Matrizendarstellung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Sa 14.03.2015 | | Autor: | soulflow |
Guten Morgen matheraum,
ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe meines Übungsblatts.
Ich soll die Additionstheoreme des Sinus und Cosinus durch Vergleich der Matrizendarstellung von [mm]e^{ix}[/mm], [mm]e^{iy}[/mm], [mm]e^{i(x+y)}[/mm] beweisen. Nun meine Frage: Was genau ist mit Matrizendarstellung gemeint? Ich kann mich nicht erinnern, dass mein Prof. das während der Vorlesung angesprochen hat. Leider kann ich auch nicht im Skript schauen, da das neue Kapitel noch nicht hochgeladen wurde. Im Internet habe ich auch nichts gefunden. Vielleicht habe ich aber auch einfach nach den falschen Schlagwörtern gesucht. Mir ist auch nur die Beweismethode mithilfe der eulerschen Formel bekannt.
Vielen Dank schonmal für eure Antworten
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Sa 14.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Guten Morgen matheraum,
>
> ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe meines
> Übungsblatts.
> Ich soll die Additionstheoreme des Sinus und Cosinus durch
> Vergleich der Matrizendarstellung von [mm]e^{ix}[/mm], [mm]e^{iy}[/mm],
> [mm]e^{i(x+y)}[/mm] beweisen. Nun meine Frage: Was genau ist mit
> Matrizendarstellung gemeint? Ich kann mich nicht erinnern,
> dass mein Prof. das während der Vorlesung angesprochen
> hat. Leider kann ich auch nicht im Skript schauen, da das
> neue Kapitel noch nicht hochgeladen wurde. Im Internet habe
> ich auch nichts gefunden. Vielleicht habe ich aber auch
> einfach nach den falschen Schlagwörtern gesucht. Mir ist
> auch nur die Beweismethode mithilfe der eulerschen Formel
> bekannt.
>
> Vielen Dank schonmal für eure Antworten
>
> Gruß
Nun, wenn man schon die Eulersche Gleichung verwenden darf, dann gibts sicher auch andere Mögloichkeiten, damit die Additionstheoreme zu beweisen.
Gemeint ist wohl diese Darstellung
![[]](/images/popup.gif) de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Polynome:_Adjunktion
Danach würde etwa [mm] $e^{j*x}$ [/mm] die Darstellung [mm] $\pmat{ cos\ x & -sin\ x \\ sin\ x & cos\ x }$ [/mm] entsprechen und die Additionstheoreme wären mittels Matrizenmultiplikation zu zeigen.
Gruß RMix
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Polynome:_Adjunktion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Sa 14.03.2015 | | Autor: | soulflow |
Vielen Dank!!! Genau was ich gebraucht habe.
Noch ein schönes Wochenende!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Sa 14.03.2015 | | Autor: | fred97 |
Aus Wiki:
Die Menge der [mm] 2\times2-Matrizen [/mm] der Form
$ Z = [mm] \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} [/mm] = a [mm] \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} [/mm] + b [mm] \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} [/mm] = a [mm] \cdot [/mm] E + b [mm] \cdot [/mm] I$ mit [mm] $a,b\in\IR$
[/mm]
bildet ebenfalls ein Modell der komplexen Zahlen. Dabei werden die reelle Einheit 1 bzw. die imaginäre Einheit [mm] \mathrm [/mm] i durch die Einheitsmatrix E bzw. die Matrix I dargestellt.
Daher gilt:
$ [mm] \operatorname{Re}(Z) [/mm] = a$
[mm] $\operatorname{Im}(Z) [/mm] = b$
$ [mm] I^2 [/mm] = -E$
und
$ |Z| = [mm] \sqrt{a^2 + b^2} [/mm] = [mm] \sqrt{\det Z} [/mm] $
FRED
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