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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Gegeben sind eine Matrix G und die Einheitsmatrix [mm] E_4. [/mm]
Bestimmen Sie eine Matrix 4x7, so dass folgende Gleichung erfüllt ist:
B [mm] \cdot [/mm] G = [mm] E_4
[/mm]
G := [mm] \pmat{ 1 & 1 &0&1 \\ 1 & 0 &1&1 \\ 1 & 0 &0&0 \\ 0 & 1 &1&1\\ 0 & 1 &0&0\\ 0 & 0 &1&0\\ 0 & 0 &0&1 } \in \mathbb F^{7 \times 4}_2
[/mm]
Zusatz:
Sei [mm] \gamma: \mathbb F^4_2 \to \mathbb F^7_2, [/mm] v [mm] \to [/mm] Gv eine lineare Abbildung.
Woran erkennt man, dass [mm] \gamma [/mm] injektiv ist? |
Hallo!
Bei beiden Fragen weiß ich gar nicht recht weiter. Wie löse ich denn Matrizengleichungen? Ich meine, ich könnte für jeden Eintrag eine Riesengleichung aufstellen...aber da würde man ja blöd bei und ich hätte total viele Unbekannte.
Wie macht man das am geschicktesten? Was wäre das beste Rezept?
Zur Zusatzfrage habe ich gerade leider auch keine richtige Idee. Das muss man irgendwie direkt an der Matrix sehen können...*grübel*
Dankeschön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Blech |
> Gegeben sin
> Wie macht man das am geschicktesten? Was wäre das beste
> Rezept?
Wenn Du Dir G mal anschaust, siehst Du, daß es schon [mm] $E_4$ [/mm] enthält, nur permutiert.
D.h. [mm] $G=P^t\vektor{K\\ E_4}$ [/mm] für eine geeignete Permutationsmatrix [mm] $P^t$ [/mm] (die einfach nur 2 Zeilen vertauscht)
Also ist Deine Gleichung
[mm] $BP^t\vektor{K\\ E_4}=E_4$
[/mm]
Jetzt unterteil [mm] $BP^t$ [/mm] auch in 2 Blöcke.
> Zur Zusatzfrage habe ich gerade leider auch keine richtige Idee. Das muss man irgendwie direkt an der Matrix sehen können...*grübel*
Was ist denn die Definition von Injektivität?
[mm] $x\neq [/mm] y\ [mm] \Longrightarrow\ [/mm] x=y+z;\ [mm] z\neq [/mm] 0$
Wieso ist dann ihr Bild verschieden?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Wimme |
hallo!
Ok, [mm] P^t [/mm] kann ich aufstellen, sehe aber noch nicht richtig was mir das bringt.
Gehe ich also richtig in der Annahme, dass es dafür kein allgemeines, gutes Rezept gibt?
Es steht als Tipp auch noch dabei, dass man eventuell transponieren kann.
Zum Zusatz:
Die Definition ist mir bekannt...aber dennoch, ist mir nicht ganz klar, wie ich hier die Injektivität begründen soll :( Hat das auch was mit der versteckten Einheitsmatrix zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Blech |
> hallo!
>
> Ok, [mm]P^t[/mm] kann ich aufstellen, sehe aber noch nicht richtig
> was mir das bringt.
Vergiß [mm] $P^t$ [/mm] (vorerst), wie muß denn die Matrix [mm] $BP^t$ [/mm] ausschauen, damit die Gleichung erfüllt ist?
>
> Zum Zusatz:
> Die Definition ist mir bekannt...aber dennoch, ist mir
Wieso schreibst Du sie dann nicht mal hin und setzt x und y ein?
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Wimme |
ich denke ich habs hingekriegt! :)
B hat in der 1.Zeile: An 3.Stelle eine 1
2.Zeile: 5.Stelle
3.Zeile: 6.
4.Zeile: 7
Zum Zusatz: Wenn ich G einfach mal mit nem Vektor [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] und entsprechendem Vektor y multipliziere sehe ich, dass x1 bis 4 gleich y1 bis 4 sein müssen. Das liegt vermutlich daran, dass in G die EInheitsmatrix versteckt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Blech |
> ich denke ich habs hingekriegt! :)
>
> B hat in der 1.Zeile: An 3.Stelle eine 1
> 2.Zeile: 5.Stelle
> 3.Zeile: 6.
> 4.Zeile: 7
Ja.
$ [mm] BP^t\vektor{K\\ E_4}=E_4 [/mm] $
Wenn wir jetzt [mm] $BP^t$ [/mm] analog zu G in Blöcke aufteilen:
[mm] $BP^t:=(L\ [/mm] M)$ (L ist 4x3, M 4x4)
Dann wird die Gleichung zu:
$ [mm] BP^t\vektor{K\\ E_4}= [/mm] (L\ [mm] M)\vektor{K\\ E_4} [/mm] = LK + [mm] ME_4 [/mm] = [mm] E_4 [/mm] $
[mm] $\Rightarrow [/mm] L=0,\ [mm] M=E_4$
[/mm]
Also:
[mm] $BP^t [/mm] = (0\ [mm] E_4)$
[/mm]
Permutationsmatrizen sind orthogonal:
$BP^tP = B = (0\ [mm] E_4)P$
[/mm]
Hier ist die Permutation sogar symmetrisch (Wir haben nur 2 Zeilen vertauscht. Wenn wir die nochmal vertauschen sind wir wieder bei der urspr. Matrix). Wir haben vorhin die 3. und 4. Zeile von G vertauscht (weil wir von links multipliziert haben), also vertauschen wir jetzt 3. und 4. Spalte von $(0\ [mm] E_4)$ [/mm] (weil wir von rechts multiplizieren).
> Zum Zusatz: Wenn ich G einfach mal mit nem Vektor
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}[/mm] und entsprechendem Vektor
> y multipliziere sehe ich, dass x1 bis 4 gleich y1 bis 4
> sein müssen. Das liegt vermutlich daran, dass in G die
> EInheitsmatrix versteckt ist.
G hat vollen Spaltenrang (also 4). Wenn eine Matrix Rang n hat, ist immer [mm] $E_n$ [/mm] darin "versteckt". Hier ist die Einheitsmatrix sogar explizit vorhanden, nur mit vertauschten Zeilen.
Angenommen x und y haben das gleiche Bild.
Es gilt x=y+z für geeignetes z.
Also gleiches Bild:
Gy=Gx
x ersetzen:
Gy=G(y+z)=Gy+Gz
d.h. es muß gelten Gz=0
Da G vollen Rang hat, ist der Kern nur der 0-Vektor, d.h. z=0 und damit x=y+z=y.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] injektiv.
ciao
Stefan
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