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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Di 13.12.2005 | | Autor: | Niente |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist A [mm] \in [/mm] M (n xn, K) mit [mm] A^{n}=0, [/mm] so ist [mm] E_{n}+A [/mm] inverteirbar. (Hinweis: Betrachte [mm] E_{n}-A+A^{2} \pm... [/mm] + [mm] (-A)^{n-1} [/mm] |
Hallo:),
die Frage steht schon ein paar Seiten vorher. Ich kann aber wegen der hohen Serverlast leider nicht blättern. Ich komme einfach nicht weiter und hoffe, dass mir jemand helfen kann:
Habe den Hinweis verfolgt und
[mm] (E_{n}+A) (E_{n}-A+A^{2} \pm [/mm] ...+ [mm] (-A)^{n-1} [/mm] gerechnet. Erhalte:
[mm] E_{n}^{2}+A E_{n}+ E_{n} [/mm] (-A)+ A [mm] (-A)+E_{n}A^{2}+A^{3}\pm [/mm] ... + [mm] E_{n} (-A)^{n-1}+A (-A)^{n-1}
[/mm]
= [mm] E_{n}^{2} [/mm] - [mm] A^{2}+ E_{n} A^{2}+A^{3} \pm...+ E_{n} (-A)^{n-1}+A (-A)^{n-1}
[/mm]
Was mache ich falsch... kann das gar nicht weiter zusammenfassen. Ich weiß auch gar nicht genau, was im Hinweis bei den Pünktchen (...) nach [mm] A^{2} [/mm] eigentlich hinkommt. Wieso steht das [mm] \pm?
[/mm]
Verstehe leider noch nicht, wie ich weiter forfahren muss. Über eine Idee zum Lösungsweg würde ich mich freuen.
Herzlichen DAnk schon einmal!
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> Zeigen Sie: Ist A [mm]\in[/mm] M (n xn, K) mit [mm]A^{n}=0,[/mm] so ist
> [mm]E_{n}+A[/mm] inverteirbar. (Hinweis: Betrachte [mm]E_{n}-A+A^{2} \pm...[/mm]
> + [mm](-A)^{n-1}[/mm]
> Hallo:),
Hallo,
> die Frage steht schon ein paar Seiten vorher. Ich kann aber
> wegen der hohen Serverlast leider nicht blättern.
https://matheraum.de/read?i=112888
Ich komme
> einfach nicht weiter und hoffe, dass mir jemand helfen
> kann:
> Habe den Hinweis verfolgt und
> [mm](E_{n}+A) (E_{n}-A+A^{2} \pm[/mm] ...+ [mm](-A)^{n-1}[/mm] gerechnet.
> Erhalte:
> [mm]E_{n}^{2}+A E_{n}+ E_{n}[/mm] (-A)+ A [mm](-A)+E_{n}A^{2}+A^{3}\pm[/mm]
> ... + [mm]E_{n} (-A)^{n-1}+A (-A)^{n-1}[/mm]
> = [mm]E_{n}^{2}[/mm] - [mm]A^{2}+ E_{n} A^{2}+A^{3} \pm...+ E_{n} (-A)^{n-1}+A (-A)^{n-1}[/mm]
>
> Was mache ich falsch... kann das gar nicht weiter
> zusammenfassen. Ich weiß auch gar nicht genau, was im
> Hinweis bei den Pünktchen (...) nach [mm]A^{2}[/mm] eigentlich
> hinkommt. Wieso steht das [mm]\pm?[/mm]
Ja mei! Weil immer abwechselnd eine Matrix addiert und eine subtrahiert wird. man könnte auch schreiben: [mm] \summe_{i=1-1}^{n}(-1)iA^i.
[/mm]
[mm] E_n [/mm] ist die Einheitsmatrix, mal so nebenbei bemerkt. Das sollte Produkte mit [mm] E_n [/mm] entschieden vereinfachen.
Wenn Du Dir jetzt noch genau klarmachst, wo + und wo - steht, fallen viele Summanden weg.
Nun solltest du der Sache nahekommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo:),
danke für die Antwort.
Es fällt dann also fast alles weg, so dass da steht:
[mm] E_{n}+(- A)^{n-1}+ [/mm] A [mm] (-A)^{n-1}
[/mm]
= [mm] E_{n}+ (-A)^{n-1} [/mm] (1+A)
= [mm] E_{n} [/mm] + [mm] (-A)^{n} (-A)^{-1} [/mm] (1+A)
Weil ja [mm] A^{n}=0 [/mm] ist das ganze Produkt 0 ... übrig bleibt
[mm] E_{n}
[/mm]
Stimmt das?
Wenn [mm] E_{n} [/mm] rauskommt, dann müsste der Hinwei in der Aufgabestellung ja das Inverse zu [mm] (E_{n}+A) [/mm] sein, oder?
Wie bist du eingentlich darauf gekommen, [mm] E_{n}+ [/mm] A mit dem Hinweis zu multiplizieren?
Vielen Dank für eine Antwort im Voraus!!!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Niente!
Also, du rechnest aus:
[mm] $(E_n [/mm] + A) [mm] \cdot (E_n-A+A^2 \pm \ldots [/mm] + [mm] (-A)^{n-1}) [/mm] = [mm] E_n [/mm] + [mm] (-1)^{n-1}A^n [/mm] = [mm] E_n$
[/mm]
wegen [mm] $A^n=0$.
[/mm]
Daher hat [mm] $E_n+A$ [/mm] ein Rechtsinverses, nämlich [mm] $E_n-A+A^2 \pm \ldots [/mm] + [mm] (-A)^{n-1}$. [/mm] Dieses ist dann automatisch auch das Inverse (da die invertierbaren Matrizen fester Größe eine Gruppe bilden).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Stefan,
vielen Dank für deine Antwort!  Dass der Hinweis, das Inverse ist, habe ich verstanden (es kommt ja sie Einheitsmatrix raus). Aber wie kommt man überhaupt auf den ersten Schritt, nämlich die Idee, den Hinweis mit der [mm] E_{n}+A [/mm] zu multiplizieren?
Danke für eine Antwort im Voraus!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Niente!
Naja, $1+A$ und Potenzen von $A$
[mm] $\to$ [/mm] das erinnert an die normale geometrische Reihe für reelle Zahlen:
[mm] $\sum\limits_{i=0}^{n-1} (-q)^i [/mm] = [mm] \frac{1 + (-1)^nq^n}{1+q}$,
[/mm]
umgestellt:
$(1+q) [mm] \cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1} (-q)^i [/mm] = 1 + [mm] (-1)^nq^n$.
[/mm]
Naja, und das gilt halt auch für Matrizen:
$(1+A) [mm] \cdot \sum\limits_{i=0}^{n-1} (-A)^i [/mm] = [mm] E_n [/mm] + [mm] (-1)^nA^n$,
[/mm]
weil $A$ mit Potenzen von sich vertauscht.
Und wenn man jetzt noch [mm] $A^n=0$ [/mm] im Hinterkopf hat...
Oder, ich bin ehrlich, man weiß es einfach, denn man hat es schon tausend Mal gesehen... 
Liebe Grüße
Stefan
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> ... Aber wie kommt man überhaupt auf den
> ersten Schritt, nämlich die Idee, den Hinweis mit der
> [mm]E_{n}+A[/mm] zu multiplizieren?
Reine Erfahrungssache...
Ich habe folgende Regel festgestellt: die Hinweise bei Aufgaben haben immer etwas mit der Aufgabe zu tun. Es war während meiner ganzen "Karriere" noch nicht ein einziger Party-, Kino-, Fernsehtip dabei, auch nichts sonstiges Allgemeinbildendes, das mit der Aufgabe nichts zu tun hat.
Die Folge: wenn bei Aufgaben "Tip" oder "Hinweis" steht, versuche ich fast zwanghaft, das irgendwie unterzubringen. Spiele damit, drehe es, wende es,haue drauf, so wie ein Schimpanse im Zoo es machen würde, wenn man ihm ein bißchen Werkzeug in den Käfig legt...
Gruß v. Angela
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