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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrizenbeweise
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Matrizenbeweise: Ansätze
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 04:32 So 10.05.2009
Autor: Bob1982

Aufgabe
a) Sei A eine n x n Matrix über R mit rang(A)=m

z.z.: Es gibt n x m Matrizen X,Y über R, so dass [mm]A=XY^T[/mm] gilt

b) Seien X,Y nun n x m Matrizen über R mit [mm]n \geq m[/mm] und A eine reguläre n x n Matrix über R

z.z.: [mm]A+XY^T[/mm] regulär <=> [mm]I+Y^TA^{-1}X[/mm] regulär

Meine Gedanken zu Aufgaben:

zu a)

Damit es überhaupt erst möglich ist, dass A auch den Rang m hat muss [mm]n \geq m[/mm] gelten, da für n<m die n x n Matrix A ja nachher keinen Rang haben kann, der größer als ihre Breite ist.

Für n=m ist die Sache klar, denn dann hat A vollen Rang, ist invertierbar mit det(A) ungleich null und X und Y müssen demnach auch regulär sein.

Die Frage ist nun warum auch für n>m immer eine solche Zerlegung existieren MUSS.
Invertierbar wird die quadratische Matrix A ja dann auch nicht sein da ja kein voller Rang mehr vorliegt.
Wie könnte ich da ansetzen ?

b)

Wenn 2 Matrizen A und B regulär sind, dann ist auch AB regulär wegen det(AB)=det(A)*det(B) da det (A), det(B) ungleich null

Damit wäre [mm]A^{-1}(A+XY^T)=I+A^{-1}XY^T[/mm] auch regulär.

Wie könnte es weiter gehen ?

Gruß Björn

        
Bezug
Matrizenbeweise: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:21 Di 12.05.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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