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Hi, zu allererst, ich hab die Frage in keinem anderen Forum gestellt!
Irgendwie weiß ich nicht so recht, wie ich ansetzen soll, mir ist klar, dass sich das Koordinatensystem um 30° dreht, da sin 30 = 0,5 usw. ist, aber wie ich daraus jetzt eine neue Matrix errechen soll ... keinen blassen Schimmer. Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Gegeben sei eine lineare Abbildung M deren Darstellung bezüglich der Einheitsvektoren e1= [mm] \vektor{1 \\ 0}, [/mm] e2 = [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] lautet M = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 0 }. [/mm] Bereche die Darstellung bezüglich der orthogonalen Einheitsvektoren e'1 = [mm] \vektor{ \bruch{1}{2} \\ \bruch{ \wurzel{3}}{2} } [/mm] und e'2 = [mm] \vektor{ \bruch{ -\wurzel{3}}{2} \\ \bruch{1}{2}}!
[/mm]
Mfg Simon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo Simon,
du kannst diese Aufgabe sicher mithilfe der Transformationsformel für Lineare Abbildungen bzgl. verschiedener Basen lösen. Ich werde aber versuchen, diese Aufgabe ein wenig intuitiver zu erklären:
Verdeutliche dir zu allererst noch einmal die Bedeutung von M:
In der Matrix M stehen die Bilder der Basisvektoren unter der Abbildung M. Warum? Weil z.B. [mm]M*e_1= \vektor{2 \\ 1}[/mm]. (Allerdings ausgedrückt in "Einheiten" der ersten Basis. - s.u.)
Wir brauchen also die Bilder der neuen Basisvektoren unter M:
[mm]M*e'_1=M* \vektor{ \bruch{1}{2} \\ \bruch{ \wurzel{3}}{2}}=
\vektor {1+\bruch{\wurzel 3}{2} \\ \bruch{1}{2}}[/mm] und
[mm]M*e'_2=M* \vektor{ \bruch{ -\wurzel{3}}{2} \\ \bruch{1}{2}}=
\vektor{- \wurzel 3 + \bruch{1}{2} \\ \bruch {- \wurzel 3}{2}}[/mm].
Die Lösungen sind jetzt natürlich bzgl. der ersten Basis dargestellt. Was heißt das?
Auch wenn es jetzt vielleicht zu genau klingt, aber verdeutliche dir noch einmal, was die Einträge eines Vektors genau heißen:
[mm]\vektor{2 \\ 1}=2*e_1+1*e_2[/mm]. Das heißt, im Vektor stehen die Faktoren, mit denen die Basisvektoren multipliziert werden müssen, um den Vektor zu erhalten.
Beispiel: [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] wäre die Darstellung desselben Vektors ([mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm]) bezüglich der Basis [mm]\{\vektor{1 \\ 1},\vektor{1 \\0} \}[/mm], da [mm]1*\vektor{1 \\ 1} + 1*\vektor{1 \\0}=\vektor{2 \\ 1}[/mm].
Wie sieht nun also unsere Matrix M' aus?
Wir müssen die Bilder wie oben nur noch bezüglich der neuen Basis darstellen. In der ersten Spalte steht also der Vektor [mm]\vektor{\lambda_1 \\\lambda_2}[/mm], so dass gilt:
[mm]\vektor {1+\bruch{\wurzel 3}{2} \\ \bruch{1}{2}}=\lambda_1*e'_1+\lambda_2*e'_2[/mm].
Die zweite Spalte wird analog berechnet. Kommst du nun allein weiter?
Versuche es doch einmal und melde dich, wenn du an bestimmten Stellen noch Fragen hast!
Viele Grüße
Astrid
> Hi, zu allererst, ich hab die Frage in keinem anderen Forum
> gestellt!
> Irgendwie weiß ich nicht so recht, wie ich ansetzen soll,
> mir ist klar, dass sich das Koordinatensystem um 30° dreht,
> da sin 30 = 0,5 usw. ist, aber wie ich daraus jetzt eine
> neue Matrix errechen soll ... keinen blassen Schimmer. Ich
> bin für jede Hilfe dankbar!
>
> Gegeben sei eine lineare Abbildung M deren Darstellung
> bezüglich der Einheitsvektoren e1= [mm]\vektor{1 \\ 0},[/mm] e2 =
> [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] lautet M = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 0 }.[/mm]
> Bereche die Darstellung bezüglich der orthogonalen
> Einheitsvektoren e'1 = [mm]\vektor{ \bruch{1}{2} \\ \bruch{ \wurzel{3}}{2} }[/mm]
> und e'2 = [mm]\vektor{ \bruch{ -\wurzel{3}}{2} \\ \bruch{1}{2}}!
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> Mfg Simon
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Hi, also du konntest mir auf jeden Fall weiterhelfen. Aber damit ich mir sicher bin: ich muss doch jetzt nur ein [mm] \lambda_{1} [/mm] und ein [mm] \lambda_{2} [/mm] finden, um die linke Seite meiner neuen Matrize zu bekommen, oder? Also setzt ich einfach [mm] e_{1}, e_{2} [/mm] in die letzte Gleichung, die du geschrieben hast ein und löse sozusagen nach [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] auf. Richtig? Trotzdem schon einmal vielen Dank! MfG Simon
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 So 14.11.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo Simon,
du mußt die neuen Basisvektoren, also [mm]e'_1[/mm] und [mm]e'_2[/mm] einsetzen, da du ja die Darstellung bezüglich der neuen Basis brauchst.
Viele Grüße
Astrid
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