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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:03 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Skalar85 |
| Aufgabe | Zwei Basen des Vektorraums V der reellen 2x2 obere Dreiecksmatrizen sind gegeben:
[mm] B_{1}:=\{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1},\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } \}
[/mm]
[mm] B_{2}:=\{\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0},\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } \}
[/mm]
Ferner ist die darstellende Matrix der linearen Abbildung L:V [mm] \to [/mm] V bezüglich [mm] B_{1} [/mm] durch
[mm] L_{B1}:=\pmat{ -3/2 & 2 & 0 \\ -1/2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
a) Bestimmen sie die Transformationsmatrix beim Basiswechsel von [mm] B_{1} [/mm] nach [mm] B_{2}, [/mm] indem sie zuerst die Koordinatenabbildung [mm] K_{2} [/mm] bezüglich
[mm] B_{2} [/mm] sowie die Inverse [mm] K_{B1}^{-1} [/mm] zu der Koordinatenabbildung von V bezüglich [mm] B_{1} [/mm] bestimmen.
b) Bestimmen sie [mm] L_{B2} [/mm] |
Ich weiß, dass man wie folgt rechnet:
[mm] L_{B1}= K_{B1} \circ [/mm] L [mm] \circ K_{B1}^{-1} [/mm]
aber ich weiß nicht wie man [mm] K_{B1}^{-1} [/mm] und [mm] K_{B2} [/mm] in diesem fall berechnet,
wenn ich nur [mm] L_{B1} [/mm] und die Basen [mm] B_{1} [/mm] und [mm] B_{2} [/mm] gegeben habe.
Brauche ich denn keine Abbildungsvorschrift, bzw was ist meine Abbildungsvorschrift (ich kann das aus der Aufgabenstellung nicht entnehmen)?
Kann mir jemand sagen wie ich dass rechnen muss?
Nun, meine Überlegung dazu war:
a)
[mm] K_{B1}:=\{\lambda1*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }+ \lambda2*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}+ \lambda3*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } \}
[/mm]
[mm] K_{B1}:=\{\pmat{ \lambda1 & 0 \\ 0 & -\lambda1 }+ \pmat{ \lambda2 & 0 \\ 0 & \lambda2}+ \pmat{ 0 & \lambda3 \\ 0 & 0 } \}
[/mm]
[mm] K_{B1}:={\pmat{ \lambda1 + \lambda2 & \lambda3 \\ 0 & \lambda2-
\lambda1 }}
[/mm]
aber dann komme ich nicht weiter,
aber ich weiß auch nicht, ob meine überlegung einen sinn macht oder nicht.
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> Zwei Basen des Vektorraums V der reellen 2x2 obere
> Dreiecksmatrizen sind gegeben:
>
> [mm]B_{1}:=\{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1},\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } \}[/mm]
>
> [mm]B_{2}:=\{\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0},\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } \}[/mm]
>
> Ferner ist die darstellende Matrix der linearen Abbildung
> L:V [mm]\to[/mm] V bezüglich [mm]B_{1}[/mm] durch
>
> [mm]L_{B1}:=\pmat{ -3/2 & 2 & 0 \\ -1/2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> a) Bestimmen sie die Transformationsmatrix beim
> Basiswechsel von [mm]B_{1}[/mm] nach [mm]B_{2},[/mm] indem sie zuerst die
> Koordinatenabbildung [mm]K_{2}[/mm] bezüglich
> [mm]B_{2}[/mm] sowie die Inverse [mm]K_{B1}^{-1}[/mm] zu der
> Koordinatenabbildung von V bezüglich [mm]B_{1}[/mm] bestimmen.
>
> b) Bestimmen sie [mm]L_{B2}[/mm]
Hallo,
ich werde eine etwas andere Schreibweise verwenden, von welcher ich hoffe, daß sie sich nahezu selbst erklärt. Die Basis rechts unten sagt, mit welchen Koordinaten die Matrix gefüttert wird, die linke Basis sagt, welche Koordinaten sie liefert.
Ich habe den Eindruck, daß Du wichtige Dinge nicht verstanden hast.
Du hast hier eine lineare Abbildung L, die vom Raum der 2x2-Matrizen in den Raum der 2x2-Matrizen abbildet. L wird also auf 2x2-Matrizen angewandt und liefert 2x2-Matrizen.
Angegeben ist die darstellende Matrix von L, [mm] _{B_1}L_{B_1} [/mm] bzgl der Basis [mm] B_1.
[/mm]
Was muß ich denn jetzt rechnen, wenn ich wissen will, was [mm] L(\pmat{ 3 & 3 \\ 0 & 1 }) [/mm] ist? Weißt Du das?
[mm] _{B_1}L_{B_1} [/mm] ist die darstellende Matrix von L bzgl der Basis [mm] B_1. [/mm] Also muß ich erstmal [mm] \pmat{ 3 & 3 \\ 0 & 1 } [/mm] umwandeln in Koordinaten bzgl [mm] B_1:
[/mm]
es ist [mm] \pmat{ 3 & 3 \\ 0 & 1 }=1*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }+2*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}+3*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }=\vektor{1\\2\\3}_{(B_1)}.
[/mm]
Mit diesem Koordinatenvektor bzgl [mm] B_1 [/mm] kann ich nun [mm] _{B_1}L_{B_1} [/mm] füttern, ich bekomme
[mm] \pmat{ -3/2 & 2 & 0 \\ -1/2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }\vektor{1\\2\\3}=\vektor{5/2\\7/2\\0}_{(B_1)} =5/2*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }+7/2*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}+0*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }.
[/mm]
So funktioniert das.
Zu den Koordianatentransformationen:
Du hast schon gesehen: damit ich meine Matrix [mm] _{B_1}L_{B_1} [/mm] verwenden konnte, mußte ich [mm] \pmat{ 3 & 3 \\ 0 & 1 } [/mm] in Koordinaten bzgl [mm] B_1 [/mm] umwandeln. Ich habe das "freischwebend" getan, aber man kann die Sache natürlich ganz systematisch betreiben, und damit sind wir bei den Koordinatenabbildungen.
Die Standardbasis E des Raumes der 2x2-Matrizen ist [mm] E=\{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1\\ 0 & 0},\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } \}
[/mm]
In Koordinaten bzgl E lautet [mm] (\*) B_1=\{\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 }_{(E)},\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}_{(E)},\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 _{(E)}}}
[/mm]
und [mm] B_2= [/mm] ...
Die Koordinatenabbildung [mm] _EK_{B_1} [/mm] wandelt Koordinatenvektoren bzgl. [mm] B_1 [/mm] in solche bzgl. E um. Diese matrix ist sehr einfach aufzustellen. Sie enthält in den Spalten die Koordinaten der Basisvektoren von [mm] B_1 [/mm] bzgl. der Basis E. Mann braucht also nur diese [mm] (\*) [/mm] Vektoren nebeneinander in die Matrix zu stellen.
Die Koordinatenabbildung [mm] _EK_{B_2} [/mm] wandelt Koordinatenvektoren bzgl. [mm] B_2 [/mm] in solche bzgl. E um, die Matrix findet man entsprechend.
Hat man den Wunsch, das umgekehrte zu tun, also Koordinaten bzgl E in solche bzgl. [mm] B_i [/mm] umzuwandeln, so vollführt das die Matrix [mm] _{B_i}K_E=(_EK_{B_i})^{-1}
[/mm]
Was tut man nun, wenn man die Matrix haben will, die Vektoren, die bzgl [mm] B_2 [/mm] gegeben sind, in solche bzgl [mm] B_1 [/mm] umwandeln möchte?
Ganz einfach: man wandelt zuerst von [mm] B_2 [/mm] in E, und dann von E in [mm] B_1.
[/mm]
Die Matrix [mm] _{B_1}K_{B_2} [/mm] erhält man also so: [mm] _{B_1}K_{B_2}=_{B_1}K_{E}*_{E}K_{B_2}=(_EK_{B_1})^{-1}*_{E}K_{B_2}.
[/mm]
Und wenn man von [mm] B_1 [/mm] in [mm] B_2 [/mm] umwandeln will, ist das natürlich die inverse Matrix von [mm] _{B_1}K_{B_2}.
[/mm]
Nun kann man sich der Fragestellung b) zuwenden.
Wenn man den Wunsch hat, die Abbildungsmatrix bzgl. der Basis [mm] B_2, [/mm] also [mm] _{B_2}L_{B_2} [/mm] aufzustellen, was tut man da?
Man wandelt zunächst Koordinaten bzgl [mm] B_2 [/mm] in solche bzgl. [mm] B_1 [/mm] um, diese können von der Matrix [mm] _{B_1}L_{B_1} [/mm] verarbeitet werden, si liefert das Bild bzgl [mm] B_1, [/mm] welches wir dann mit der passenden Koordinatentransformation in Koordinaten bzgl. [mm] B_2 [/mm] verwandeln.
Als Matrixmultiplikation sieht das dann so aus:
[mm] _{B_2}L_{B_2}= _{B_2}K_{B_1} *_{B_1}L_{B_1}* _{B_1}K_{B_2}
[/mm]
So, wenn Du diese Post jetzt nicht gleesen, sondern studiert hast, solltest Du in der Lage sein, mit dieser Anleitung peu à peu das Geforderte durchzuführen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Skalar85 |
| Aufgabe | Angegeben ist die darstellende Matrix von L, $ [mm] _{B_1}L_{B_1} [/mm] $ bzgl der Basis $ [mm] B_1. [/mm] $
Was muß ich denn jetzt rechnen, wenn ich wissen will, was $ [mm] L(\pmat{ 3 & 3 \\ 0 & 1 }) [/mm] $ ist? Weißt Du das? |
Wie kommst du auf die $ [mm] L(\pmat{ 3 & 3 \\ 0 & 1 }) [/mm] $ ?
Den Rest verstehe ich nur nicht wie du darauf kommst..
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> Angegeben ist die darstellende Matrix von L,
> [mm]_{B_1}L_{B_1}[/mm] bzgl der Basis [mm]B_1.[/mm]
>
> Was muß ich denn jetzt rechnen, wenn ich wissen will, was
> [mm]L(\pmat{ 3 & 3 \\ 0 & 1 })[/mm] ist? Weißt Du das?
> Wie kommst du auf die [mm]L(\pmat{ 3 & 3 \\ 0 & 1 })[/mm] ?
> Den Rest verstehe ich nur nicht wie du darauf kommst..
Hallo,
ich habe mir die Matrix einfach ausgedacht um Dir zu zeigen, was es mit der Matrix L auf sich hat, wie man mit L zu den Funktionswerten kommt. Weil ich dachte, daß das möglicherweise nicht klar ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 14.12.2008 | | Autor: | Variable |
Ich blicke da leider nicht so wirklich durch, was du da machst.
Wie macht man denn nun die Bestimmung der Boordinatenabbildung beim Basis-Wechsel? Muss man sich dazu selbst ein L ausdenken oder wie?
Und die Inverse einer Abbildung, wie macht man das? Geht das wie die Inverse bei einer Matrix, immerhin ist die Darstellungsart hier ja eine Matrix.
Tut mir leid, wenn die Fragen hier vielleicht alle nen bischel doof sind, aber ich hab leider das letzte Tutorium UND auch noch die letzte Vorlesung verpasst, und komme daher nicht mehr wirklich mit...
Danke für die Hilfe.
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> Ich blicke da leider nicht so wirklich durch, was du da
> machst.
>
> Wie macht man denn nun die Bestimmung der
> Boordinatenabbildung beim Basis-Wechsel? Muss man sich dazu
> selbst ein L ausdenken oder wie?
Hallo,
wie das mit der Koordinatentransformation geht, hatte ich ja ziemlich genau beschrieben.
Vielleicht zeigst Du mal von Anfang an, was Du bisher getan hast und wie der aktuelle Stand Deiner Bemühungen ist.
Denn wenn ich alles nochmal hinschreibe, bringt das ja nix.
Die Matrix L ist doch vorgegeben. Das ist die Matrix, die die darstellende Matrix der Abildung ist, die man gerade betrachtet.
>
> Und die Inverse einer Abbildung, wie macht man das? Geht
> das wie die Inverse bei einer Matrix, immerhin ist die
> Darstellungsart hier ja eine Matrix.
Die darstellende Matrix der inversen Abbildung ist die inverse der darstellenden Matrix der Abbildung.
>
> Tut mir leid, wenn die Fragen hier vielleicht alle nen
> bischel doof sind, aber ich hab leider das letzte Tutorium
> UND auch noch die letzte Vorlesung verpasst, und komme
> daher nicht mehr wirklich mit...
Tja, Vorlesung und Tutorium können wir hier nicht ersetzen, bei konkreten Fragen bzgl Aufgaben oder dem Verständis helfen wir gern.
Gruß v. Angela
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