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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mi 23.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und A [mm] \in [/mm] M (m x n, K) sowie B [mm] \in [/mm] M (n x r, K).
1. Beweisen Sie bitte die folgenden beiden Ungleichungen.
a) rang (A*B) [mm] \le [/mm] min(rang(A), rang(B))
b) rang(A) + rang(B) - n [mm] \le [/mm] rang (A*B)
2. Zeigen Sie, dass diese Abschätzungen scharf sind, d.h. finden Sie Beispiele von Matrizen für die
c) rang (A*B) = min(rang(A), rang(B))
d) rang(A) + rang(B) - n = rang(A*B)
gilt. |
Guten Tag,
hier fehlt mir der Ansatz. Ich habe nun schon tagelang probiert, mit Kombinationen von m, n, r; frage mich aber - außer einem Widerspruch, was das für die Aufgabe eingebracht hat???
(s.u.)
Allgemein weiß ich:
Der Rang einer Matrix ist gleich die Anzahl der unabhängigen Zeilenvektoren.
Ferner, vorausgesetzt wird A (m,n)-Matrix; B(n,n)-Matrix,
rang(A) = [mm] rang(A^T) [/mm] Zeilenrang = Spaltenrang
rang(A) [mm] \le [/mm] min{m,n}
rang(B) = n falls det(B) [mm] \ne [/mm] 0
rang(A*B) = rang(A) falls det(B) [mm] \ne [/mm] 0
Danke für eure Hilfe!
Ok, wenn ich z.B. den Fall betrachte: n < r < m
dann ist rang (AB) = maximal r
rang(A) = maximal n
rang (B) = maximal n
also wäre hier mgl. rang(AB) [mm] \gt [/mm] min(rang(A), rang(B)...
Wie kann ich vorgehen???
zu 2)
ich habe drei beispiele gebildet, aber frage mich, ob das ausreicht; alle wichtigen fälle einschliesst...!
zu c)
c1) A (2x3) ; B (3x1) => n=3
A= [mm] \pmat{ 5 & 1 & 2\\ 5 & 1 & 2 }
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 2 \\ 2 \\ 2 }
[/mm]
A*B = [mm] \pmat{ 16 \\ 16 }
[/mm]
rang(AB) = 1
rang(A) = 1
rang(B) = 1
rang(AB) = min(rang(A), rang(B))
d1) rang(A) + rang(B) -n = rang(AB)
1 + 1 -3 = 1 Widerspruch!
c2) A (3x2) ; B (2x4) => n=2
A= [mm] \pmat{ 1 & 0\\ 0 & 1 \\ 0 & 4 }
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }
[/mm]
A*B = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & 4 &4 }
[/mm]
rang(AB) = 2
rang(A) = 2
rang(B) = 2
rang(AB) = min(rang(A), rang(B))
d2) rang(A) + rang(B) -n = rang(AB)
2 + 2 -2 = 2 erfüllt.
c3) A (2x2) ; B (2x2) => n=2
A= [mm] \pmat{ 1 & 0\\ 0 & 1 }
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
A*B = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
rang(AB) = 2
rang(A) = 2
rang(B) = 2
rang(AB) = min(rang(A), rang(B))
d3) rang(A) + rang(B) -n = rang(AB)
2 + 2 -2 = 2 erfüllt.
Viele Fragezeichen...
Vielen Dank für eure Hilfe!!
Gruß
Wolfgang
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> Sei K ein Körper und A [mm]\in[/mm] M (m x n, K) sowie B [mm]\in[/mm] M (n x
> r, K).
>
> 1. Beweisen Sie bitte die folgenden beiden Ungleichungen.
>
> a) rang (A*B) [mm]\le[/mm] min(rang(A), rang(B))
Hallo,
Du solltest heir den Weg über die Homomorphismen, welche durch A und B dargestellt werden, gehen:
Rang A ist ja die Anzahl der linear unabhängigen Spalten von A, also das Bild von [mm] f_A: \IR^n\to \IR^m [/mm] mit [mm] f_A(x):=Ax,
[/mm]
für B entsprechend.
AB ist die Matrix, de die Verkettung beider Abbildungen repräsentiert, also [mm] f_A \circ f_B.
[/mm]
Sonstiges:
zu [mm] d_2) [/mm] Wozu soll das ein Widerspruch sein???
Gruß v. Angela
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