Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 So 25.02.2007 | | Autor: | lowterm |
Hi,
ich muss am Dienstag eine Klausur schreiben und brauche dringend eine
Lösung für diese Aufgabe:
Bestimmen Sie sämtliche Matrizen A, für die
[mm] <\pmat{ cos2\beta \\ sin2\beta },\pmat{ -sin2\beta \\ cos2\beta }>
[/mm]
die Lösungsmenge von
[mm] A.\vec{X}=\vec{0}
[/mm]
ist.
Kann bitte jemand mir sagen, wie ich da vorzugehen habe und was hier
überhaupt damit gemeint ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Danke im Voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 So 25.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo lowterm,
so wie die Aufgabe gestellt ist, ergibt sie keinen Sinn.
Das Skalarprodukt : < , > ist i.a. eine komplexe Zahl und kann im Fall n>1 keine Lösung der Gleichung Ax=0, [mm] A\in [/mm] M(mxn) , [mm] x\in\IR^n [/mm] sein.
MfG
Heiko
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ich glaub die Schreibweise mit den eckigen Klammern soll den Span von Vektoren als Untervektorraum bezeichnen!
Gruß Micha 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:05 Mo 26.02.2007 | | Autor: | lowterm |
Hallo Heiko,
danke für deine Antwort.
Ich glaube Micha hat recht. Diese ist eine der Fragen von der letzten Klausur.
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Mo 26.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo lowterm,
unter der Voraussetzung, daß <v,w> den span von v und w bezeichnet,
folgt bereits, das <v,w> = [mm] \IR^2 [/mm] , denn v und w sind linear unabhängig [mm] \forall \beta \in \IR.
[/mm]
Da lt. Aufgabenstellung <v,w> der Kern der zu bestimmenden Matrix A sein soll , erhält man mit der Dimensionsformel dim(V)= dim(Kern) +
dim(Bild) : 2 = 2 + dim(Bild) , d.h. das Bild von A ist [mm] \{0\}.
[/mm]
Welche (nx2) Matritzen erfüllen diese Bedingung ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Mo 26.02.2007 | | Autor: | lowterm |
Hallo heyks,
danke für deine Antwort.
Ich habe leider nicht ganz verstanden, was du meinst.
Ich bin aber zimlich sicher, dass diese Aufgabe mit GJA gelöst werden
soll.
Ich habe mir gedacht, wenn [mm] <\vektor{cos2\beta \\ sin2\beta },\vektor{-sin2\beta \\ cos2\beta}> [/mm]
die Lösung von [mm] A.\vec{X}=\vec{0} [/mm] sein soll, dann sollte das ganze eventuell
so aussehen:
[mm] A.\pmat{ cos2\beta & -sin2\beta \\ sin2\beta & cos2\beta }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
was man mit GJA lösen kann. Ich weiss aber trotzdem nicht, wie es weiter
gehen soll.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Mo 26.02.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo lowterm,
> Ich habe mir gedacht, wenn [mm]<\vektor{cos2\beta \\ sin2\beta },\vektor{-sin2\beta \\ cos2\beta}>[/mm]
> die Lösung von [mm]A.\vec{X}=\vec{0}[/mm] sein soll, dann sollte das
> ganze eventuell
> so aussehen:
>
> [mm]A.\pmat{ cos2\beta & -sin2\beta \\ sin2\beta & cos2\beta }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
Das kann aber eigentlich nicht sein, da [mm]\vec{0}[/mm] den Nullvektor bezeichnet und nicht Nullmatrix.
Außerdem wäre dann [mm]<\vektor{cos2\beta \\ sin2\beta },\vektor{-sin2\beta \\ cos2\beta}>[/mm] nicht der Span der beiden Vektoren.
Am besten, du erkundigst Dich noch einmal nach der genauen Aufgabenstellung und schreibst dann noch einmal.
Mfg
Heiko
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Mo 26.02.2007 | | Autor: | lowterm |
Hi,
die Aufgabenstellung ist genauso, wie ich am Anfang geschrieben habe. Sie
liegt auf dem Papier vor mir. Ich galube aber, dass [mm] \vec{0} [/mm] eine null-Matrix
ist, weil A eine Matrix ist.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Di 27.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo lowterm,
> danke für deine Antwort.
> Ich habe leider nicht ganz verstanden, was du meinst.
> Ich bin aber zimlich sicher, dass diese Aufgabe mit GJA
> gelöst werden soll.
die Abkuerzung GJA sagt mir nichts.
> Ich habe mir gedacht, wenn [mm]<\vektor{cos2\beta \\ sin2\beta },\vektor{-sin2\beta \\ cos2\beta}>[/mm]
> die Lösung von [mm]A.\vec{X}=\vec{0}[/mm] sein soll, dann sollte das
> ganze eventuell
> so aussehen:
>
> [mm]A.\pmat{ cos2\beta & -sin2\beta \\ sin2\beta & cos2\beta }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
Jede Matrix $A$, welche mindestens [mm]\langle \vektor{\cos 2\beta \\ \sin 2\beta },\vektor{-\sin 2\beta \\ \cos 2\beta} \rangle[/mm] als Loesungsmenge hat, erfuellt diese Gleichung. Wenn du also alle Matrizen $A$ kennst, die diese Gleichung erfuellen, musst du also nur noch unter diesen die `richtigen' raussuchen.
Allerdings: das ganze geht auch noch einfacher, bzw. du brauchst das gar nicht so ``kompliziert'' zu machen.
Dazu musst du dir den Aufspann genauer anschauen: der zweite Vektor steht senkrecht auf dem ersten. Und beide haben die Laenge 1. Sprich, der Aufspann ist der ganze [mm] $\IR^2$. [/mm] Damit bleibt dann nur noch eine Wahl fuer $A$ 
LG Felix
|
|
|
|
