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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Fr 02.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo Zusammen,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Gegeben seien [mm] v_{1}:=(1,0,0,5), v_{2}:=(0,0,1,3) \in \IR^{4}. [/mm] Finden Sie eine reelle 2 x 4 Matrix A, so dass der Kern von [mm] l_{A}: \IR^{4} \to \IR^{2}, [/mm] x [mm] \to A_{x} [/mm] die lineare Hülle von [mm] (v_{1}, v_{2}) [/mm] ist.
Ich tue mich mit den Matrizen unheimlich schwer, hatten das nämlich im Lk nicht.
Bezeichne f: V [mm] \to [/mm] W die Abbildung. So ist der Kern die Menge der Vektoren, für die f(v)=0 gilt. Und diese Elemente, für die f(v)=0 gilt, soll - wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe - die Menge der Linearkombinationen von [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] sein.
Also:
[mm] f(k_{1} v_{1} [/mm] + [mm] k_{2} v_{2})=0
[/mm]
[mm] f(k_{1} [/mm] (1,0,0,5) + [mm] k_{2} [/mm] (0,0,1,3))=0
[mm] \pmat{ 1k_{1} & 0k_{1} & 0k_{1} & 5k_{1} \\ 0k_{2} & 0k_{2} & 1k_{2} & 3k_{2} } =\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Stimmt das bis hier hin? Was muss ich dann machen? Danke für eure Hilfe im Voraus:),
liebe Grüße Nescio
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> ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Gegeben seien
> [mm]v_{1}:=(1,0,0,5), v_{2}:=(0,0,1,3) \in \IR^{4}.[/mm] Finden Sie
> eine reelle 2 x 4 Matrix A, so dass der Kern von [mm]l_{A}: \IR^{4} \to \IR^{2},[/mm]
> x [mm]\to A_{x}[/mm] die lineare Hülle von [mm](v_{1}, v_{2})[/mm] ist.
>
> Ich tue mich mit den Matrizen unheimlich schwer, hatten das
> nämlich im Lk nicht.
Hallo,
das ging mir haargenauso. Aber man kann sich dran gewöhnen. Steter Tropfen...
Kurz kochrezeptartig zu den Matrizen von linearen Abbildungen. Du bildest ja von einem Vektorraum in den anderen ab.
Bei gegebener [mm] Basis(b_1,...b_n) [/mm] stehen in den Spalten der zugehörigen Matrix nacheinander die Bilder der Basisvektoren.
Sei [mm] (e_1,..., e_4) [/mm] die kanonische Einheitsbasis.
Überlegen wir uns erstmal, wie wir [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen können. Etwa durch [mm] e_2 [/mm] und [mm] e_3 [/mm] (sollen die entsprechenden kanonischen Einheitsvektoren sein)
Da der Kern genau aus [mm] [/mm] bestehen soll, mußt Du Dir eine Abb. f zurechtbasteln, die [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] auf die Null abbildet, und die beiden anderen Basisvektoren auf zwei linear unabhängige Vektoren. Da kannst Du Dir etwas aussuchen, wenn es keine weiteren Forderungen gibt.
[mm] f(v_1)=0 [/mm] und [mm] f(v_2)=0 [/mm] bedeutet:
[mm] \vektor{0 \\ 0}= f(e_1+5e_4)=f(e_1)+5f(e_4) [/mm] (Linearität) und
[mm] \vektor{0 \\ 0}= f(e_3+3e_4)=f(e_3)+3f(e_4).
[/mm]
Und für [mm] f(e_2) [/mm] nehmen wir z.B. [mm] f(e_2)= \vektor{1 \\ 0} [/mm] und für
[mm] f(e_3)=(0,2). [/mm] Kannst aber auch etwas anderes nehmen, was sich bequem rechnen läßt. Aber nicht die Null, sonst wird dein Kern größer, als gefordert.
Nun kannst Du Dir ausrechnen, was [mm] f(e_1) [/mm] und [mm] f(e_4) [/mm] sein müssen.
Wenn Du das getan hast, schreibst Du es in Deine Matrix A. In die erste Spalte das Bild von [mm] e_1, [/mm] in die zweite von [mm] e_2 [/mm] , in die dritte von [mm] e_3 [/mm] und in die vierte von [mm] e_4.
[/mm]
Fertig.
Nun mach für Dich den Test.
Es muß jetzt sein: [mm] \vektor{ 0 \\ 0}=f(v_1)=Av_1,
[/mm]
Probier auch [mm] v_2 [/mm] und die [mm] e_i [/mm] durch. Stimmt alles?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Di 06.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo Angela,
vielen DAnk für deine Hilfe. Habe allerdings nochmal eine Frage zur Vorgehensweise: In Der Aufgabestellung steht ja "Finden sie eine reelle 2x 4 Matrix a, so dass der Kern von [mm] l_{a}: \IR^{4} \to \IR^{2}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] ax die lineare Hülle von [mm] (v_{1}, v_{2}) [/mm] ist.
Als Kern habe ich nun ja v-{1} und [mm] v_{2} [/mm] mit [mm] f(v_{2})= [/mm] 0 und [mm] f(v_{1})=0 [/mm] Steht in der Aufgabenstellung aber nicht, dass der Kern die Menge der Linearkombinationen von v1 und v2 sein soll?
Wahrscheinlich habe ich mal wieder einen Denkfehler. Ich hoffe, du kannst mir die Aufgabenstellung vielleicht nochmal erklären, so dass ich mein Vorgehen auch richtig verstehe:).
Danke im Voraus!!
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> Hallo Angela,
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> vielen DAnk für deine Hilfe. Habe allerdings nochmal eine
> Frage zur Vorgehensweise: In Der Aufgabestellung steht ja
> "Finden sie eine reelle 2x 4 Matrix a, so dass der Kern von
> [mm]l_{a}: \IR^{4} \to \IR^{2},[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] ax die lineare Hülle
> von [mm](v_{1}, v_{2})[/mm] ist.
> Als Kern habe ich nun ja [mm] v_{1} [/mm] und [mm]v_{2}[/mm] mit [mm]f(v_{2})=[/mm] 0
> und [mm]f(v_{1})=0[/mm] Steht in der Aufgabenstellung aber nicht,
> dass der Kern die Menge der Linearkombinationen von v1 und
> v2 sein soll?
>
> Wahrscheinlich habe ich mal wieder einen Denkfehler. Ich
> hoffe, du kannst mir die Aufgabenstellung vielleicht
> nochmal erklären, so dass ich mein Vorgehen auch richtig
> verstehe:).
Nein, nein, kein Denkfehler!
Im Idealfall bist Du inzwischen so weit, daß Du deine Abbildung f hast mit der passenden Matrix dazu.
Es sollte jetzt [mm] f(v_1)=0 [/mm] sein und [mm] f(v_2)=0.
[/mm]
So, nun nehmen wir ein Element x aus der linearen Hülle von [mm] v_1, v_2,
[/mm]
also x [mm] \in [/mm] < [mm] v_1, v_2>. [/mm] Dann gibt es k,l [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] x=kv_1+lv_2. [/mm] Soweit alles klar?
Nun paß auf:
[mm] f(kv_1+lv_2)=kf(v_1)+lf(v_2)=0 [/mm] !!!!!!!!! (Hier wurden die Eigensdchaften der linearen Abbildung verwendet.)
Worüber man noch nachdenken könnte, ist, warum der Kern nicht noch größer als [mm] [/mm] ist. Das kommt daher, weil Du, wenn Du alles richtig gemacht hast, die beiden anderen Basisvektoren gerade nicht auf die Null abgebildet hast, sondern auf zwei linear unabhängige Vektoren des [mm] \IR^2.
[/mm]
ACHTUNG: in meiner ersten Antwort steckte an dieser Stelle ein Fehler, sehe ich gerade. Ich hatte gesagt, Du kannst die anderen beiden abbilden auf was Du willst, z.B. (2,0) und (1,0). Dann wird aber der Kern zu groß. Es muß z.B. (2,0) und (0,1) heißen, linear unabhängig muß es sein. Ich werde es gleich verbessern. Hoffentlich hat dich das nicht verwirrt...
Wenn Du magst, kannst du ja Deine Darstellungsmatrix mal zeigen.
Gruß v. Angela.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo Angela,
vielen DAnk für deine Antwort:). Ich habe meine Matrix nochmal geändert, weil ich nicht auf die lineare unabhängigkeit geachtet habe.
Meine Darstellungsmatrix sieht so aus:
Habe für
[mm] f(e_{2})= \vektor{1 \\ 0}, f(e_{3})=\vektor{0 \\ 2}
[/mm]
dann ergibt sich für [mm] f(e_{4}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -2/3} [/mm] und für [mm] f(e_{1})=\vektor{0 \\ 10/3}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 10/3 & 0 & 2 & -2/3 }
[/mm]
habe alles überprüft. müsste eigentlich passen. Muss ich die Überlegungen zur linearen Hülle, die du aufgeführt hast auch noch hinschreiben zur Beantwortung der Aufgabestellung, oder reicht das so aus?
Vielen DAnk nochmal
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> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 10/3 & 0 & 2 & -2/3 }[/mm]
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> habe alles überprüft. müsste eigentlich passen. Muss ich
> die Überlegungen zur linearen Hülle, die du aufgeführt hast
> auch noch hinschreiben zur Beantwortung der
> Aufgabestellung, oder reicht das so aus?
Moin,
Du mußt die Matrix angeben, und dann zeigen, daß sie es tut.
Der genaue Weg, wie Du hingekommen bist, dürfte gar nicht interessieren.
Was Du vorrechnen mußt, ist, daß [mm] [/mm] =Kern f ist:
Du hast ja eine Basis [mm] (v_1,v_2,e_2,e_3) [/mm] von [mm] \IR^4.
[/mm]
Jedes x [mm] \in \IR^4 [/mm] kannst du schreiben als
[mm] x=kv_1+lv_2+me_2+me_3 [/mm] mit passenden k,l,m,n [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeig nun, daß solch ein x nur im Kern ist, wenn m=n=0 ist, also x [mm] \in .
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0 } =f(kv_1+lv_2+me_2+me_3) =A(kv_1+lv_2+me_2+me_3)= A(kv_1)+A(lv_2)+A(me_2)+A(me_3)=kA(v_1)+....=k \vektor{0 \\ 0}+l \vektor{0 \\ 0}+m \vektor{1 \\ 0}+n \vektor{0 \\ 2}=m [/mm] m [mm] \vektor{1 \\ 0}+n \vektor{0 \\ 2}=
[/mm]
==> m=0=n, denn [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 2} [/mm] sind linear unabhängig.
(Hier siehst du nochmal, daß die lineare Unabhängigkeit wirklich wichtig ist, denn sonst hätte man so nicht schließen können.)
Somit ist [mm] Kernf=>v_1, v_2>.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Momo |
Hallo Angela,
ich habe schon lange über deine Hilfestellung nachgedacht und die Schritte ausprobiert, die du genannt hast.
Warum nimmt man für f(e2) und f(e3) einfach etwas an, und wie soll man daraus genau f(e1) und f(e4) erhalten?
Vielleicht kannst du nochmal helfen?
Gruß Momo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Momo!
Finde einfach zwei Vektoren des [mm] $\IR^4$, [/mm] die senkrecht auf [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] stehen und schreibe sie in die Zeilen von $A$. Dann bist du fertig. Etwa so:
$A= [mm] \pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 3 & -1}$.
[/mm]
Das sieht man fast mit einem Blick (mit ein bisschen Übung).
Liebe Grüße
Julius
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