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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mo 21.04.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge [mm] $\frac{1}{c^n}A^n$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] für die Matrix
[mm] A:=\left(
\begin{array}{ccc}
6 & -2 & 2 \\
-2 & 5 & 0 \\
2 & 0 & 7
\end{array}\right)
[/mm]
und alle [mm] $c\in\mathbb{R}$ [/mm] mit $c>0$ (falls dieser existiert). |
Hallo zusammen,
bin mir bei dieser Aufgabe nicht sicher, was zu tun ist. Solche Folgen von Matrizen kenne ich eigentlich nur aus der Numerik, wenn man die Eigenwerte einer Matrix bestimmen möchte. Aber dort hat man keinen weiteren Term, sondern betrachtet nur die Matrizenfolge. Wenn ich nur die Folge [mm] $A^n$ [/mm] betrachte (also c=1 setze), sehe ich ja recht schnell, dass genau die Einträge in [mm] $A^n$ [/mm] gegen unendlich streben, deren Einträge in $A$ ungleich Null waren.
Wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Tipp hierzu geben könnte.
Viele Grüße
Gregor
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> Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge [mm]\frac{1}{c^n}A^n[/mm] für
> [mm]n\to\infty[/mm] für die Matrix
>
> [mm]A:=\left(
\begin{array}{ccc}
6 & -2 & 2 \\
-2 & 5 & 0 \\
2 & 0 & 7
\end{array}\right)[/mm]
>
> und alle [mm]c\in\mathbb{R}[/mm] mit [mm]c>0[/mm] (falls dieser existiert).
> Hallo zusammen,
>
> bin mir bei dieser Aufgabe nicht sicher, was zu tun ist.
> Solche Folgen von Matrizen kenne ich eigentlich nur aus der
> Numerik, wenn man die Eigenwerte einer Matrix bestimmen
> möchte.
Hallo,
ich wüde hier zunächst die Eigenwerte bestimmen und die Matrix ggf. diagonalisieren. Dann sieht man sicher besser, was Sache ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mo 21.04.2008 | | Autor: | grenife |
Hi,
vielen Dank erstmal für den Hinweis. Die Eigenwerte sind 9,6 und 3. Die zugehörigen normalisierten Eigenvektoren sind (laut R  )
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.6666667 0.3333333 0.6666667
[2,] -0.3333333 -0.6666667 0.6666667
[3,] 0.6666667 -0.6666667 -0.3333333
Es gilt somit (die Matrix ist diagonalisierbar):
[mm] $A=SDS^{-1}$ [/mm] Mit S als Matrix der Eigenvektoren und D als Diagonalmatrix mit den Einträgen 9,6,3.
Hmm, nur was sagt mir das jetzt über den Grenzwert aus? Das einzige, was mir auffällt ist, dass ich
[mm] $A^n=SDS^{-1}SDS^{-1}SDS^{-1}$ [/mm] auch als [mm] $A^n=SDDDDDD...$ [/mm] schreiben kann.
Viele Grüße
Gregor
> > Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge [mm]\frac{1}{c^n}A^n[/mm] für
> > [mm]n\to\infty[/mm] für die Matrix
> >
> > [mm]A:=\left(
\begin{array}{ccc}
6 & -2 & 2 \\
-2 & 5 & 0 \\
2 & 0 & 7
\end{array}\right)[/mm]
>
> >
> > und alle [mm]c\in\mathbb{R}[/mm] mit [mm]c>0[/mm] (falls dieser existiert).
> > Hallo zusammen,
> >
> > bin mir bei dieser Aufgabe nicht sicher, was zu tun ist.
> > Solche Folgen von Matrizen kenne ich eigentlich nur aus der
> > Numerik, wenn man die Eigenwerte einer Matrix bestimmen
> > möchte.
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> Hallo,
>
> ich wüde hier zunächst die Eigenwerte bestimmen und die
> Matrix ggf. diagonalisieren. Dann sieht man sicher besser,
> was Sache ist.
>
> Gruß v. Angela
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> Das einzige, was mir auffällt ist, dass ich
> [mm]A^n=SDS^{-1}SDS^{-1}SDS^{-1}[/mm] auch als [mm]A^n=SDDDDDD...[/mm]
> schreiben kann.
Na eben! das ist doch eine brandheiße Information.
es ist [mm] A^n=SD^nS^{-1},
[/mm]
also ist [mm] \bruch{1}{c^n}A^n=\bruch{1}{c^n}SD^nS^{-1}, [/mm] und [mm] D^n [/mm] kannst Du ohne Mühe sehr konkret angeben.
Damit solltest Du doch eine Stückchen weiterkommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Di 22.04.2008 | | Autor: | grenife |
Hi,
ich habe also
[mm] $A^n=SD^nS^{-1}$. $D^n$ [/mm] ist einfach eine Diagonalmatrix mit den $n$-ten Potenzen der Eigenwerte als Diagonaleinträge. Die Matrix $S$ habe ich auch, da diese die Eigenvektoren als Spalten besitzt, invertieren ist auch kein Problem. Nur wie komme ich dann weiter? Habe mal versucht [mm] $SD^nS^{-1}$ [/mm] per Hand auszurechnen, dann bekomme ich jedoch eine Matrix, in der jeder Eintrag eine Linearkombination aus den drei Eigenwerten ist, so dass sich auch nichts rauskürzen lässt.
Wäre wieder für einen Tipp dankbar.
Viele Grüße
Gregor
>
> > Das einzige, was mir auffällt ist, dass ich
> > [mm]A^n=SDS^{-1}SDS^{-1}SDS^{-1}[/mm] auch als [mm]A^n=SDDDDDD...[/mm]
> > schreiben kann.
>
> Na eben! das ist doch eine brandheiße Information.
>
> es ist [mm]A^n=SD^nS^{-1},[/mm]
>
> also ist [mm]\bruch{1}{c^n}A^n=\bruch{1}{c^n}SD^nS^{-1},[/mm] und
> [mm]D^n[/mm] kannst Du ohne Mühe sehr konkret angeben.
>
> Damit solltest Du doch eine Stückchen weiterkommen.
>
> Gruß v. Angela
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> Hi,
>
> ich habe also
> [mm]A^n=SD^nS^{-1}[/mm]. [mm]D^n[/mm] ist einfach eine Diagonalmatrix mit
> den [mm]n[/mm]-ten Potenzen der Eigenwerte als Diagonaleinträge. Die
> Matrix [mm]S[/mm] habe ich auch, da diese die Eigenvektoren als
> Spalten besitzt, invertieren ist auch kein Problem. Nur wie
> komme ich dann weiter?
Hallo,
hast Du denn das Ziel noch im Auge? Ich würde jetzt den Limes von
[mm] \bruch{1}{c^n}D^n
[/mm]
unter die Lupe nehmen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Di 22.04.2008 | | Autor: | grenife |
Hi,
dann schauen wir doch mal [mm] $\frac{1}{c^n}D^n$ [/mm] kann ich zusammenfassen zu [mm] $\left( \frac{D}{c}\right)^n$. $\left( \frac{D}{c}\right)$ [/mm] ist eine Diagonalmatrix mit den Einträgen [mm] $\lambda_1/c$, $\lambda_2/c$ [/mm] und [mm] $\lambda_3/c$. [/mm] Und spätestens hier würde ich eine Fallunterscheidung machen, da die drei Einträge für unterschiedliche $c>0$ auch unterschiedliche Konvergenzverhalten aufweisen. Aber ist das wirklich nötig? Die Aufgabe wirkt so, als ob etwas "Schönes" als Ergebnis resultieren würde, und nicht eine umständliche Fallunterscheidung mit zahlreichen echten und unechten Grenzwerten.
Viele Grüße
Gregor
> > Hi,
> >
> > ich habe also
> > [mm]A^n=SD^nS^{-1}[/mm]. [mm]D^n[/mm] ist einfach eine Diagonalmatrix mit
> > den [mm]n[/mm]-ten Potenzen der Eigenwerte als Diagonaleinträge. Die
> > Matrix [mm]S[/mm] habe ich auch, da diese die Eigenvektoren als
> > Spalten besitzt, invertieren ist auch kein Problem. Nur wie
> > komme ich dann weiter?
>
> Hallo,
>
> hast Du denn das Ziel noch im Auge? Ich würde jetzt den
> Limes von
>
> [mm]\bruch{1}{c^n}D^n[/mm]
>
> unter die Lupe nehmen.
>
> Gruß v. Angela
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Und spätestens hier würde ich
> eine Fallunterscheidung machen, da die drei Einträge für
> unterschiedliche [mm]c>0[/mm] auch unterschiedliche
> Konvergenzverhalten aufweisen. Aber ist das wirklich nötig?
> Die Aufgabe wirkt so, als ob etwas "Schönes" als Ergebnis
> resultieren würde, und nicht eine umständliche
> Fallunterscheidung mit zahlreichen echten und unechten
> Grenzwerten.
Hallo,
doch, diese Fallunterscheidung wirst Du unbedingt machen müssen.
Das Ergebnis wird vermutlich nicht für alle c schön sein, und ich glaube nicht, daß [mm] \pmat{ \infty &\infty \\ \infty &\infty } [/mm] unter "Grenzwert" läuft. Kurz: unechte Grenzwerte würde ich hier als "keine Grenzwerte" behandeln.
Gruß v. Angela
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