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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Mathics |
Hallo,
ich habe vor kurzem das Transpositionsgesetz 3 kennengelernt.
[mm] D^T [/mm] * [mm] C^T [/mm] * [mm] B^T [/mm] * [mm] A^T [/mm] = [mm] (A*B*C*D)^T
[/mm]
In einer Aufgabe dazu haben wir gerechnet:
[mm] ((F*G^T)^T)^-1 [/mm] = [mm] (G*F^T)^-1 [/mm] = [mm] (F^T)^-1 [/mm] * G^-1
Den ersten Schritt verstehe ich, da wenden wir das Transpositiongesetz 3 an, lösen die Klammer auf und vertauschen die Reihenfolge der Matrizen. Aber im zweiten Schritt besteht ja quasi kein "übergeordnetes" Transpositionszeichen mehr, sondern lediglich die Inverse -1, die für beide Matrizen gilt. Wenn man die Klammer auflöst, gilt dann auch bei den Inversen bzw. generell bei Potenzen, dass man die Reihenfolge der Matrizen vertauschen muss?
Danke.
LG
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Hallo,
> Hallo,
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> ich habe vor kurzem das Transpositionsgesetz 3
> kennengelernt.
>
> [mm]D^T[/mm] * [mm]C^T[/mm] * [mm]B^T[/mm] * [mm]A^T[/mm] = [mm](A*B*C*D)^T[/mm]
>
> In einer Aufgabe dazu haben wir gerechnet:
>
> [mm]((F*G^T)^T)^-1[/mm] = [mm](G*F^T)^-1[/mm] = [mm](F^T)^-1[/mm] * G^-1
>
> Den ersten Schritt verstehe ich, da wenden wir das
> Transpositiongesetz 3 an, lösen die Klammer auf und
> vertauschen die Reihenfolge der Matrizen.
Genau
> Aber im zweiten
> Schritt besteht ja quasi kein "übergeordnetes"
> Transpositionszeichen mehr, sondern lediglich die Inverse
> -1, die für beide Matrizen gilt. Wenn man die Klammer
> auflöst, gilt dann auch bei den Inversen bzw. generell bei
> Potenzen, dass man die Reihenfolge der Matrizen vertauschen
> muss?
Jo, es gilt [mm] $(A\cdot{}B)^{-1}=B^{-1}\cdot{}A^{-1}$
[/mm]
für "passende" Matrizen (soll heißen: invertierbar, passendes Format usw.)
Das kannst du dir leicht klarmachen, indem du es nachrechnest:
Zu [mm] $(AB)^{-1}$ [/mm] ist $AB$ invers, also [mm] $(AB)^{-1}AB=E$
[/mm]
Multipliziere nun nacheinander von rechts mit [mm] $B^{-1}$ [/mm] und mit [mm] $A^{-1}$, [/mm] dann bekommst du
[mm] $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
[/mm]
Beachte, dass die Inverse eindeutig ist ...
>
>
> Danke.
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Mathics |
Alles klar.
Und wie ist das wenn ich einfach eine Potenz habe: [mm] (A*B)^5? [/mm] Ist das dann [mm] A^5*B^5 [/mm] oder [mm] B^5*A^5 [/mm] ?
Wie könnte man den Satz für transponierte Matrizen beweisen?
Danke.
LG
Mathics
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Hallo,
> Alles klar.
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> Und wie ist das wenn ich einfach eine Potenz habe: [mm](A*B)^5?[/mm]
> Ist das dann [mm]A^5*B^5[/mm] oder [mm]B^5*A^5[/mm] ?
Weder noch ...
Wieso sollte das denn gelten? Die Matrixmultiplikation ist doch i.A. nicht kommutativ
Unter der Voraussetzung: $AB=BA$ wäre [mm] $(AB)^5=(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)=(AAAAA)(BBBBB)=A^5B^5=B^5A^5$
[/mm]
Aber das gilt i.A. NICHT!
>
> Wie könnte man den Satz für transponierte Matrizen
> beweisen?
Welchen Satz? Formuliere die Aussage, die du meinst ...
>
>
> Danke.
>
>
>
> LG
> Mathics
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Mathics |
Okey, das habe ich leider nicht beachtet.
Wie könnte man $ [mm] (A\cdot{}B\cdot{}C\cdot{}D)^T [/mm] = [mm] D^T [/mm] * [mm] C^T [/mm] * [mm] B^T [/mm] * [mm] A^T$ [/mm] beweisen?
Danke.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mi 08.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Okey, das habe ich leider nicht beachtet.
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> Wie könnte man [mm](A\cdot{}B\cdot{}C\cdot{}D)^T = D^T * C^T * B^T * A^T[/mm]
> beweisen?
Es genügt zu zeigen:
[mm] $(A*B)^T=B^T*A^T$
[/mm]
Zum Bewis benötigst Du die Definition der Matrizenmultiplikation und die Def. der Transponierten.
FRED
>
>
> Danke.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Mathics |
Meinst du so:
( A C [mm] )^T [/mm] = ( a ij * c jk [mm] )^T [/mm] = ( d ik [mm] )^T [/mm] = d ki = a ji * c kj = c kj * a ji = [mm] C^T [/mm] * [mm] A^T
[/mm]
?
Danke.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Mi 08.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Meinst du so:
>
> ( A C [mm])^T[/mm] = ( a ij * c jk [mm])^T[/mm] = ( d ik [mm])^T[/mm] = d ki = a ji *
> c kj = c kj * a ji = [mm]C^T[/mm] * [mm]A^T[/mm]
>
Überall wo du multiplizierst fehlt ein Summenzeichen.
Das weißt du aber sicher selbst.
Sonst ist alles in Ordnung.
>
> ?
>
>
> Danke.
>
> LG
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Mathics |
Ich habe die Lösung übernommen, mir ist leider nicht ganz klar, wieso da ein Summenzeichen hin muss ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mi 08.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
mach Dir mal ein Beispiel mit 2x2 Matrizen und rechne das Matrixprodukt aus, dann wirst Du sehen, das sich das Ergebnis für jedes Matrixelement aus einzelnen Summanden zusammensetzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Do 09.01.2014 | | Autor: | Mathics |
Achse du meinst, dass wenn ich z.B.
[mm] \pmat{ 9 & 3 \\ 4 & 2 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] rechne muss ich für die neue Matrix z.B. [mm] \pmat{ 9*1 + 3*3 = 15 & x \\ x & x } [/mm] rechnen?
Ist das mit gemeint?
Gibt es noch eine andere Möglichkeit den Satz zu beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Do 09.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
genau das ist gemeint. Und jetzt mach mal das ganze für A=n x m Matrix und B=m x k Matrix. Das Ergebnis ist ja dann eine n x k Matrix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Do 09.01.2014 | | Autor: | Mathics |
[mm] \pmat{ 9 & 3 \\ 4 & 2 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 7 } [/mm] rechne muss ich für die neue Matrix z.B. [mm] \pmat{ 9*1 + 3*3 = 15 & 9*2 + 3*4= 30 & 9*2 + 2*7= 32 \\ x & x } [/mm]
aber das ist bei den Matrizen ja bekannt, wäre es in der Klausur ein Fehler wenn ich das Summenzeichen weglasse?
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Hallo Mathics,
das ist ein Summenzeichen: [mm] \summe
[/mm]
das ist ein Pluszeichen: $+$
> [mm]\pmat{ 9 & 3 \\ 4 & 2 }[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 7 }[/mm]
> rechne muss ich für die neue Matrix z.B. [mm]\pmat{ 9*1 + 3*3 = 15 & 9*2 + 3*4= 30 & 9*2 + 2*7= 32 \\ x & x }[/mm]
>
> aber das ist bei den Matrizen ja bekannt, wäre es in der
> Klausur ein Fehler wenn ich das Summenzeichen weglasse?
Ein grober Fehler wäre es, wenn Du eine Matrix so schreibst wie oben. Die Gleichheitszeichen haben in der Matrix nichts zu suchen! Außerdem fehlt rechts unten ein Eintrag.
Und falls Du mit "Summenzeichen" hier die Pluszeichen meinst - die darfst Du natürlich nicht weglassen, es sei denn, Du trägst direkt das Ergebnis ein.
Ich würde in einer Klausur aber immer Zwischenschritte mit aufschreiben. Das hilft dem Korrektor zu verstehen, was Du da eigentlich gemacht hast. Außerdem gibt es ihm die Möglichkeit, noch den Weg zu würdigen (also zu bepunkten), auch wenn Du Dich dann im weiteren Verlauf verrechnet hast.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Do 09.01.2014 | | Autor: | Mathics |
Es ging ja ursprünglich um den Beweis von [mm] D^T [/mm] * [mm] C^T [/mm] * [mm] B^T [/mm] * [mm] A^T [/mm] = [mm] (A*B*C*D)^T [/mm]
Und da hatte ich vorgeschlagen:
( A C [mm] )^T [/mm] = ( a ij * c jk [mm] )^T [/mm] = ( d ik [mm] )^T [/mm] = d ki = c kj * a ji = [mm] C^T [/mm] * [mm] A^T
[/mm]
Nun soll überall wo die Matrixmultiplikation steht, ein Summenzeichen hin und ich wollte fragen, ob man das nicht weglassen und so wie oben stehen lassen kann?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es ging ja ursprünglich um den Beweis von [mm]D^T[/mm] * [mm]C^T[/mm] * [mm]B^T[/mm]
> * [mm]A^T[/mm] = [mm](A*B*C*D)^T[/mm]
>
> Und da hatte ich vorgeschlagen:
>
> ( A C [mm])^T[/mm] = ( a ij * c jk [mm])^T[/mm] = ( d ik [mm])^T[/mm] = d ki = c kj *
> a ji = [mm]C^T[/mm] * [mm]A^T[/mm]
>
> Nun soll überall wo die Matrixmultiplikation steht, ein
> Summenzeichen hin und ich wollte fragen, ob man das nicht
> weglassen
Nein !
FRED
> und so wie oben stehen lassen kann?
>
>
> LG
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