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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Mi 31.08.2005 | | Autor: | mana |
hallo,
ich soll für eine 3x3 Matrix den Eigenvektor und den Eigenwert berechnen. Kann mir bitte jemand sagen, was da genau machen soll??? Vielleicht ein Beispiel oder eine Formel oder so.
Danke
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Hallo mana!
Sieh mal hier in der Wikipedia: ![[]](/images/popup.gif) Eigenvektor , da ist auch ein Zahlenbeispiel dabei.
Und für konkrete Zahlenbeispiele kannst Du das mal hier eingeben und überprüfen ...
Hilft Dir das zunächst weiter?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Mi 31.08.2005 | | Autor: | mana |
danke ich versuche es, mal schauen, ob ich das hinkriege.
gruß Mana
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mi 31.08.2005 | | Autor: | mana |
hallo, habe zu oben genannte Aufgabe die Eigenwerte berechnet, wie es im wikipedia steht und auch durch das Programm nachrechnen lassen. Ich weiß leider immer noch nicht, wie man die Eigenvektoren ausrechnet. Das Programm gibt mir nur die Lösung an und nicht den Rechenweg.
Die Matrix ist.
B= [mm] \pmat{3 & 0 & 0 \\ -4 & 6 & 2\\ 16 & -15 & -5 }
[/mm]
Die Eigenwerte habe ich berechnet zu:
[mm] \lambda_1=0 [/mm]
[mm] \lambda_2=1 [/mm]
[mm] \lambda_3=3
[/mm]
ich weiß, dass man den Eigenvektor durch(B- [mm] \lambda*I)* \vec{x}
[/mm]
berechnet.und(B- [mm] \lambda*I)= [/mm] drei verschiedene Matrizen mit den jeweiligen [mm] \lambda [/mm] Werten.
aber ich weiß nicht was ich da genau machen soll? soll ich drei eigenständige Gleichungssysteme nach x lösen? hilfe
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Mi 31.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
Du musst einfach die Determinante von $(B- [mm] \lambda [/mm] *I)$ berechnen, dies ist ein Polynom dritten Grades und es heißt : charackteristisches Polynom.
Die Nullstellen dieses Polynoms sind deine Eigenwerte.
also, was ist die Determinante von folgender Matrix?
[mm] $\pmat{3-\lambda & 0 & 0 \\ -4 & 6-\lambda & 2\\ 16 & -15 & -5-\lambda }$
[/mm]
Wie sehen die Nullstellen aus?
viele Grüße
DaMenge
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Hallo Mana,
um die Eigenvektoren zu berechnen nimmst du deine Matrix B = $ [mm] \pmat{3 & 0 & 0 \\ -4 & 6 & 2\\ 16 & -15 & -5 } [/mm] $ und ziehst den Eigenwert mal die Einheitsmatrix ab, also für den ersten Eigenwert [mm] \lambda [/mm] 0 ist das dann die Matrix B´= B da B - [mm] 0*I_{3} [/mm] = B. Dann kannst du ein Gleichungssystem damit aufstellen mit 3 Gleichungen und den Unbekannten [mm] x_{1} x_{2} x_{3} [/mm]
Also hier
3 [mm] x_{1} [/mm] + 0 + 0 =0
-4 [mm] x_{1} [/mm] + 6 [mm] x_{2} [/mm] + 2 [mm] x_{3} [/mm] = 0
16 [mm] x_{1} [/mm] - 15 [mm] x_{2} [/mm] - 5 [mm] x_{3} [/mm] = 0
Wenn du das Ausrechnest hast du den ersten Eigenvektor zum Eigenwert 0
Das machst du mit den beiden Anderen EW auch und dann bist du fertig
Viel Erfolg
Britta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Do 01.09.2005 | | Autor: | mana |
danke Britta aber ist dieses GLS nicht unterbestimmt? ich kriege bei allen drein Eigenwerten immer zu viele Nullen in mein Gauß-Algorithmus und muß ich dann eine Unbekannte frei wählen oder darf ich das überhaupt oder habe ich mich total verrechnet?
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Hallo!
> danke Britta aber ist dieses GLS nicht unterbestimmt? ich
> kriege bei allen drein Eigenwerten immer zu viele Nullen in
> mein Gauß-Algorithmus und muß ich dann eine Unbekannte frei
> wählen oder darf ich das überhaupt oder habe ich mich total
> verrechnet?
Also, ich weiß ja nicht, wo dein Problem mit dem Gleichungssystem liegt. Aber aus der ersten Zeile folgt doch direkt, dass [mm] x_1=0 [/mm] ist. Setzt du das in die zweite Gleichunge ein, dann erhältst du [mm] 6x_2+2x_3=0 \gdw 2x_3=-6x_2 \gdw x_3=-3x_2. [/mm] Das wiederum in die letzte Gleichung eingesetzt ergibt: [mm] -15x_2+15x_2=0, [/mm] das ist immer der Fall, das heißt für [mm] x_2 [/mm] kannst du jede beliebige Zahl einsetzen.
Damit müsste das Gleichungssystem doch gelöst sein, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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hallo mana,
es ist nicht schlimm, wenn das Gls nicht voll bestimmt ist, setze [mm] x_{2} [/mm] = a und dann erhälst du den Eigenvektor [mm] \vektor{0 \\ a \\ -3a} [/mm] oder du kannst auch einfach a [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -3} [/mm] schreiben oder sogar (etwas schluderig aber ok) das a ganz weglassen und sagen der EV ist [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -3} [/mm]
Hast du die anderen Eigenvektoren schon probiert zu berechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Do 01.09.2005 | | Autor: | mana |
danke Britta, das habe ich auch rausgehabt ich war mir nur nicht sicher, ob ich [mm] x_2 [/mm] frei wählen konnte? die anderen eigenvektoren habe ich zu
[mm] \vektor{0 \\ 2 \\ -5 } [/mm] für [mm] \lambda= [/mm] 1 und
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] für [mm] \lambda= [/mm] 3 berechnet.
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