nullteiler keine Einheit.
> Kann mir einer mit seinen eigenen Worten erklären, wo der
> Unterschied zwischen Einheit und Nullteiler ist? Beides
> setzt ja Inverse voraus...
Unfug! Für Nullteiler bracuhst du keine Inversen - ein [m]a\neq 0[/m] ist Nullteiler, wenn es ein [m]b\neq 0[/m] gibt mit [m]a*b=0[/m]. Wir reden nicht von Inversen - das geht auch für Ringe ohne eine 1. Aber Einheiten sind nie Nullteiler.
SEcki
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> > Also bei b) reicht es aus, wenn man zum Beispiel sagt, dass
> > R Körper ist =>jedes Element ungleich Null hat Inverse
> > =>also kann es nur Einheit(Menge der invertierbaren
> > Elemente) oder Nullteiler.
>
> Nein. In einem Körper gibt es die 0 - und ansonsten
> EInheiten. Eine Einheit ist kein Nullteiler, ein Nullteiler
> keine Einheit.
>
Ok, aber in meinen Unterlagen steht, dass jeder Körper nullteilerfrei ist, und da der Ring aus K ist, kann es doch keine Nullteiler geben, oder? Oder gibt es doch Nullteiler, weil wir es hier mit Matrizen zu tun haben?
> > Kann mir einer mit seinen eigenen Worten erklären, wo der
> > Unterschied zwischen Einheit und Nullteiler ist? Beides
> > setzt ja Inverse voraus...
>
> Unfug! Für Nullteiler bracuhst du keine Inversen - ein
> [m]a\neq 0[/m] ist Nullteiler, wenn es ein [m]b\neq 0[/m] gibt mit [m]a*b=0[/m].
> Wir reden nicht von Inversen - das geht auch für Ringe
> ohne eine 1. Aber Einheiten sind nie Nullteiler.
>
Ok, danke für die Erklärung
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 So 25.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ok, aber in meinen Unterlagen steht, dass jeder Körper
> nullteilerfrei ist,
Ja, weil jede Zahl außer der 0 Einheit ist.
> und da der Ring aus K ist,
Nein, ist er nicht.
> kann es doch
> keine Nullteiler geben, oder? Oder gibt es doch Nullteiler,
> weil wir es hier mit Matrizen zu tun haben?
Der Ring ist Matrizenring, nicht der Körper K. Da liegt aber viel im Argen. :-(
SEcki
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| Aufgabe | Es seien K ein Körper und R := [mm] K^{nxn}, [/mm] wobei [mm] n\in \IN. [/mm] Man zeige
a) der Ring R hat nur die Ideale [mm] \{0\} [/mm] und R, ist aber kein Schiefkörper.
b) Jedes von 0 verschiedene Element von R ist entweder Einheit oder Nullteiler. |
Hallo,
ich habe mir zu a) folgendes überlegt:
sei 0 [mm] \not= [/mm] a [mm] \in [/mm] I [mm] \cap [/mm] R*, so existiert ein b [mm] \in [/mm] R* mit ab = ba = 1, also ist 1 [mm] \in [/mm] I und damit I = R.
R ist kein Schiefkörper, da Elemente aus R existieren, die keine multiplikative Inverse besitzen.
Ist der Beweis so in Ordnung? bei b) habe ich leider keine Ahnung. Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Gruß, Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 So 25.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ich hab deine Frage mal in einen Thread zur gleichen Aufgabe verschoben.
> Es seien K ein Körper und R := [mm]K^{nxn},[/mm] wobei [mm]n\in \IN.[/mm]
> Man zeige
> a) der Ring R hat nur die Ideale [mm]\{0\}[/mm] und R, ist aber
> kein Schiefkörper.
> b) Jedes von 0 verschiedene Element von R ist entweder
> Einheit oder Nullteiler.
> Hallo,
>
> ich habe mir zu a) folgendes überlegt:
>
> sei 0 [mm]\not=[/mm] a [mm]\in[/mm] I [mm]\cap[/mm] R*,
Wenn $a [mm] \in [/mm] I [mm] \cap R^\ast$ [/mm] ist, dann ist sowieso $a [mm] \neq [/mm] 0$.
> so existiert ein b [mm]\in[/mm] R* mit
> ab = ba = 1, also ist 1 [mm]\in[/mm] I und damit I = R.
Ja. Falls $I [mm] \cap R^\ast \neq \emptyset$ [/mm] gilt. Aber warum sollte das gelten?
> R ist kein Schiefkörper, da Elemente aus R existieren, die
> keine multiplikative Inverse besitzen.
...und die nicht 0 sind!
Du musst aber auch welche angeben, ansonsten kannst du viel behaupten dass es solche gibt.
> Ist der Beweis so in Ordnung?
Da steht kein Beweis.
LG Felix
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> > R ist kein Schiefkörper, da Elemente aus R existieren, die
> > keine multiplikative Inverse besitzen.
>
> ...und die nicht 0 sind!
>
> Du musst aber auch welche angeben, ansonsten kannst du viel
> behaupten dass es solche gibt.
>
So, also bei Widerspruch kann man doch mit einem Beispiel arbeiten, oder?
Behauptung: R ist ein Schiefkörper
Beweis: Betrachte: bei n=2, a,b,c,d=1, also das wäre diese Matrix [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }=A. [/mm] Die ist ja Element von R, aber dieses Element ist nicht invertierbat, da det(A)=0 =>A nicht invertierbar
Widerspruch, weil zur Definition eines Schiefkörpers gehört, dass alle Elemente invertierbar sein müssen.
Ist das richtig?
Wenn nicht, wäre es nett, wenn mir einer helfen würde, damit ich diese Aufgabe verstehe
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 So 25.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ist das richtig
Ja, aber du musst es noch auf bel. n ausdehnen!
SEcki
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Entschuldigung, aber kannst du mir einen Ansatz geben, wie man das für allgemeine n zeigt, weil logisch ist es ja...
Gru8ß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mo 26.04.2010 | | Autor: | andreas |
hallo,
naja was passiert denn wenn du die matrix entsprechend aufbläst. oder betrachte eine matrix die oben links eine eins stehen hat und sonst nur nullen...
grüße
andreas
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Hallo,
hier ist mein zweiter Versuch:
zzg.: R hat nur die Ideale [mm] \{0\} [/mm] und R.
Angenommen es existiert ein Ideal I mit I [mm] \not= \{0\} \wedge [/mm] I [mm] \not= [/mm] R.
Dann gilt rI [mm] \in [/mm] I für r [mm] \in [/mm] R.
sei I invertierbar, dann wähle r := [mm] I^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] rI = [mm] I^{-1}I [/mm] = [mm] E_n \in [/mm] I
also ist auch [mm] rE_n \in [/mm] I, woraus folgt I = R.
Leider denke ich, dass man nicht einfach annehmen kann, dass I invertierbar ist. Kann mir jemand weiterhelfen?
Gruß, Gratwanderer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 28.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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