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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Do 03.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo Ihr!
Ich hab da eine Aufgabe:
Es sei n eine nat¨urliche Zahl, und M eine n × n-Matrix in Zeilenstufenform.
Zeigen Sie:
M ist entweder die Einheitsmatrix oder die letzte Zeile ist die Nullzeile.
Nun ist mir durchaus klar warum das so ist und ich hab auch verstanden dass es nicht anders sein kann.
Nur hab ich keine Ahnung wie ich das zu Papier bringen kann!
Meine Idee war irgendwas zu schreiben mit, wenn in einer quadratischen Matrix an der Stelle a11 keine 1 steht sondern rechts davon an der Stelle a1n, dann bleiben darunter nicht mehr genug Zeilen für weitere Pivots.
Wie kann man das schreiben?
Vielen Dank im Vorraus!
Lg, Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Do 03.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
kann es sein, dass du hier etwas falsch aufgeschrieben hast ode rihr eine komische Definition von Zeilenstufenform habt?
[mm] $\pmat{1&2&3\\0&4&5\\0&0&6}$ [/mm] ist jawohl in Zeilenstufenform und eine 3x3 Matrix, aber nicht die Einheitsmatrix
(höchstens "ähnlich" zu ihr - dies ist ein mathematischer Begriff, den du vielleicht noch nicht kennst)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Do 03.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Also unsere Defintion von Zeilenstufenform war die folgende:
i) Der erste von Null verschiedene Eintrag jeder Zeile ist eine 1! Er heißt Pivot.
ii) Der Pivot in Zeile (i+1) steht rechts von dem Pivot in Zeile i.
iii) Alle Einträge oberhalb eines Pivots sind null.
Nach diesen (unseren) Kriterien ist deine Beispielmatrix nicht in ZSF. Vielleicht kannst du dir jetzt ein Bild von der Aufgabe machen!?
Lg, Kübi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Do 03.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ok - ich habe den Status der Frage mal zurück gesetzt,
aber wieso ist dann [mm] $\pmat{0&0&0\\1&0&0\\0&1&0}$ [/mm] keine Matrix in deiner Form ohne die Einheitsmatrix zu sein ?!?
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Do 03.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hmm...
da hast du recht, [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} [/mm] erfüllt die uns gegebenen Bedingungen offensichtlich!
Ich denke das erfordert erst einer neuerlichen Nachfrage, ob ich da was vergessen hab oder ob (die Kochen ja auch alle nur mit Wasser  etwas falsch ist in der Aufgabenstellung.
In der Vorlesung heute hieß es nämlich glaube ich mal, entweder sie ist die Einheitsmatrix oder sie hat eine Nullzeile.
Würde die Aufgabe dann funktionieren?
Lg, Kübi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:32 Fr 04.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
hi,
ja, wenn es heißt "mindestens" eine Nullzeile wäre es ganz klar, was gemeint ist - falsch wäre aber "genau eine Nullzeile"
Der Beweiß ist dann aber einfach nach Induktion..
I.A : n=1
und induktionsschritt kannst du bei einer (n+1)x(n+1) Matrix die nxn untermatrix betrachten und darauf deine Induktionsvorraussetzung anwenden...
Schaffst du das?
viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo!
Nun, nach Rücksprache mit dem Übungsleiter ist anzunehmen, "dass falls die Matrix nicht die
Nullmatrix ist, dass dann in der Zeilenstufenform in der ersten Zeile
nicht die Nullzeile stehen soll".
Leider bin ich mit der Induktion noch nicht sehr vertaut, gibt es auch einen anderen Weg?
Lg, Kübi
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Hallo,
ich habe zufällig diese Woche dieselbe Aufgabe zu bearbeiten, und bin inzwischen zu einer Lösung gekommen, die stimmen könnte:
Wir setzen voraus, dass die oberste Zeile keine Nullzeile ist.
Entweder ist dann jedes a(ii) = 1. Jedes a(ij) muss dann = 0 sein, da es entweder in einer Zeile vor einem Pivot steht, oder in einer Spalte über einem Pivot.
Dadurch dass jeder Pivot rechts von dem Pivot in der darüberliegenden Zeile sein muss, erhältst du entweder die Einheitsmatrix (wenn keine Spalte übersprungen wird), oder wenn in einer Spalte kein Pivot steht, erhältst du am Ende eine Nullzeile, weil der Pivot in der letzten Spalte dann nicht mehr in der letzten Zeile stehen kann.
Ich hoffe diese Erklärung ist irgendwie verständlich, sonst kannst du auch gerne nochmal fragen.
LG
Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Sa 05.11.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Sabine und Kuebi,
es ist nicht sinnvoll von Nullzeilen nur am Ende oder am Anfang zu reden - die können überall in der Matrix vorkommen.
Die richtige Aussage, die zu beweisen ist, müsste so lauten :
"entweder die Matrix ist die Einheitsmatrix oder es kommt irgendwo (mind.) eine Nullzeile vor."
Und dies beweist man wirklich am einfachsten über Induktion...
(diese Beweisart ist so grundlegend, dass es sich lohnt mal darüber nach zu denken).
Kommen wir nun zu Sabine's Vorschlag :
> ich habe zufällig diese Woche dieselbe Aufgabe zu
> bearbeiten, und bin inzwischen zu einer Lösung gekommen,
> die stimmen könnte:
Ich weiß übrigens immernoch nicht, wie der richtige Aufgabentext heißen muss...
>
> Wir setzen voraus, dass die oberste Zeile keine Nullzeile
> ist.
Warum ? Ich habe ein Gegenbeispiel oben gebracht, wo genau dies der Fall war...
> Entweder ist dann jedes a(ii) = 1. Jedes a(ij) muss dann =
> 0 sein,
Ja, WENN wir vorraussetzen, dass wir die Einheitsmatrix haben, dann ist ja wohl nichts zu beweisen...
Aber wo ist der andere Fall von deinem "Entweder" ???
> Dadurch dass jeder Pivot rechts von dem Pivot in der
> darüberliegenden Zeile sein muss, erhältst du entweder die
> Einheitsmatrix (wenn keine Spalte übersprungen wird),
Und was hindert uns daran eine Zeile zu überspringen ?
ein einfaches Gegenbeispiel wäre also auch : [mm] $\pmat{1&0&0\\0&0&0\\0&0&1}$
[/mm]
> wenn in einer Spalte kein Pivot steht, erhältst du am Ende
> eine Nullzeile, weil der Pivot in der letzten Spalte dann
> nicht mehr in der letzten Zeile stehen kann.
siehe mein Gegenbeispiel ein paar Zeilen drüber..
viele Grüße
DaMenge
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