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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 So 16.01.2005 | | Autor: | KingMob |
Hallo!
Wie kann man zeigen, dass :
[mm] \{ A \in Mat (n \times n , K) ; AB = BA , \forall B \in Mat (n \times n , K) \} [/mm] = [mm] \{ \lambda * E_{n} ; \lambda \in K \}
[/mm]
d.h. dass die quadratischen Matrizen, die mit allen anderen Matrizen kommutieren, genau die Vielfachen der Einheitsmatrix [mm] E_{n} [/mm] sind???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Mo 17.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
naja, wenn es für alle Matrizen B gelten soll, dann zeigst du das einfach so:
1) wenn irgendwo ein $ [mm] a_{ij}\not= [/mm] 0 $ ist mit $ [mm] i\not= [/mm] j $ ,dann konstruiere eine (nicht-symmetrische) Matrix B mit $ [mm] b_{ji}\not= b_{ij} [/mm] $ (und sonst evtl. 0) und betrachte mal AB und BA getrennt
2) gehe von einer Diagonalmatrix aus und betrachte o.E. $ [mm] a_{11}\not= a_{22} [/mm] $ und berechne dann mal eine entsprechende Matrix B von links und rechts dazu (z.B nur die vier elemente oben links ungleich 0 oder so...)
3)zeige, dass die angegebenen Matrizen die Eigenschaft auch tatsächlich erfüllen...
hoffe, es hilft dir etwas
DaMenge
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| Aufgabe | Sei K Koerper, [mm] n\in\IN. [/mm] Sei A eine regulaere Matrix in K (d.h. aus der Menge [mm] GK^{n\times n}).
[/mm]
Zeige: fuer alle [mm] \lambda\in K\setminus\{0\} [/mm] : [mm] A\neq \lambda\cdot I\Rightarrow\exists B\in GK^{n\times n} [/mm] : [mm] AB\neq [/mm] BA
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Hallo liebes Forum,
auf der Suche nach einer Loesung der o.g. Kontraposition als Teilaussage eines Beweises stiess ich auf die hier bereits vor drei Jahren gestellte Frage, die jedoch nicht ganz vollstaendig beantwortet wurde.
Hat jemand das schonmal geloest ..? 
Mein Beweis bislang:
Gelte also fuer alle [mm] \lambda\in K\setminus\{0\}, [/mm] dass [mm] A\neq \lambda\cdot [/mm] I.
Dann ist schonmal n > 1 , da sonst A = [mm] \pmat{0}\not\in GK^{n\times n}, [/mm] Widerspruch zur Vorraussetzung.
Ferner ist A dann keine Streckungsmatrix, d.h.
es ex. [mm] i,j\in\{1, \ldots n\} [/mm] mit [mm] i\neq [/mm] j und [mm] A_{ij}\neq [/mm] 0 (ein Element [mm] \neq [/mm] 0, das nicht auf der Diagonalen liegt), oder
es ex. [mm] i,j\in\{1, \ldots n\} [/mm] mit [mm] i\neq [/mm] j und [mm] A_{ii}\neq A_{jj} [/mm] (nicht alle Elemente auf der Diagonalen sind gleich).
Soweit, so klar. Aber wie muss man nun die Matrix B fuer jeden Fall waehlen, um die Kommutativitaet zu widerlegen, also um [mm] AB\neq [/mm] BA zu erhalten?
Ich habe fuer B die Einheitsmatrix I mit einigen vertauschten Zeilen betrachtet (also z.B. im Fall [mm] A_{ii}\neq A_{jj} [/mm] die Zeilen [mm] Z_i(I) [/mm] und [mm] Z_j(I) [/mm] vertauscht), aber das klappt nicht.
Kennt jemand die konkrete Konstruktion ..?
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Das mit dem Vertauschen der Vektoren der Einheitsmatrix im Fall [mm] A_{ii}\neq A_{jj} [/mm] klappt offenbar doch; damit werden in der Ergebnismatrix der Multiplikation AB die Spalten i,j bzw. bei BA die Zeilen i,j vertauscht, womit dann auch die Elemente [mm] A_{ii} [/mm] und [mm] A_{jj} [/mm] wie gewuenscht an vertauschten Positionen abgebildet werden.
Fehlt jetzt nur der Fall [mm] A_{ij}\neq [/mm] 0. Hilfreich waere, wenn man o.B.d.A. annehmen koennte, dass das Element [mm] A_{ij} [/mm] (das ja ungleich 0 ist) so gewaehlt werden kann, dass das Element [mm] A_{ji} [/mm] gleich 0 ist. Aber so ganz "o.B.d.A." ist das ja nicht, oder? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Vergil |
Hallo!
Gehen wir mal von der Aufgabenstellung von vor drei Jahren aus. Betrachte eine [mm] n \times n[/mm] Matrix.
[mm] X :=
\begin{pmatrix}
a_{11} & \dots & a_{1n}\\
\vdots & \cdots & \vdots \\
a_{n1} & \dots & a_{nn} \\
\end{pmatrix} [/mm], welche mit allen anderen Matrizen kommutiert.
Insbesondere muss diese Matrix mit den [mm] n \times n[/mm] Matrizen [mm] E_{i,j} [/mm] kommutieren. Dies sind die Matrizen, welche im Eintrag [mm] (i,j) [/mm] Eins und sonst Null sind. Folglich ergibt sich aus [mm] X \cdot E_{i,i} = E_{i,i} \cdot X [/mm] , dass für [mm] r \not= s [/mm] die Elemente [mm] a_{rs} = 0 [/mm] sind.
Nun muss die Matrix X auch mit den Matrizen [mm] E_{1,2} \; , \dots \; , E_{1,n} [/mm] kommutieren, dies führt auf [mm] a_{11} = a_{22} = \dots = a_{nn} [/mm] und damit ist die Behauptung gezeigt.
Hoffentlich hilft das!
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