www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Matrizen mit det1 Normalteiler
Matrizen mit det1 Normalteiler < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Matrizen mit det1 Normalteiler: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:51 Di 26.01.2010
Autor: f.l.o.

Aufgabe
Sei G die Menge aller regulären n×n-Matrizen A über [mm] \IR. [/mm] Man zeige, daß <G,*> eine Gruppe bildet.
Sei U die Menge aller n×n-Matrizen B über [mm] \IR [/mm] mit detB = ±1. Man zeige, daß U Normalteiler von G ist.

Hallo,
ich habe etwas Probleme, die zweite Aufgabe zu zeigen. Die erste, dass G eine Gruppe bildet, habe ich bereits bewiesen, jedoch weiß ich jetzt leider nicht, wie ich die zweite mit dem Normalteiler angehen soll.
Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen ?

bitte danke !
lg
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)

        
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Di 26.01.2010
Autor: fred97


> Sei G die Menge aller regulären n×n-Matrizen A über [mm]\IR.[/mm]
> Man zeige, daß <G,*> eine Gruppe bildet.
>  Sei U die Menge aller n×n-Matrizen B über [mm]\IR[/mm] mit detB =
> ±1. Man zeige, daß U Normalteiler von G ist.
>  Hallo,
>  ich habe etwas Probleme, die zweite Aufgabe zu zeigen. Die
> erste, dass G eine Gruppe bildet, habe ich bereits
> bewiesen, jedoch weiß ich jetzt leider nicht, wie ich die
> zweite mit dem Normalteiler angehen soll.
>  Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen ?



Schreib doch mal hin, was es bedeutet, dass U ein Normalteiler ist.

Dann siehst Du: es ist ganz einfach , das nachzurechnen

FRED

>  
> bitte danke !
>  lg
>  (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)


Bezug
                
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:01 Di 26.01.2010
Autor: f.l.o.


> Schreib doch mal hin, was es bedeutet, dass U ein
> Normalteiler ist.
>  
> Dann siehst Du: es ist ganz einfach , das nachzurechnen

Soweit ich weiß ist eine Untergruppe U dann ein Normalteiler, wenn Rechtsnebenklassen=Linksnebenklassen.
Ich verstehe nur nicht ganz, wie die Determinante in das Ganze einfließt...

lg

Bezug
                        
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:01 Di 26.01.2010
Autor: fred97


> > Schreib doch mal hin, was es bedeutet, dass U ein
> > Normalteiler ist.
>  >  
> > Dann siehst Du: es ist ganz einfach , das nachzurechnen
>  
> Soweit ich weiß ist eine Untergruppe U dann ein
> Normalteiler, wenn Rechtsnebenklassen=Linksnebenklassen.
>  Ich verstehe nur nicht ganz, wie die Determinante in das
> Ganze einfließt...


Zunächst zeigst Du , dass U eine Untergruppe von G ist. (Untergruppen Kriterium)

Dann zeigst Du: $U = [mm] AUA^{-1}$ [/mm]  für jedes A [mm] \in [/mm] G

Mach einfach mal

FRED

>  
> lg


Bezug
                                
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 Di 26.01.2010
Autor: f.l.o.


> Zunächst zeigst Du , dass U eine Untergruppe von G ist.
> (Untergruppen Kriterium)

Also a,b [mm] \in [/mm] G -> a+b [mm] \in [/mm] G sowie a [mm] \in [/mm] G und [mm] \lambda \in [/mm] Körper K -> [mm] \lambda*a \in [/mm] G, richtig ?
  

> Dann zeigst Du: [mm]U = AUA^{-1}[/mm]  für jedes A [mm]\in[/mm] G
>  
> Mach einfach mal

Tut mir leid das kapiere ich nicht so wirklich... :(
Mir ist klar, dass sich A und [mm] A^{-1} [/mm] mehr oder weniger aufheben, aber wie soll ich [mm]U = AUA^{-1}[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] G zeigen ?
Bzw. ich verstehe noch immer nicht was die Determinante damit zu tun hat :S
Sorry...
lg

Bezug
                                        
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 Di 26.01.2010
Autor: fred97


> > Zunächst zeigst Du , dass U eine Untergruppe von G ist.
> > (Untergruppen Kriterium)
>  
> Also a,b [mm]\in[/mm] G -> a+b [mm]\in[/mm] G sowie a [mm]\in[/mm] G und [mm]\lambda \in[/mm]
> Körper K -> [mm]\lambda*a \in[/mm] G, richtig ?

Nein. Du verwechselst Untergruppe mit Untervektorraum.

Die Verknüpfung * in obigem G ist die Matrizenmultiplikation

Du schaust jetzt nochmal in DEinen Unterlagen nach, welche Eigenschaften U haben muß, damit U eine Untergruppe von G ist


>    
> > Dann zeigst Du: [mm]U = AUA^{-1}[/mm]  für jedes A [mm]\in[/mm] G
>  >  
> > Mach einfach mal
>  
> Tut mir leid das kapiere ich nicht so wirklich... :(
>  Mir ist klar, dass sich A und [mm]A^{-1}[/mm] mehr oder weniger
> aufheben, aber wie soll ich [mm]U = AUA^{-1}[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] G
> zeigen ?


Du mußt für jedes A [mm] \in [/mm] G zeigen:  [mm]U \subseteq AUA^{-1}[/mm] und  [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] .

Ich mach Dir mal [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] vor:

Sei B [mm] \in [/mm] U. Zu zeigen ist [mm] ABA^{-1} \in [/mm] U.
Klar ist:  [mm] ABA^{-1} \in [/mm] G.

Weiter:  [mm] $det(ABA^{-1}) [/mm] = [mm] det(A)*det(B)*det(A^{-1})= det(A)*det(B)*det(A)^{-1}= [/mm] det (B) = [mm] \pm1$, [/mm] da B [mm] \in [/mm] U.

Also ist [mm] ABA^{-1} \in [/mm] U.

FRED






>  Bzw. ich verstehe noch immer nicht was die Determinante
> damit zu tun hat :S
>  Sorry...
>  lg


Bezug
                                                
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:32 Mi 27.01.2010
Autor: f.l.o.


> Nein. Du verwechselst Untergruppe mit Untervektorraum.
>  
> Die Verknüpfung * in obigem G ist die
> Matrizenmultiplikation
>  
> Du schaust jetzt nochmal in DEinen Unterlagen nach, welche
> Eigenschaften U haben muß, damit U eine Untergruppe von G
> ist

Achso ja klar, sorry.
Ich muss ja untersuchen ob für a,b [mm] \in [/mm] U auch a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] U und [mm] a^{-1} \in [/mm] U.

>  
>
> >    

> > > Dann zeigst Du: [mm]U = AUA^{-1}[/mm]  für jedes A [mm]\in[/mm] G
>  >  >  
> > > Mach einfach mal
>  >  
> > Tut mir leid das kapiere ich nicht so wirklich... :(
>  >  Mir ist klar, dass sich A und [mm]A^{-1}[/mm] mehr oder weniger
> > aufheben, aber wie soll ich [mm]U = AUA^{-1}[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] G
> > zeigen ?
>  
>
> Du mußt für jedes A [mm]\in[/mm] G zeigen:  [mm]U \subseteq AUA^{-1}[/mm]
> und  [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] .
>  
> Ich mach Dir mal [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] vor:
>  
> Sei B [mm]\in[/mm] U. Zu zeigen ist [mm]ABA^{-1} \in[/mm] U.
>   Klar ist:  [mm]ABA^{-1} \in[/mm] G.
>
> Weiter:  [mm]det(ABA^{-1}) = det(A)*det(B)*det(A^{-1})= det(A)*det(B)*det(A)^{-1}= det (B) = \pm1[/mm],
> da B [mm]\in[/mm] U.
>  
> Also ist [mm]ABA^{-1} \in[/mm] U.
>  
> FRED

ok danke das kann ich nachvollziehen :)
Und jetzt muss ich noch zeigen, dass [mm]U \subseteq AUA^{-1}[/mm] ? Wo ist da der Unterschied zum Beweis, dass [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] ?

lg

Bezug
                                                        
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:38 Mi 27.01.2010
Autor: fred97


> > Nein. Du verwechselst Untergruppe mit Untervektorraum.
>  >  
> > Die Verknüpfung * in obigem G ist die
> > Matrizenmultiplikation
>  >  
> > Du schaust jetzt nochmal in DEinen Unterlagen nach, welche
> > Eigenschaften U haben muß, damit U eine Untergruppe von G
> > ist
>  Achso ja klar, sorry.
>  Ich muss ja untersuchen ob für a,b [mm]\in[/mm] U auch a [mm]\circ[/mm] b
> [mm]\in[/mm] U und [mm]a^{-1} \in[/mm] U.
>  >  
> >
> > >    

> > > > Dann zeigst Du: [mm]U = AUA^{-1}[/mm]  für jedes A [mm]\in[/mm] G
>  >  >  >  
> > > > Mach einfach mal
>  >  >  
> > > Tut mir leid das kapiere ich nicht so wirklich... :(
>  >  >  Mir ist klar, dass sich A und [mm]A^{-1}[/mm] mehr oder
> weniger
> > > aufheben, aber wie soll ich [mm]U = AUA^{-1}[/mm] für jedes A [mm]\in[/mm] G
> > > zeigen ?
>  >  
> >
> > Du mußt für jedes A [mm]\in[/mm] G zeigen:  [mm]U \subseteq AUA^{-1}[/mm]
> > und  [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] .
>  >  
> > Ich mach Dir mal [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm] vor:
>  >  
> > Sei B [mm]\in[/mm] U. Zu zeigen ist [mm]ABA^{-1} \in[/mm] U.
>  >   Klar ist:  [mm]ABA^{-1} \in[/mm] G.
> >
> > Weiter:  [mm]det(ABA^{-1}) = det(A)*det(B)*det(A^{-1})= det(A)*det(B)*det(A)^{-1}= det (B) = \pm1[/mm],
> > da B [mm]\in[/mm] U.
>  >  
> > Also ist [mm]ABA^{-1} \in[/mm] U.
>  >  
> > FRED
>  
> ok danke das kann ich nachvollziehen :)
>  Und jetzt muss ich noch zeigen, dass [mm]U \subseteq AUA^{-1}[/mm]
> ? Wo ist da der Unterschied zum Beweis, dass [mm]U \supseteq AUA^{-1}[/mm]



Nimm ein B [mm] \in [/mm] U. Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm] \in [/mm] U mit  [mm]B = ACA^{-1}[/mm]


FRED

> ?
>  
> lg


Bezug
                                                                
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:00 Mi 27.01.2010
Autor: f.l.o.


> Nimm ein B [mm]\in[/mm] U. Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm]\in[/mm] U
> mit  [mm]B = ACA^{-1}[/mm]
>
>
> FRED

also  B [mm] \in[/mm] [/mm] U mit B = [mm] ACA^{-1}[/mm] [/mm] und dafür zeige ich jetzt wieder das selbe wie vorhin also:
[mm]det(B)[/mm]= [mm] det(ACA^{-1}) [/mm] = [mm] det(A)*det(C)*det(A^{-1}) [/mm] = [mm] det(A)*det(C)*det(A)^{-1} [/mm] = [mm] det(C)=\pm1 [/mm]

so in etwa?
lg


Bezug
                                                                        
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Mi 27.01.2010
Autor: fred97

Das habe ich geschrieben:

"Du mußt nun zeigen: es gibt ein C $ [mm] \in [/mm] $ U mit  $ B = [mm] ACA^{-1} [/mm] $ "

Also : wie kommst Du zu obigem C ?

FRED

Bezug
                                                                                
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:29 Mi 27.01.2010
Autor: f.l.o.


> Das habe ich geschrieben:
>  
> "Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm]\in[/mm] U mit  [mm]B = ACA^{-1}[/mm]
> "
>  
> Also : wie kommst Du zu obigem C ?
>  
> FRED

Naja das hatte ich doch hingeschrieben. Indem ich zeige, dass [mm]B = ACA^{-1} = C[/mm]  und da [mm] det(B)=\pm1 [/mm] folgt [mm] det(C)=\pm1, [/mm] oder nicht ?

lg

Bezug
                                                                                        
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Mi 27.01.2010
Autor: fred97


> > Das habe ich geschrieben:
>  >  
> > "Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm]\in[/mm] U mit  [mm]B = ACA^{-1}[/mm]
> > "
>  >  
> > Also : wie kommst Du zu obigem C ?
>  >  
> > FRED
>
> Naja das hatte ich doch hingeschrieben. Indem ich zeige,
> dass [mm]B = ACA^{-1} = C[/mm]  


Wie kommst Du da drauf ????


FRED

> und da [mm]det(B)=\pm1[/mm] folgt
> [mm]det(C)=\pm1,[/mm] oder nicht ?
>  
> lg


Bezug
                                                                                                
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mi 27.01.2010
Autor: f.l.o.


> > > Das habe ich geschrieben:
>  >  >  
> > > "Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm]\in[/mm] U mit  [mm]B = ACA^{-1}[/mm]
> > > "
>  >  >  
> > > Also : wie kommst Du zu obigem C ?
>  >  >  
> > > FRED
> >
> > Naja das hatte ich doch hingeschrieben. Indem ich zeige,
> > dass [mm]B = ACA^{-1} = C[/mm]  
>
>
> Wie kommst Du da drauf ????
>

Naja ich wenn [mm] det(B)=det(A*B*A^{-1}) [/mm] dann ist doch [mm] B=A*B*A^{-1}. [/mm] Wenn nun B = [mm] A*C*A^{-1} [/mm] dann folgt doch, dass B = C ?!
Ich kapiers irgendwie nicht... :(

>
> FRED
>  
> > und da [mm]det(B)=\pm1[/mm] folgt
> > [mm]det(C)=\pm1,[/mm] oder nicht ?
>  >  
> > lg  


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Mi 27.01.2010
Autor: fred97


> > > > Das habe ich geschrieben:
>  >  >  >  
> > > > "Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm]\in[/mm] U mit  [mm]B = ACA^{-1}[/mm]
> > > > "
>  >  >  >  
> > > > Also : wie kommst Du zu obigem C ?
>  >  >  >  
> > > > FRED
> > >
> > > Naja das hatte ich doch hingeschrieben. Indem ich zeige,
> > > dass [mm]B = ACA^{-1} = C[/mm]  
> >
> >
> > Wie kommst Du da drauf ????
>  >

>
> Naja ich wenn [mm]det(B)=det(A*B*A^{-1})[/mm] dann ist doch
> [mm]B=A*B*A^{-1}.[/mm]


Wieso ? wer sagt das ?



> Wenn nun B = [mm]A*C*A^{-1}[/mm] dann folgt doch, dass
> B = C ?!



Nein I

FRED


>  Ich kapiers irgendwie nicht... :(
>  
> >
> > FRED
>  >  
> > > und da [mm]det(B)=\pm1[/mm] folgt
> > > [mm]det(C)=\pm1,[/mm] oder nicht ?
>  >  >  
> > > lg  
>  


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:28 Mi 27.01.2010
Autor: f.l.o.


> > > > > Das habe ich geschrieben:
>  >  >  >  >  
> > > > > "Du mußt nun zeigen: es gibt ein C [mm]\in[/mm] U mit  [mm]B = ACA^{-1}[/mm]
> > > > > "
>  >  >  >  >  
> > > > > Also : wie kommst Du zu obigem C ?
>  >  >  >  >  
> > > > > FRED
> > > >
> > > > Naja das hatte ich doch hingeschrieben. Indem ich zeige,
> > > > dass [mm]B = ACA^{-1} = C[/mm]  
> > >
> > >
> > > Wie kommst Du da drauf ????
>  >  >

> >
> > Naja ich wenn [mm]det(B)=det(A*B*A^{-1})[/mm] dann ist doch
> > [mm]B=A*B*A^{-1}.[/mm]
>
>
> Wieso ? wer sagt das ?
>  

Naja das hatte ich halt mal angenommen...
Wie sollte es denn sein ?

>
>
> > Wenn nun B = [mm]A*C*A^{-1}[/mm] dann folgt doch, dass
> > B = C ?!
>  
>
>
> Nein I

Wie I ? B = I (=Einheitsmatrix) ?
*confused*

>  
> FRED
>  
>
> >  Ich kapiers irgendwie nicht... :(

>  >  
> > >
> > > FRED
>  >  >  
> > > > und da [mm]det(B)=\pm1[/mm] folgt
> > > > [mm]det(C)=\pm1,[/mm] oder nicht ?
>  >  >  >  
> > > > lg  
> >  


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Fr 29.01.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Matrizen mit det1 Normalteiler: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Do 28.01.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de