Matrizen-Geometrische Deutung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben seien folgende, reelle Matrizen:
[mm] A_1=\bruch{1}{2}\pmat{ \wurzel{3} & -1 \\ 1 & \wurzel{3} }
[/mm]
[mm] A_2=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Beschreiben sie jeweils, welche geometrische Operation durch [mm] x\to{A_i*x} [/mm] bewirkt wird und illustrieren Sie dies druch geeignete Skizzen. |
Die Operationen [mm] A_1*\vec{x} [/mm] und [mm] A_2*\vec{x} [/mm] bewirken eine drehung von [mm] \vec{x} [/mm] am Ursprung.
Stimmt das?
|
|
| |
|
> Gegeben seien folgende, reelle Matrizen:
>
> [mm]A_1=\bruch{1}{2}\pmat{ \wurzel{3} & -1 \\ 1 & \wurzel{3} }[/mm]
>
> [mm]A_2=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> Beschreiben sie jeweils, welche geometrische Operation
> durch [mm]x\toA_i*x[/mm] bewirkt wird und illustrieren Sie dies
> druch geeignete Skizzen.
>
> Die Operationen [mm]A_1*\vec{x}[/mm] und [mm]A_2*\vec{x}[/mm] bewirken eine
> drehung von [mm]\vec{x}[/mm] am Ursprung.
>
> Stimmt das?
Das trifft zwar für die eine der beiden Matrizen zu, aber ich
denke, dass ohnehin genauere Antworten gefragt sind.
Bei einer Drehung wäre außer dem Drehpunkt insbesondere
auch der Drehwinkel wichtig.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
[mm] A_1 [/mm] beschreibt eine Drehung weil die Determinante +1 ist.
Wie finde ich heraus um welchen Winkel [mm] \vec{x} [/mm] gedreht wird?
Für eine Drehmatrix [mm] R_\alpha [/mm] gilt allgemein
[mm] R_\alpha=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}
[/mm]
Dann muss ja gelten:
[mm] A_1=\bruch{1}{2}\pmat{ \wurzel{3} & -1 \\ 1 & \wurzel{3} }=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}
[/mm]
Wie bestimme ich [mm] \alpha? [/mm] Meine Idee war
[mm] \alpha=cos^{-1}(a_{11})=cos^{-1}(\bruch{\wurzel{3}}{2})=30^\circ
[/mm]
[mm] \alpha=sin^{-1}(a_{12})=sin^{-1}(\bruch{-1}{2})=-30^\circ
[/mm]
[mm] \alpha=sin^{-1}(a_{21})=sin^{-1}(\bruch{1}{2})=30^\circ
[/mm]
[mm] \alpha=cos^{-1}(a_{22})=cos^{-1}(\bruch{\wurzel{3}}{2})=30^\circ
[/mm]
Anscheined dreht sich die Matrix um 30 grad gegen den Uhrzeigersinn, aber wieso bekomme ich bei [mm] \alpha=sin^{-1}(a_{12}) [/mm] einen anderen Winkel, also ein Widerspruch (es widerspricht sich mit den anderen Winkeln)?
Muss ich das vorzeichen von [mm] a_{12} [/mm] ignorieren? gilt das ignorieren des vorzeichens nur für [mm] a_{12}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
> [mm]A_1[/mm] beschreibt eine Drehung weil die Determinante +1 ist.
Das genügt nicht als Begründung. Es gibt sehr wohl $\ [mm] 2\,\times\,2$ [/mm] - Matrizen mit
Determinante 1, welche keine Drehungen darstellen !
> Wie finde ich heraus um welchen Winkel [mm]\vec{x}[/mm] gedreht
> wird?
>
> Für eine Drehmatrix [mm]R_\alpha[/mm] gilt allgemein
>
> [mm]R_\alpha=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}[/mm]
>
> Dann muss ja gelten:
>
> [mm]A_1=\bruch{1}{2}\pmat{ \wurzel{3} & -1 \\ 1 & \wurzel{3} }=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Wie bestimme ich [mm]\alpha?[/mm] Meine Idee war
>
> [mm]\alpha=cos^{-1}(a_{11})=cos^{-1}(\bruch{\wurzel{3}}{2})=30^\circ[/mm]
>
> [mm]\alpha=sin^{-1}(a_{12})=sin^{-1}(\bruch{-1}{2})=-30^\circ[/mm]
>
> [mm]\alpha=sin^{-1}(a_{21})=sin^{-1}(\bruch{1}{2})=30^\circ[/mm]
>
> [mm]\alpha=cos^{-1}(a_{22})=cos^{-1}(\bruch{\wurzel{3}}{2})=30^\circ[/mm]
Diese 4 Gleichungen können offensichtlich nicht alle zutreffen,
wie du selber gemerkt hast. Beachte, dass wir nur einen
Winkel [mm] \alpha [/mm] suchen, für welchen $\ [mm] sin(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{-1}{2}$ [/mm] und
$\ [mm] cos(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}$ [/mm] ist.
Aus einer Gleichung der Form $\ [mm] sin(\alpha)\ [/mm] =\ s$ mit -1<s<1 lässt sich
der zugehörige Winkel [mm] \alpha [/mm] nicht eindeutig ermitteln, auch nicht
dessen "Hauptwert" mit [mm] 0\le\alpha<2\pi$ [/mm] !
> Anscheined dreht sich die Matrix um 30 grad gegen den
> Uhrzeigersinn ....
Bemerkung nebenbei: Die Matrix dreht sich überhaupt nicht !
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich weiß leider nicht wie man jetzt den richtigen Winkel [mm] \alpha [/mm] bestimmt
|
|
|
| |
|
Aus $ \ [mm] sin(\alpha)\ [/mm] =\ s\ =\ [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] $ und $ \ [mm] cos(\alpha)\ [/mm] =\ c\ =\ [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] $
folgt erstens wegen [mm] s^2+c^2=1 [/mm] , dass es Lösungen für
[mm] \alpha [/mm] geben muss. Der Hauptwert davon ist
[mm] $\alpha_0\ [/mm] =\ $330° (oder allenfalls -30° bei anderer Wahl des Grundintervalls)
Man kann nur nicht schreiben, dass [mm] $\alpha_0\ [/mm] =\ [mm] arccos(\bruch{\wurzel{3}}{2})$ [/mm] ,
obwohl cos(330°) = cos(-30°) = cos(30°) = [mm] $\bruch{\wurzel{3}}{2}$ [/mm] ist.
(siehe Definition der arccos - Funktion !)
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Ich komme mit den sinus- und cosinusfunktien zurzeit überhaupt nicht zurecht. Für das Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] gilt:
[mm]sin(x)=b \Rightarrow x_1=sin^{-1}(b) \Rightarrow x_2=\pi-x_1=\pi-sin^{-1}(b)[/mm]
Wie bestimme ich alle Lösungen der Gleichung sin(x)=b für das Intervall [mm] [-\infty,\infty]?
[/mm]
Für das Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] gilt:
[mm]cos(x)=b \Rightarrow x_1=cos^{-1}(b) \Rightarrow x_2=2\pi-x_1=2\pi-cos^{-1}(b)[/mm]
Wie bestimme ich alle Lösungen der Gleichung cos(x)=b für das Intervall [mm] [-\infty,\infty]?
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Ich komme mit den sinus- und cosinusfunktien zurzeit
> überhaupt nicht zurecht. Für das Intervall [mm][0;2\pi][/mm]
> gilt:
>
> [mm]sin(x)=b \Rightarrow x_1=sin^{-1}(b) \Rightarrow x_2=\pi-x_1=\pi-sin^{-1}(b)[/mm]
>
> Wie bestimme ich alle Lösungen der Gleichung sin(x)=b für
> das Intervall [mm][-\infty,\infty]?[/mm]
>
> Für das Intervall [mm][0;2\pi][/mm] gilt:
>
> [mm]cos(x)=b \Rightarrow x_1=cos^{-1}(b) \Rightarrow x_2=2\pi-x_1=2\pi-cos^{-1}(b)[/mm]
>
> Wie bestimme ich alle Lösungen der Gleichung cos(x)=b für
> das Intervall [mm][-\infty,\infty]?[/mm]
Guten Abend
Meiner Meinung prägt man sich dies am besten geometrisch,
also auch anschaulich ein. Wenn man irgendeinen ganz beliebigen
Winkel [mm] \alpha [/mm] nimmt [mm] (\alpha \in \IR [/mm] ! ), so gibt es dazu einen eindeutig
bestimmten Punkt $\ [mm] P_{\alpha}\ [/mm] (x|y)$ auf dem Einheitskreis (das ist
der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt M(0|0) ) mit
$\ [mm] x\,=\,cos(\alpha)$ [/mm] und $\ [mm] y\,=\,sin(\alpha)$
[/mm]
Wenn nun zum Beispiel ein bestimmter Cosinuswert c vorliegt,
nehmen wir als Beispiel c = [mm] -\frac{1}{2} [/mm] , dann betrachtet man die
Gerade mit der Gleichung x=c , im Beispiel also x = [mm] -\frac{1}{2} [/mm] ,
und schaut, in welchen Punkten und bei welchen Polarwinkeln
sie den Einheitskreis schneidet. Einmal kommt da natürlich der
Polarwinkel [mm] $\alpha_0\ [/mm] =\ [mm] arccos(-\frac{1}{2})\ [/mm] =\ 120$° in Frage.
Dann ist aber (durch Angucken der Geraden x = [mm] -\frac{1}{2} [/mm] und
des Einheitskreises) sofort klar, dass der an der x-Achse gespiegelte
Punkt ebenfalls Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis sein muss.
Dazu gehört der Winkel 360° - 120° = 240° .
Ferner kann man nun zu jeder der beiden schon gefundenen
Lösung für den Winkel ein beliebiges Vielfaches von 360° (mit
ganzzahligem Vorfaktor) addieren. Insgesamt hat man dann
natürlich unendlich viele mögliche Winkel mit demselben vorge-
gebenen Cosinuswert.
Die Überlegungen sind ganz analog, wenn es um die möglichen
Winkel mit einem bestimmten vorgegebenen Sinuswert geht.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Hallo,
Ich hätte den ersten Aufgabenteil jetzt so gelöst:
Die Matrix [mm] A_1 [/mm] ist eine Drehmatrix. Durch $ [mm] x\to{A_1\cdot{}x} [/mm] $ wird eine Drehung des Vektors [mm] \vec{x} [/mm] um [mm] \alpha=30^\circ [/mm] gegen den uhrzeigersinn bewirkt, weil mit [mm] \alpha=30^\circ [/mm] die folgende Gleichung gilt:
$ [mm] A_1=\bruch{1}{2}\pmat{ \wurzel{3} & -1 \\ 1 & \wurzel{3} }=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} [/mm] $
Außerdem ist die Determinante einer Drehmatrix gleich +1 und der betrag der Spaltenvektoren sind gleich 1. Diese Bedingungen werden von [mm] A_1 [/mm] erfüllt.
Ist die Lösung richtig und reicht die Begründung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Mi 01.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Ich hätte den ersten Aufgabenteil jetzt so gelöst:
>
> Die Matrix [mm]A_1[/mm] ist eine Drehmatrix. Durch [mm]x\to{A_1\cdot{}x}[/mm]
> wird eine Drehung des Vektors [mm]\vec{x}[/mm] um [mm]\alpha=30^\circ[/mm]
> gegen den uhrzeigersinn bewirkt, weil mit [mm]\alpha=30^\circ[/mm]
> die folgende Gleichung gilt:
>
> [mm]A_1=\bruch{1}{2}\pmat{ \wurzel{3} & -1 \\ 1 & \wurzel{3} }=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}[/mm]
>
> Außerdem ist die Determinante einer Drehmatrix gleich +1
> und der betrag der Spaltenvektoren sind gleich 1. Diese
> Bedingungen werden von [mm]A_1[/mm] erfüllt.
>
> Ist die Lösung richtig
ja
> und reicht die Begründung?
mir schon
fred
|
|
|
| |
|
Die Matrix [mm] A_2 [/mm] ist eine Spiegelungsmatrix, weil es für [mm] \alpha=90° [/mm] gilt:
[mm] A_2=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha\end{pmatrix} [/mm]
Außerdem ist die Determinante einer Spiegelungsmatrix gleich -1. Diese bedingung wird von [mm] A_2 [/mm] erfüllt.
Ist die Lösung richtig?
Ich habe aber noch ne frage. So genau wird der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] gespiegelt? an der x- oder y-Achse?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Do 02.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Die Matrix [mm]A_2[/mm] ist eine Spiegelungsmatrix, weil es für
> [mm]\alpha=90°[/mm] gilt:
>
> [mm]A_2=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha\end{pmatrix}[/mm]
>
> Außerdem ist die Determinante einer Spiegelungsmatrix
> gleich -1. Diese bedingung wird von [mm]A_2[/mm] erfüllt.
>
> Ist die Lösung richtig?
Ja
>
> Ich habe aber noch ne frage. So genau
Du meinst wohl "wo genau..."
> wird der Vektor
> [mm]\vec{x}[/mm] gespiegelt? an der x- oder y-Achse?
Weder noch.
Nimm mal die Einheitsvektoren und schau, was [mm] A_2 [/mm] mit denen macht ...
FRED
|
|
|
| |
|
> Nimm mal die Einheitsvektoren und schau, was [mm]A_2[/mm] mit denen
> macht ...
[mm] A_2 [/mm] spiegelt die einheitsvektoren an der Gerade y=x.
Ist das immer so? werden Vektoren druch die Spiegelungsmatrix immer an der Geraden y=x gespiegelt?
|
|
|
| |
|
> > Nimm mal die Einheitsvektoren und schau, was [mm]A_2[/mm] mit denen
> > macht ...
>
> [mm]A_2[/mm] spiegelt die einheitsvektoren an der Gerade y=x.
>
> Ist das immer so? werden Vektoren druch die
> Spiegelungsmatrix immer an der Geraden y=x gespiegelt?
Was genau meinst du mit dem "immer" ?
Was genau die hier vorliegende Matrix mit einem beliebigen
Vektor [mm] $\vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{x\\y}$ [/mm] anstellt, solltest du eigentlich sehr
leicht selber nachrechnen können.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> Was genau meinst du mit dem "immer" ?
Für eine Spiegelungsmatrix S gilt ja
[mm] S=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha\end{pmatrix}
[/mm]
Wenn diese Matrix mit einem Vektor multipliziert wird, dann spiegelt sich der Vektor an der gerae y=x.
Wid für unterschiedliche [mm] \alpha [/mm] immer ein Vektor an der Gerade y=x gespiegelt, wenn sie mit der Spiegelungsmatrix multipliziert wird?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Do 02.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Was genau meinst du mit dem "immer" ?
>
> Für eine Spiegelungsmatrix S gilt ja
>
> [mm]S=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha\end{pmatrix}[/mm]
>
> Wenn diese Matrix mit einem Vektor multipliziert wird, dann
> spiegelt sich der Vektor an der gerae y=x.
>
> Wid für unterschiedliche [mm]\alpha[/mm] immer ein Vektor an der
> Gerade y=x gespiegelt, wenn sie mit der Spiegelungsmatrix
> multipliziert wird?
Natürlich nicht ! Nimm mal [mm] \alpha=0. [/mm] Wo wird dann gespiegelt ?
FRED
|
|
|
| |
|
> Natürlich nicht ! Nimm mal [mm]\alpha=0.[/mm] Wo wird dann
> gespiegelt ?
>
es wird an der x-asche gespiegelt. Das heißt wenn ein Vektor mit der Matrix $ [mm] S=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha\end{pmatrix} [/mm] $ multipliziert wird, dann wird der Vektor an irgendeiner Geraden gespiegelt. Wie finde ich rechnerisch heraus an welcher Geraden gespiegelt wird ? Das heißt ich will nicht immer beispielvektoren z.b. einheitsvektoren mit der spiegelungsmatrix multiplizieren um herauszufinden wo gespiegelt wird.
|
|
|
| |
|
>
> > Natürlich nicht ! Nimm mal [mm]\alpha=0.[/mm] Wo wird dann
> > gespiegelt ?
> >
> es wird an der x-Achse gespiegelt. Das heißt wenn ein
> Vektor mit der Matrix [mm]S=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha\end{pmatrix}[/mm]
> multipliziert wird, dann wird der Vektor an irgendeiner
> Geraden gespiegelt.
Wenn du das so formulierst "das heißt wenn .... , dann ...." ,
dann "glaubst" du hier etwas, ohne es wirklich auch schon
begriffen zu haben ...
> Wie finde ich rechnerisch heraus an
> welcher Geraden gespiegelt wird ? Das heißt ich will nicht
> immer beispielvektoren z.b. einheitsvektoren mit der
> spiegelungsmatrix multiplizieren um herauszufinden wo
> gespiegelt wird.
Das kann ich gut nachvollziehen - wäre ja ein bisschen blöd ...
Du kannst dir aber selber die Brücke bauen, die zum Ziel
führt:
1.) Nimm einfach einmal ein einfaches konkretes Beispiel,
indem du etwa den Winkel [mm] \alpha [/mm] = 30° wählst.
Wähle auch ein paar (wenige) konkrete Punkte und bilde
sie mit der Matrix ab. Zeichne dir Punkte und zugehörige
Bildpunkte in einem Koordinatensystem ein.
2.) Stelle eine Vermutung auf, welches die Spiegelungsachse
sein müsste, falls die Abbildung tatsächlich eine Geraden-
spiegelung darstellt. Wichtig dabei: was genau hat diese
Achse mit dem Winkel [mm] \alpha [/mm] zu tun ?
3.) Versuche, deine Vermutung zu beweisen. Zuerst vielleicht
mal noch am konkreten Beispiel mit dem Winkel [mm] \alpha [/mm] = 30° ,
aber für einen beliebigen Punkt P(x|y) in der Ebene ,
dann aber auch allgemein, also für einen beliebigen
Winkel [mm] \alpha [/mm] .
Wenn du diese Anleitung erfolgreich durchgeführt hast, wirst
du:
1.) Einiges über Geometrie, insbesondere Trigonometrie und
über Abbildungsmatzizen gelernt haben
2.) in deinem späteren Leben kaum nochmals die langweilige
Übung mit dem Abbilden der Einheitsvektoren durchführen
müssen ...
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
> Du kannst dir aber selber die Brücke bauen, die zum Ziel
> führt:
>
> 1.) Nimm einfach einmal ein einfaches konkretes Beispiel,
> indem du etwa den Winkel [mm]\alpha[/mm] = 30° wählst.
> Wähle auch ein paar (wenige) konkrete Punkte und
> bilde
> sie mit der Matrix ab. Zeichne dir Punkte und zugehörige
> Bildpunkte in einem Koordinatensystem ein.
>
> 2.) Stelle eine Vermutung auf, welches die
> Spiegelungsachse
> sein müsste, falls die Abbildung tatsächlich eine
> Geraden-
> spiegelung darstellt. Wichtig dabei: was genau hat
> diese
> Achse mit dem Winkel [mm]\alpha[/mm] zu tun ?
>
> 3.) Versuche, deine Vermutung zu beweisen. Zuerst
> vielleicht
> mal noch am konkreten Beispiel mit dem Winkel [mm]\alpha[/mm]
> = 30° ,
> aber für einen beliebigen Punkt P(x|y) in der
> Ebene ,
> dann aber auch allgemein, also für einen beliebigen
> Winkel [mm]\alpha[/mm] .
ich habe schon mit Punkt 1 Probleme, weil ich keine guten Beispiele finde, wo die Spiegelung ganze zahlen hat. Ich bekomme immer Werte mit vielen nachkomma stellen. Solche Punkte kann man schlecht zeichnen.
Zu Punkt zwei kann ich keine vermutung aufstellen. Mir fällt nichts auffälliges auf mit dem Winkel [mm] \alpha [/mm] (ich habe auch keine gute skizze wegen den unschönen werten). Kannst du mir sagen was ich erkennen sollte?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 So 05.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
(1,0) und (0,1) zu spiegeln kann man doch ohne Zahlen, wenn man die 30° oder 60° oder einen anderen winkel einträgt!
und bei 90° weisst du schon: Winkelhalbierende!
Gruß ledum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Do 02.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
das kannst du doch leicht nachprüfen indem du das Bild von (1,0) oder (0,1) ansiehst!.
dann siehst du auch direkt, was A2 tut! nicht drehen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo!
Die Aufgabe verlang ja auch, daß du Skizzen erstellst. Wenn ich nicht wüßte, was diese Matritzen denn machen, würde ich doch erstmal schaut, was die matrix aus den acht Vektoren
[mm] \vec{x}=\vektor{x\\y} [/mm] mit [mm] x,y\in{-1;0;1}
[/mm]
(den Fall 0;0 kann man weg lassen) macht. Da wird schonmal recht deutlich,was eine matrix anstellen könnte.
|
|
|
| |
|
Ich habe ne frage zur passiven drehung. Ich beziehe mich dabei auf den ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia Artikel
Bei der passiven Drehung wird das Koordinatensystem mathematisch positiv gedreht. Die Drehmatrix für die passive Drehung ist:
[mm] R_{\alpha}^{-1}=\pmat{ cos\alpha & sin\alpha \\-sin\alpha & cos\alpha }
[/mm]
Ich will jetzt den Punkt p=(2,2) um 60° passiv drehen und skizzieren. Es gilt ja:
[mm] p'=R_{\alpha}^{-1}*p=\pmat{ cos\alpha & sin\alpha \\-sin\alpha & cos\alpha }*\vektor{2 \\2}=\vektor{2,732 \\ -0,732}
[/mm]
wie zeichne ich jetzt den Punkt [mm] p'=\vektor{2,732 \\ -0,732} [/mm] ein? muss ich den Punkt [mm] p'=\vektor{2,732 \\ -0,732} [/mm] im gedrehten Koordinatensystem zeichnen? dann bekomme ich genau den Punkt p im alten Koordinatensystem.
so sehe dann meine skizze aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wäre das richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mo 06.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja p' ist richtig, du solltest di Koordinaten in x'y' ablesen können!
Vorstellungen passiven Drehung: du schnallst dir an deinen Gürtel ein KOS dann lokalisierst du in deinem Zimmer z.B einen Punkt auf deinem Schreibtisch mit (2,2) jetzt drehst du dich um deine Achse, das KOOs an deinem Gürtel ist gedreht, der Punkt am Schreibtisch ist aber im Raum noch an derselben Stelle, in deinem gedrehten KOS hat er aber neue Koordinaten, die du in deiner Zeichnung auch (etwa) ablesen kannst.
Gruß ledum
|
|
|
| |
|
Ich habe noch eine Frage zur Drehung im Raum [mm] \IR^3. [/mm] Ich beziehe mich dabei auf den Wikipedia Artikel
Für eine Drehung um eine Ursprungsgerade wird die fette Drehmatrix [mm] R_n(\alpha) [/mm] benutzt. Angenommen ich möchte um die Ursprungsgerade (1,1,1) drehen. Dann muss ich doch
[mm] n_1=n_2=n_3=\bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
in die Drehmatrix [mm] R_n(\alpha) [/mm] einsetzen, richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Di 07.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
aber es wäre nett mal zu sagen was man mit den anderen Antworten anfangen konnte und nicht nur immern eue Fragen zu stellen.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hallo,
> aber es wäre nett mal zu sagen was man mit den anderen
> Antworten anfangen konnte und nicht nur immern eue Fragen
> zu stellen.
die antworten haben mir weiter geholfen. ich habe bezüglich der Drehmatrix alles verstanden. ich habe nur noch eine Frage zur Drehmatrix. Bei einer Drehung im Raum um eine beliebige Matrix gilt laut wikipedia die folgende Gleichung (rot markiert):
Gleichung
Ich habe eine Frage zur linken Seite: [mm] R_n(\alpha)\vec{x}
[/mm]
Beduetet diese linke Seite [mm] R_n(\alpha) [/mm] (das ist ja die große Drehmatrix) mutlipliziert mit der beliebigen Achse [mm] \vec{x}?
[/mm]
ich hoffe meine Frage ist verständlich. Es geht wirklich nur um die linke Seite [mm] R_n(\alpha)\vec{x}. [/mm] ich weiß nicht ob das eine Bezeichnung ist oder eine Multiplikation [mm] R_n(\alpha)\vec{x}=R_n(\alpha)*\vec{x}
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Anders gefragt: ich will wissen ob die folgende Gleichung gilt:
Gleichung
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Do 09.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
sowas ist immer eine Multiplikation
Gruß ledum
|
|
|
| |
|
Demnach benutzt man für die Drehung um eine beliebige Ursprungsgerade und um eine beliebige Achse (z.B. eine Asche, das nicht durch den Ursprung geht) die selbe Drehmatrix.
Habe ich das richtig verstanden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Fr 10.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, überleg doch mal selbst!
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hallo,
auf wikipedia steht, für die Drehung um eine beliebige ursprungsgerade wird die Drehmatrix [mm] R_n(\alpha) [/mm] benutzt. Wenn ich jetzt den Vekotr [mm] \vec{x} [/mm] um eine beliebige Ursprungsgerade drehen möchte, dann gilt die Gleichung:
Drehung um eine Ursprungsgerade = [mm] R_n(\alpha)*\vec{x}
[/mm]
Habe ich das soweit richtig verstanden?
Jetzt steht da weiter: Für die Drehung des Vektors [mm] \vec{x} [/mm] um eine beliebige Achse (also auch eine Achse, das nicht durch den Ursprung verläuft) gilt:
Drehung um beliebige Achse = [mm] R_n(\alpha)*\vec{x}
[/mm]
Das ist ja dieselbe Gleichung? also wird sowohl für die Drehung um eine Ursprungsgerade oder um eine beliebige Asche dieselbe Drehmatrix benutzt, nämlich die Drehmatrix [mm] R_n(\alpha). [/mm] Siehe das folgende Bild
Ich hoffe ich konnte mein Problem verdeutlichen. ich finde die Wikipedia artikel sehr ungenau erklärt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Sa 11.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
willst du Vektoren oder Ortsvektoren drehen?
ein Vektor ändert nur seine Richtung im Raum bei Drehung, ein Punkt also Ortsvektor ändert seinen Ort.
wenn du einen Punkt um eine Achse die nicht durch 0 geht drehen willst verschiebe die Achse durch 0 und Punkt ebenso. dann drehe und schiebe anschließend zurück.
irgendwie musst du doch auch eine Vorstellung haben, und sehen, dass wenn man einen Punkt um eine Gerade durch 0 dreht oder um eine dazu parallele Gerade etwas verschiedenes rauskommt??
in wiki ist nur gezeigt, dass man statt [mm] R_\alpha*x [/mm] auch die andere Formel ohne Matrix benutzen kann. auch wiki verlangt also mitdenken
Gruß ledum
Gruß ledum
|
|
|
| |
|
Ich öffne eine neue Frage weil die ursprüngliche Frage (aufgabe) gelöst ist.
Diese frage kann als beantwortet markeirt werden
|
|
|
|
![[]](http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=adb73d-1465331520.png){kind=small}
Gleichung![[]](http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=97c6ff-1465458349.png){kind=small}
Gleichung![[]](http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=279ed4-1465593409.png){kind=small}
Bild