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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:44 Di 10.01.2012 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | A = [mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 & 3 & 7 \\ 2 & 6 & 2 & -2 & 2 \\ 3 & 11 & 3 & -2 & 4 \\ 1 & 5 & 1 & 0 & 2}
[/mm]
B = [mm] \pmat{ \alpha & 2\alpha &\alpha^{2} & \alpha \\ 1 & 2\alpha & 3 + \alpha & 0 \\ -1 & 0 & 2-\alpha & \alpha - 2 }
[/mm]
(a) Man bestimme rg A und rg B (in Abhängigkeit von [mm] \alpha).
[/mm]
(b) Man bestimme eine Basis von ker A.
(c) Man gebe eine Basis für den Unterraum
U = { b [mm] \in \IR^{6} [/mm] : [mm] A^{T}x [/mm] = b ist lösbar } an. |
Hey Leute,
hab ne Verständnisfrage.
(a) hab ich gelöst.
rg A = 3, rg B = 3.
Bei B muss ich schon einfach passend mit [mm] \alpha [/mm] durchmultiplizieren und dann auf Stufenform bringen ?
(b) müsste ich eig auch haben.
A auf Stufenform, Nichtstufenvariablen sind frei wählbar.
Damit dann die Stufenvariablen ausdrücken und dann komm ich am Ende auf 2 Vektoren, die ne lineare Hülle und somit ne Basis von ker A bilden. (richtig?)
(c) mit [mm] A^{T} [/mm] wird wohl schon die Matrix A gemeint sein oder ?
Weil, wenn ich die jetzt transponiere, dann bekomm ich ja ne 5x6 Matrix.
b ist allerdings aus [mm] \IR^{6}.
[/mm]
Wie würde das dann aussehen ?
Zur Matrix einfach noch ne Nullzeile hinzufügen, damits ne 6x6 Matrix ist ?
[ Überlegung: b [mm] \in \IR^{6} [/mm] : b = [mm] \vektor{ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ b_{4} \\ b_{5} \\ b_{6} } [/mm] ]
Dann muss (falls meine Überlegung stimmt) [mm] b_{6} [/mm] = 0 sein, da sonst der Rang der Matrix verändert würde.
Es muss ja gelten, dass Ax = b lösbar ist: rg (A) = rg (A|b)
Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen ;)
Also wie gesagt Hauptproblem ist die transponierte Matrix, welche nur 5 Zeilen hat, b allerdings [mm] \in \IR^{6} [/mm] ist....
Danke schonmal im Voraus :)
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Hallo s1mn,
> A = [mm]\pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 1 & 3 & 7 \\
2 & 6 & 2 & -2 & 2 \\
3 & 11 & 3 & -2 & 4 \\
1 & 5 & 1 & 0 & 2}[/mm]
>
> B = [mm]\pmat{ \alpha & 2\alpha &\alpha^{2} & \alpha \\
1 & 2\alpha & 3 + \alpha & 0 \\
-1 & 0 & 2-\alpha & a - \alpha}[/mm]
>
> (a) Man bestimme rg A und rg B (in Abhängigkeit von
> [mm]\alpha).[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> (b) Man bestimme eine Basis von ker A.
> (c) Man gebe eine Basis für den Unterraum
> U = { b [mm]\in \IR^{6}[/mm] : [mm]A^{T}x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= b ist lösbar } an.
> Hey Leute,
>
> hab ne Verständnisfrage.
> (a) hab ich gelöst.
> rg A = 3,
Rechnung? Es hat doch wohl kaum jemand Lust, das Ungetüm auseinanderzunehmen, poste deine Rechnung, dann können wir da drüberschauen und kontrollieren
> rg B = 3.
Das kann ich kaum glauben ...
> Bei B muss ich schon einfach passend mit [mm]\alpha[/mm]
> durchmultiplizieren und dann auf Stufenform bringen ?
Ja, das wäre der Weg, wobei du aufpassen musst, dass du nur erlaubte elementare Zeilenumformungen machst, was natürlich von [mm]\alpha[/mm] abhängt.
Damit ist auch der Rang von [mm]\alpha[/mm] abhängig ...
> (b) müsste ich eig auch haben.
> A auf Stufenform, Nichtstufenvariablen sind frei
> wählbar.
> Damit dann die Stufenvariablen ausdrücken und dann komm
> ich am Ende auf 2 Vektoren, die ne lineare Hülle und somit
> ne Basis von ker A bilden. (richtig?)
Das Vorgehen stimmt, poste deine Rechnung, wie du auf ZSF kommst und wie du die Variablen setzt, dann kann man das kontrollieren.
> (c) mit [mm]A^{T}[/mm] wird wohl schon die Matrix A gemeint sein
> oder ?
> Weil, wenn ich die jetzt transponiere, dann bekomm ich ja
> ne 5x6 Matrix.
> b ist allerdings aus [mm]\IR^{6}.[/mm]
Jo, das denke ich auch, eine [mm]6\times 5[/mm] Matrix (A) mit einer [mm]5\times 1[/mm]-Matrix (also einem Vektor [mm]x\in\IR^5[/mm]) multipliziert, ergibt eine [mm]6\times 1[/mm]-Matrix, also einen Vektor [mm]b\in\IR^6[/mm]
Es wird also das LGS [mm]Ax=b[/mm] gemeint sein ...
> Wie würde das dann aussehen ?
> Zur Matrix einfach noch ne Nullzeile hinzufügen, damits
> ne 6x6 Matrix ist ?
> [ Überlegung: b [mm]\in \IR^{6}[/mm] : b = [mm]\vektor{ b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3} \\
b_{4} \\
b_{5} \\
b_{6} }[/mm]
> ]
> Dann muss (falls meine Überlegung stimmt) [mm]b_{6}[/mm] = 0 sein,
> da sonst der Rang der Matrix verändert würde.
> Es muss ja gelten, dass Ax = b lösbar ist: rg (A) = rg
> (A|b)
Das ist schon richtig, kann aber kein Mensch verifizieren ohne deine (erweiterte Koeffizienten-)Matrix in ZSF zu sehen ...
>
> Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen ;)
> Also wie gesagt Hauptproblem ist die transponierte Matrix,
> welche nur 5 Zeilen hat, b allerdings [mm]\in \IR^{6}[/mm] ist....
Das wird wohl ein Tippfehler sein, oder die meinen dann statt [mm]b\in\IR^6[/mm] eher [mm]b\in\IR^5[/mm], dann käme das hin.
Du solltest das vllt. besser mit dem Assistenten, der die Übung leitet, klären - per E-Mail bietet sich an, die sind eigentlich immer sehr freundlich und helfen gerne ...
Insbesondere bei Missverständnissen oder Unklarheiten bzgl. der Aufgabenstellungen
> Danke schonmal im Vorraus :)
Vorau, heraus und Konsorten schreiben sich allesamt mit nur einem "r"!!
Ich stelle den Status mal auf "teilweise beantwortet", vllt. findet sich ja jemand, der sehr motiviert ist und aller selber nachrechnet.
Aber darauf hoffen würde ich nicht.
Also nochmal die Bitte: poste mehr Rechnung!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Di 10.01.2012 | | Autor: | s1mn |
(a)
rg [mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 & 3 & 7 \\ 2 & 6 & 2 & -2 & 2 \\ 3 & 11 & 3 & -2 & 4 \\ 1 & 5 & 1 & 0 & 2}
[/mm]
(3)-(1), (4)-2(3), (5)-3(1), (6)-(3)
= rg [mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & -8 & -12 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -3 & -5}
[/mm]
= rg [mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & -8 & -12}
[/mm]
= rg [mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] = 3
rg [mm] \pmat{ \alpha & 2\alpha &\alpha^{2} & \alpha \\ 1 & 2\alpha & 3 + \alpha & 0 \\ -1 & 0 & 2-\alpha & \alpha - 2 }
[/mm]
[mm] \alpha(2)-(1),(3)+ [/mm] (2)
= rg [mm] \pmat{ \alpha & 2\alpha &\alpha^{2} & \alpha \\ 0 & 2\alpha^{2} - 2\alpha & 3 \alpha & -\alpha \\ 0 & 2\alpha & 5 & \alpha - 2 }
[/mm]
[mm] (1-\alpha)(3)+(2)
[/mm]
= rg [mm] \pmat{ \alpha & 2\alpha &\alpha^{2} & \alpha \\ 0 & 2\alpha^{2} - 2\alpha & 3 \alpha & -\alpha \\ 0 & 0 & 5-2\alpha & 2\alpha - 2 } [/mm] = 3
(b) Stufenmatrix von A aus (a)
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
[mm] \rightarrow x_{5} [/mm] frei wählbar:
[mm] 2x_{4} [/mm] + [mm] 3x_{5} [/mm] = 0 [mm] \rightarrow x_{4} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} x_{5}
[/mm]
[mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] + [mm] x_{5} [/mm] = 0 [mm] \rightarrow x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} x_{5}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - [mm] x_{4} [/mm] + [mm] x_{5} [/mm] = 0 [mm] \rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] -x_{3} [/mm] - [mm] \bruch{7}{2} x_{5}
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] ker A = { [mm] \vektor{ -x_{3} - - \bruch{7}{2} x_{5} \\ \bruch{1}{4} x_{5} \\ x_{3} \\ - \bruch{3}{2} x_{5} \\ x_{5}} [/mm] : [mm] x_{3}, x_{5} \in \IR [/mm] }
= { [mm] x_{3} \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + [mm] x_{5} \vektor{ -\bruch{7}{2} \\ \bruch{1}{4} \\ 0 \\ -\bruch{3}{2} \\ 1} [/mm] : [mm] x_{3}, x_{5} \in \IR [/mm] }
= LH ( [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{ -\bruch{7}{2} \\ \bruch{1}{4} \\ 0 \\ -\bruch{3}{2} \\ 1} [/mm] )
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> (a)
> rg [mm]\pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 1 & 3 & 7 \\
2 & 6 & 2 & -2 & 2 \\
3 & 11 & 3 & -2 & 4 \\
1 & 5 & 1 & 0 & 2}[/mm]
>
> (3)-(1), (4)-2(3), (5)-3(1), (6)-(3)
> = rg [mm]\pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 6 \\
0 & 0 & 0 & -8 & -12 \\
0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 0 & -3 & -5}[/mm]
>
> = rg [mm]\pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -4 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 4 & 6 \\
0 & 0 & 0 & -8 & -12}[/mm]
>
> = rg [mm]\pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
> = 3
Hallo,
ich habe keinen Fehler entdeckt.
>
> rg [mm]\pmat{ \alpha & 2\alpha &\alpha^{2} & \alpha \\
1 & 2\alpha & 3 + \alpha & 0 \\
-1 & 0 & 2-\alpha & \alpha - 2 }[/mm]
>
> [mm]\alpha(2)-(1),(3)+[/mm] (2)
> = rg [mm]\pmat{ \alpha & 2\alpha &\alpha^{2} & \alpha \\
0 & 2\alpha^{2} - 2\alpha & 3 \alpha & -\alpha \\
0 & 2\alpha & 5 & \alpha - 2 }[/mm]
>
> [mm](1-\alpha)(3)+(2)[/mm]
> = rg [mm]\pmat{ \alpha & 2\alpha &\alpha^{2} & \alpha \\
0 & 2\alpha^{2} - 2\alpha & 3 \alpha & -\alpha \\
0 & 0 & 5-2\alpha & 2\alpha - 2 }[/mm]
> = 3
EDIT: Die Umformung der Matrix ist so nicht ganz richtig, beachte dies.
[mm] RangA_{\alpha}=3 [/mm] ist etwas kurzsichtig, schachuzipus hatte es ja schon gesagt.
Der Rang von [mm] A_{\alpha} [/mm] ist hier in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] zu untersuchen.
Was ist denn, wenn [mm] \alpha [/mm] so ist, daß ein führendes Zeilenelement=0 wird? Für welche [mm] \alpha [/mm] ist dies der Fall? Wie sind die entsprechenden Ränge?
>
> (b) Stufenmatrix von A aus (a)
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow x_{5}[/mm] frei wählbar:
> [mm]2x_{4}[/mm] + [mm]3x_{5}[/mm] = 0 [mm]\rightarrow x_{4}[/mm] = [mm]-\bruch{3}{2} x_{5}[/mm]
>
> [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] + [mm]x_{5}[/mm] = 0 [mm]\rightarrow x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4} x_{5}[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - [mm]x_{4}[/mm] + [mm]x_{5}[/mm] = 0 [mm]\rightarrow x_{1}[/mm]
> = [mm]-x_{3}[/mm] - [mm]\bruch{7}{2} x_{5}[/mm]
Bei [mm] x_1 [/mm] scheinst Du einen Rechenfehler gemacht zu haben,
>
> [mm]\rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ker A = { [mm]\vektor{ -x_{3} - - \bruch{7}{2} x_{5} \\
\bruch{1}{4} x_{5} \\
x_{3} \\
- \bruch{3}{2} x_{5} \\
x_{5}}[/mm]
> : [mm]x_{3}, x_{5} \in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Abgesehen von dem Rechenfehler ist es richtig.
>
> = { [mm]x_{3} \vektor{-1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
0 }[/mm] + [mm]x_{5} \vektor{ -\bruch{7}{2} \\
\bruch{1}{4} \\
0 \\
-\bruch{3}{2} \\
1}[/mm]
> : [mm]x_{3}, x_{5} \in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> = LH ( [mm]\vektor{-1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
0 }[/mm] , [mm]\vektor{ -\bruch{7}{2} \\
\bruch{1}{4} \\
0 \\
-\bruch{3}{2} \\
1}[/mm]
> )
Ja, genau - aber prüfe [mm] x_1 [/mm] nochmal.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mi 11.01.2012 | | Autor: | s1mn |
Ok hab gerade mal nachgerechnet.
[mm] \rightarrow x_{5} [/mm] frei wählbar:
[mm] 2x_{4} [/mm] + [mm] 3x_{5} [/mm] = 0 [mm] \rightarrow x_{4} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} x_{5}
[/mm]
[mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] + [mm] x_{5} [/mm] = 0 [mm] \rightarrow x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} x_{5}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - [mm] x_{4} [/mm] + [mm] x_{5} [/mm] = 0 [mm] \rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] -x_{3} [/mm] - [mm] \bruch{13}{4} x_{5}
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] ker A = { [mm] \vektor{ -x_{3} -\bruch{13}{4} x_{5} \\ \bruch{1}{4} x_{5} \\ x_{3} \\ - \bruch{3}{2} x_{5} \\ x_{5}} [/mm] : [mm] x_{3}, x_{5} \in \IR [/mm] }
= { [mm] x_{3} \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + [mm] x_{5} \vektor{ -\bruch{13}{4} \\ \bruch{1}{4} \\ 0 \\ -\bruch{3}{2} \\ 1} [/mm] : [mm] x_{3}, x_{5} \in \IR [/mm] }
= LH ( [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{ -\bruch{13}{4} \\ \bruch{1}{4} \\ 0 \\ -\bruch{3}{2} \\ 1} [/mm] )
und bei der Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] hab ich folgendes Ergebnis:
rg B [mm] =\begin{cases} 1, & \mbox{für } \alpha = 0 \\ 2, & \mbox{für } \alpha = 1 \\ 3, & \mbox{für } \alpha = -1 \\ 3, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
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Hallo s1mn,
> Ok hab gerade mal nachgerechnet.
>
> [mm]\rightarrow x_{5}[/mm] frei wählbar:
> [mm]2x_{4}[/mm] + [mm]3x_{5}[/mm] = 0 [mm]\rightarrow x_{4}[/mm] = [mm]-\bruch{3}{2} x_{5}[/mm]
>
> [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] + [mm]x_{5}[/mm] = 0 [mm]\rightarrow x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4} x_{5}[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - [mm]x_{4}[/mm] + [mm]x_{5}[/mm] = 0 [mm]\rightarrow x_{1}[/mm]
> = [mm]-x_{3}[/mm] - [mm]\bruch{13}{4} x_{5}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ker A = { [mm]\vektor{ -x_{3} -\bruch{13}{4} x_{5} \\ \bruch{1}{4} x_{5} \\ x_{3} \\ - \bruch{3}{2} x_{5} \\ x_{5}}[/mm]
> : [mm]x_{3}, x_{5} \in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> = { [mm]x_{3} \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + [mm]x_{5} \vektor{ -\bruch{13}{4} \\ \bruch{1}{4} \\ 0 \\ -\bruch{3}{2} \\ 1}[/mm]
> : [mm]x_{3}, x_{5} \in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> = LH ( [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm] , [mm]\vektor{ -\bruch{13}{4} \\ \bruch{1}{4} \\ 0 \\ -\bruch{3}{2} \\ 1}[/mm]
> )
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und bei der Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] hab ich folgendes
> Ergebnis:
>
> rg B [mm]=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \alpha = 0 \\ 2, & \mbox{für } \alpha = 1 \\ 3, & \mbox{für } \alpha = -1 \\ 3, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
Die Ränge für [mm]\alpha=0[/mm] und [mm]\alpha=1[/mm] stimmen nicht.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Fr 13.01.2012 | | Autor: | s1mn |
Wieso stimmen die Ränge nicht ?
Hab grad nochmal nachgerechnet und die Matrix noch auf Zeilenstufenform gebracht:
[mm] \pmat{ \alpha & 2\alpha & \alpha^{2} & \alpha \\ 0 & 2\alpha^{2}-2\alpha & 3\alpha & -\alpha \\ 0 & 0 & 2\alpha-5 & \alpha^{2}-2\alpha+2}
[/mm]
Wenn ich für [mm] \alpha [/mm] = 0 die Matrix ausfülle, bleibt doch nur folgende Matrix übrig:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 2}
[/mm]
Und wenn ich jetzt die 1. mit der 3. Zeile vertausche, dann ist der Rang doch 1 ?!
Und für [mm] \alpha [/mm] = 1:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -3 & 1 }
[/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Rang = 2 ?!
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> Wieso stimmen die Ränge nicht ?
>
> Hab grad nochmal nachgerechnet und die Matrix noch auf
> Zeilenstufenform gebracht:
>
> [mm]\pmat{ \alpha & 2\alpha & \alpha^{2} & \alpha \\
0 & 2\alpha^{2}-2\alpha & 3\alpha & -\alpha \\
0 & 0 & 2\alpha-5 & \alpha^{2}-2\alpha+2}[/mm]
>
> Wenn ich für [mm]\alpha[/mm] = 0 die Matrix ausfülle, bleibt doch
> nur folgende Matrix übrig:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -5 & 2}[/mm]
>
> Und wenn ich jetzt die 1. mit der 3. Zeile vertausche, dann
> ist der Rang doch 1 ?!
>
> Und für [mm]\alpha[/mm] = 1:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 0 & -3 & 1 }[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Rang = 2 ?!
Hallo,
bis hier ist alles richtig.
Untersuchen mußt Du noch [mm] \alpha=2.5 [/mm] und [mm] \alpha\in \IR [/mm] \ [mm] \{0,1,2.5\}.
[/mm]
EDIT: allerdings paßt das Resultat nicht zur Ausgangsmatrix. Du wirst Dich bei der ZSF verrechnet haben.
LG Angela
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Hallo angela.h.b,
>
> > Wieso stimmen die Ränge nicht ?
> >
> > Hab grad nochmal nachgerechnet und die Matrix noch auf
> > Zeilenstufenform gebracht:
> >
> > [mm]\pmat{ \alpha & 2\alpha & \alpha^{2} & \alpha \\
0 & 2\alpha^{2}-2\alpha & 3\alpha & -\alpha \\
0 & 0 & 2\alpha-5 & \alpha^{2}-2\alpha+2}[/mm]
>
> >
> > Wenn ich für [mm]\alpha[/mm] = 0 die Matrix ausfülle, bleibt doch
> > nur folgende Matrix übrig:
> >
> > [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -5 & 2}[/mm]
>
> >
> > Und wenn ich jetzt die 1. mit der 3. Zeile vertausche, dann
> > ist der Rang doch 1 ?!
> >
> > Und für [mm]\alpha[/mm] = 1:
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 0 & -3 & 1 }[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw[/mm]
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> > Rang = 2 ?!
>
> Hallo,
>
> bis hier ist alles richtig.
>
Wird die Originalmatrix zur Rangbestimmung benutzt, so ergibt sich:
i) [mm]\alpha=0[/mm]
[mm]\[\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\cr 1 & 0 & 3 & 0\cr -1 & 0 & 2 & -2\end{pmatrix}\][/mm]
Damit ist der Rang 2.
ii) [mm]\alpha=1[/mm]
[mm]\[\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 1\cr 1 & 2 & 4 & 0\cr -1 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}\][/mm]
Hier ergibt sich der Rang 3.
Die Elimination der in der Aufgabe gegebenen Matrix B wurde zunächst
mit [mm]\alpha \not=0[/mm] durchgeführt.
Das neue Diagonalelement liefert zusätzlich die Bedingung, daß eine weitere Elimantion nur möglich ist, wenn [mm]\alpha \not=1[/mm] ist.
> Untersuchen mußt Du noch [mm]\alpha=2.5[/mm] und [mm]\alpha\in \IR[/mm] \
> [mm]\{0,1,2.5\}.[/mm]
>
> LG Angela
>
Gruss
MathePower
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> rg [mm]\pmat{ \alpha & 2\alpha &\alpha^{2} & \alpha \\
1 & 2\alpha & 3 + \alpha & 0 \\
-1 & 0 & 2-\alpha & \alpha - 2 }[/mm]
>
> [mm] \red{\alpha(2)-(1)},(3)+ [/mm] (2)
Hallo,
dieser Schritt macht Dir Scherereien:
Du willst die neue 2. Zeile berechnen. Du multiplizierst dafür die alte 2. Zeile mit [mm] \alpha [/mm] und subtrahierst die 1.
In dem MOment, wo [mm] \alpha=0, [/mm] veränderst Du damit den Rang der Matrix!
A.
Du könntest das Problem umgehen, indem Du Zeilen tauschst
rg [mm] $\pmat{ 1 & 2\alpha & 3 + \alpha & 0 \\ \alpha & 2\alpha &\alpha^{2} & \alpha \\-1 & 0 & 2-\alpha & \alpha - 2 }$,
[/mm]
und jetzt von der 2. Zeile das a-fache der 1. subtrahierst.
Das darfst Du!
B.
Oder Du notoerst an der roten Stelle: "für [mm] a\not=0" [/mm] und untersuchst die Matrix für a=0 später separat.
Dasselbe Problem hat man später, wo Du die 3. Zeile mit (1-a) multiplizierst.
Tut mir leid, daß ich das im ersten Anlauf übersehen habe.
LG Angela
> = rg [mm]\pmat{ \alpha & 2\alpha &\alpha^{2} & \alpha \\
0 & 2\alpha^{2} - 2\alpha & 3 \alpha & -\alpha \\
0 & 2\alpha & 5 & \alpha - 2 }[/mm]
>
> [mm](1-\alpha)(3)+(2)[/mm]
> = rg [mm]\pmat{ \alpha & 2\alpha &\alpha^{2} & \alpha \\
0 & 2\alpha^{2} - 2\alpha & 3 \alpha & -\alpha \\
0 & 0 & 5-2\alpha & 2\alpha - 2 }[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Fr 13.01.2012 | | Autor: | s1mn |
Ah jetzt versteh ich das...
Danke für die Hilfe :)
Also Ergebnis:
[mm] rgB=\begin{cases} 2 & \mbox{für } \alpha = 0 \\ 3, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = 2,5 liefert auch rg = 3
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