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| Aufgabe | Sei [mm] $\IK$ [/mm] ein Körper und $A [mm] \in \mathrm{GL}(\IK,3)$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass $a, b , c [mm] \in \IK$ [/mm] existieren mit [mm] $A^{-1} [/mm] = aE + bA + [mm] cA^2$. [/mm] |
Hallo an alle!
Ersteinmal vorweg: GL(K,3) sind die invertierbaren Matrizen.
E ist die Einheitsmatrix.
Ich habe also eine beliebige 3x3 Matrix, die invertierbar ist. Die Inverse soll ich also als Linearkombination der Matrix selbst darstellen.
Mir fehlt leider ein passender Ansatz.
Ich habe bereits versucht, alles nach Null umzustellen:
[mm] A^{-1} [/mm] - aE - bA - cA²=0
und dann zu zeigen, dass es a , b ,c gibt, so dass das gilt.
Dafür hab ich das erstmal zu einem Polynom gemacht:
[mm] x^{-1} [/mm] - a - bx - cx² = 0
Dann hab ich das ganze mit x multipliziert, um dieses hässliche [mm] x^{-1} [/mm] wegzubekommen:
1 - ax - bx² - [mm] cx^{3} [/mm] = 0
Nun ist leider bei mir Schluss. Müsste ich die Nullstellen finden, wüsste ich, wie ich weiter machen müsste, aber ich will ja für beliebige x die a, b, c finden, die auch nicht von x abhängen dürfen, denn die Matrix, die ich später in die Gleichung einsetzen möchte ist ja aus 3x3 und a, b , c sollen ja nur Parameter sein.
Bitte um Hilfe!
Viele Grüße
broergoer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper und [mm]A \in \mathrm{GL}(\IK,3)[/mm].
> Zeigen
> Sie, dass [mm]a, b , c \in \IK[/mm] existieren mit [mm]A^{-1} = aE + bA + cA^2[/mm].
> Ich habe also eine beliebige 3x3 Matrix, die invertierbar
> ist. Die Inverse soll ich also als Linearkombination der
> Matrix selbst darstellen.
>
> Mir fehlt leider ein passender Ansatz.
> Ich habe bereits versucht, alles nach Null umzustellen:
>
> [mm]A^{-1}[/mm] - aE - bA - cA²=0
>
> und dann zu zeigen, dass es a , b ,c gibt, so dass das
> gilt.
>
> Dafür hab ich das erstmal zu einem Polynom gemacht:
>
> [mm]x^{-1}[/mm] - a - bx - cx² = 0
>
> Dann hab ich das ganze mit x multipliziert, um dieses
> hässliche [mm]x^{-1}[/mm] wegzubekommen:
>
> 1 - ax - bx² - [mm]cx^{3}[/mm] = 0
>
> Nun ist leider bei mir Schluss.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Vorbereitungen sind nicht so übel.
Du könntest Dir jetzt überlegen, wie das charakteristische Polynom einer invertierbaren(!) 3x3-Matrix aussieht.
Bedenke, daß, wenn p das charakteristische Polynom v. A ist, p(A)=0 gilt (Hamilton-Cayley).
Gruß v. Angela
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Juhu!
Das hat mir sehr geholfen! Hier nun meine Lösung + weiteren Lösungsweg.
Das charakteristische Polynom p(x) einer invertierbaren 3x3-Matrix A ist:
p(x)= [mm] (x-t_{1}) (x-t_{2}) (x-t_{3}), [/mm] wobei [mm] t_{i} [/mm] die Eigenwerte der Matrix sind und [mm] t_{i} \not= [/mm] 0.
(Wäre ein [mm] t_{i}=0, [/mm] so hätte A 0 als Eigenwert, damit wäre der Kern(A) nicht mehr trivial, dim [mm] Kern(A)\not=0 [/mm] und somit hätte A nicht mehr vollen Rang und wäre nicht invertierbar.)
p(x) ausmultipliziert ergibt:
p(x)= 1x³ - [mm] (t_{1}+t_{2}+t_{3})x² [/mm] + [mm] (t_{1}t_{2} [/mm] + [mm] t_{2}t_{3} [/mm] + [mm] t_{1}t_{3})x [/mm] + [mm] t_{1}t_{2}t_{3}
[/mm]
Nun mache ich einen Koeffizientenvergleich mit obigen Polynom und erhalte:
c = 1
b = [mm] (t_{1}+t_{2}+t_{3})
[/mm]
a = [mm] (t_{1}t_{2} [/mm] + [mm] t_{2}t_{3} [/mm] + [mm] t_{1}t_{3})
[/mm]
1 = [mm] t_{1}t_{2}t_{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] also muss ich die ganze Gleichung nochmal durch [mm] t_{1}t_{2}t_{3} [/mm] teilen, aber das dürfte ja kein Problem sein, da 0:x eh gleich Null ist.
Danke für den Tipp!
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> Das charakteristische Polynom p(x) einer invertierbaren
> 3x3-Matrix A ist:
>
> p(x)= [mm](x-t_{1}) (x-t_{2}) (x-t_{3}),[/mm] wobei [mm]t_{i}[/mm] die
> Eigenwerte der Matrix sind und [mm]t_{i} \not=[/mm] 0.
Hallo,
ich bin gerade sehr in Eile, deshalb nur knapp.
Du kannst nicht davon ausgehen, daß das Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
Der Rest ist jedoch richtig:
das charakteristische Polynom ist vom grad 3, und der Koeffizient vor [mm] x^0 [/mm] ist [mm] \not=0, [/mm] denn sonst wäre die 0 ein Eigenwert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:01 Fr 30.05.2008 | | Autor: | broergoer |
Mist... na klar.
Aber im Prinzip müsste man dann ja auf eine ähnliche Lösung kommen.
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