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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:55 So 13.04.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix
[mm] $X=\begin{pmatrix} 1&2&3//3&0&1//2&1&0\end{pmatrix}$
[/mm]
mit Einträgen aus [mm] $\mathbb{R}$
[/mm]
I) Berechnen Sie Matrizen L und R, so dass gilt:
[mm] $LXR=\begin{pmatrix} 1&0&0//0&1&0//0&0&1\end{pmatrix}$
[/mm]
II)
Berechnen Sie die inverse Matrix zu X. |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Und zwar hätte ich kein Problem "irgendwelche" Matrizen anzugeben, damit am Ende die Einheitsmatrix rauskommt.
Aber sind an die Matrizen L und R Bedingungen geknüpft im Zusammenhang mit dieser Aufgabe?
In der Vorlesung haben wir aufgeschrieben:
Zu einer gegebenen Matrix [mm] $X\in K^{n\times n}$ [/mm] gibt es immer Matrizen $L, [mm] R\in GL_n(K)$, [/mm] so dass gilt (siehe Bildanhang, der hoffentlich nicht zu unschön ist...)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meine Frage ist nun:
Dürfen L und R irgendwie aussehen? Dann würde ich nämlich [mm] $L=X^{-1}$ [/mm] und R=E wählen. Damit wäre ich bereits fertig.
II)
Eine Matrix zu invertieren ist eigentlich kein Problem. Allerdings haben wir in der Vorlesung keinen Algorithmus dazu gehabt. Eigentlich bisher überhaupt nichts. Darf ich die Matrix einfach so invertieren wie ich es aus der Schule kenne, oder muss ich es anders machen?
Was meint ihr zu der Aufgabe?
Vielen Dank.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 So 13.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo YuSul,
Ich bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass ihr hier für $X$
eine LR-Zerlegung durchführen sollt. Hattet ihr diese bereits?
Wenn ja, dann überleg' wie du von
$X=L*R$
auf
$L*X*R=E$
kommst.
Mit der LR-Zerlegung ist das Berechnen der Inverse einfach.
Mich verwundert nur diesen Satz aus der Vorlesung.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 So 13.04.2014 | | Autor: | YuSul |
Eine LR-Zerlegung hatten wir bisher nicht. Jedenfalls nicht unter diesem Namen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 So 13.04.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei die Matrix
>
> [mm]X=\begin{pmatrix} 1&2&3//3&0&1//2&1&0\end{pmatrix}[/mm]
>
> mit Einträgen aus [mm]\mathbb{R}[/mm]
>
> I) Berechnen Sie Matrizen L und R, so dass gilt:
>
> [mm]LXR=\begin{pmatrix} 1&0&0//0&1&0//0&0&1\end{pmatrix}[/mm]
>
> II)
>
> Berechnen Sie die inverse Matrix zu X.
> Hi,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Und zwar hätte ich kein Problem "irgendwelche" Matrizen
> anzugeben, damit am Ende die Einheitsmatrix rauskommt.
> Aber sind an die Matrizen L und R Bedingungen geknüpft im
> Zusammenhang mit dieser Aufgabe?
> In der Vorlesung haben wir aufgeschrieben:
>
> Zu einer gegebenen Matrix [mm]X\in K^{n\times n}[/mm] gibt es immer
> Matrizen [mm]L, R\in GL_n(K)[/mm], so dass gilt (siehe Bildanhang,
> der hoffentlich nicht zu unschön ist...)
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Meine Frage ist nun:
>
> Dürfen L und R irgendwie aussehen? Dann würde ich
> nämlich [mm]L=X^{-1}[/mm] und R=E wählen. Damit wäre ich bereits
> fertig.
Das geht nur, wenn X invertierbar ist. Der Punkt hier ist aber, dass es für beliebige Matrizen gilt, auch wenn es keine Inverse gibt.
Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:14 So 13.04.2014 | | Autor: | YuSul |
Und wie kann ich vorgehen um die Matrizen L und R zu bestimmen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 15.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 15.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Do 17.04.2014 | | Autor: | ruf012 |
(I)
(1) 18 Unbekannte und 9 Gleichungen
(a b c)(1 2 3)(j k l) (1 0 0)
(d e f)(3 0 1)(m n p) = (0 1 0)
(g h i)(2 1 0)(q r s) (0 0 1)
(a+3b+2c 2a+c 3a +b)(j k l)
(d+3e+2f 2d+f 3d+e)(m n p)
(g+3h+2i 2g+i 3g+h)(q r s)
J(a+3b+2c)+m(2a+c)+q(3a+b) = 1
k(a+3b+2c)+n(2a+c)+r(3a+b) = 0
l(a+3b+2c)+p(2a+c)+s(3a+b) = 0
j(d+3e+2f)+m(2d+f)+q(3d+e)= 0
k(d+3e+2f)+n(2d+f)+r(3d+e)= 1
l(d+3e+2f)+p(2d+f)+s(3d+e)= 0
j(g+3h+2i)+m(2g+i)+q(3g+h)=0
k(g+3h+2i)+n(2g+i)+r(3g+h)=0
l(g+3h+2i)+p(2g+i)+s(3g+h)=1
(2) Die Lesbarkeit verbessern
x1:=a+3b+2c x2:=2a+c x3=3a+b
y1:=d+3e+2f y2:=2d+f y3:=3d+e
z1:=g+3h+2i z2:=2g+i z3:=3g+h
J*x1+m*x2+q*x3 = 1
k*x1+n*x2+r*x3 = 0
l*x1+p*x2+s*x3 = 0
J*y1+m*y2+q*y3= 0
k*y1+n*y2+r*y3= 1
l*y1+p*y2+s*y3= 0
J*z1+m*z2+q*z3=0
k*z1+n*z2+r*z3=0
l*z1+p*z2+s*z3=1
(3) Ansatz
x1=0 x2=0 x3=1
q=1 r=0 s=0
J*y1+m*y2+y3= 0
k*y1+n*y2=1
l*y1+p*y2= 0
J*z1+m*z2+z3=0
k*z1+n*z2=0
l*z1+p*z2=1
--
y1=0 y2=1 y3=0
n=1
J*z1+m*z2+z3=0
k*z1+z2=0
l*z1+p*z2=1
m=0
p=0
j*z1+z3=0
k*z1+z2=0
l*z1=1
z1=1 z3=0 z2=0
j=0 k=0 l=1
(4)weitere Variable bestimmen
x1=a+3b+2c x2=2a+c x3=3a+b
0=a+3b+2c 0=2a+c c=-2a 1=3a+b b=1-3a
0=a+3(1-3a)+2(-2a)
a=1/4 b=1/4 c=-1/2
y1=d+3e+2f y2=2d+f y3=3d+e
0=d+3e+2f 1=2d+f f=1-2d 0=3d+e e=-3d
0=d+3(-3d)+2(1-2d)
d=1/6 e=-1/2 f=2/3
z1=g+3h+2i z2=2g+i z3=3g+h
1=g+3h+2i 0=2g+i i=-2g 0=3g+h h=-3g
1=g+3(-3g)+2(-2g)
g=-1/12 h=1/4 i=1/6
(5) eine Lösung:
a=1/4 b=1/4 c=-1/2
d=1/6 e=-1/2 f=2/3
g=-1/12 h=1/4 i=1/6
j=0 k=0 l=1
m=0 n=1 p=0
q=1 r=0 s=0
(6) Probe
(a b c)(1 2 3)(j k l)
(d e f)(3 0 1)(m n p)
(g h i)(2 1 0)(q r s)
(1/4 1/4 -1/2) (1 2 3)(0 0 1)
(1/6 -1/2 2/3) (3 0 1)(0 1 0)
(-1/12 1/4 1/6) (2 1 0)(1 0 0)
(1/4 + 3/4 - 2/2) 2/4 + 0/4 - 1/2 3/4 +1/4 - 0/2 )(0 0 1)
(1/6 - 3/2 + 4/3 2/6 - 0/2 + 2/3 3/6 -1/2 + 0/6)(0 1 0) =
(-1/12 + 3/4 + 2/6) -2/12 + 0/4 + 1/6 -3/12 +1/4 +0/6)(1 0 0)
(0 0 1)(0 0 1) (1 0 0)
(0 1 0)(0 1 0) = (0 1 0)
(1 0 0)(1 0 0 ) (0 0 1)
(II)
1 2 3 1 0 0
3 0 1 0 1 0
2 1 0 0 0 1 z3=3*z3-2*z2
1 2 3 1 0 0
3 0 1 0 1 0 z2=3*z1–z2
0 3 -2 0 -2 3
1 2 3 1 0 0
0 6 8 3 -1 0
0 3 -2 0 -2 3 z3=z2-2*z3
1 2 3 1 0 0
0 6 8 3 -1 0
0 0 12 3 3 -6 z3=z3/3
1 2 3 1 0 0 z1=4*z1-3*z3
0 6 8 3 -1 0
0 0 4 1 1 -2
4 8 0 1 -3 6
0 6 8 3 -1 0 z2=z2-2*z3
0 0 4 1 1 -2
4 8 0 1 -3 6 z1=6z1-8z2
0 6 0 1 -3 4
0 0 4 1 1 -2
24 0 0 -2 6 4 z1=z1/2
0 6 0 1 -3 4
0 0 4 1 1 -2
12 0 0 -1 3 2 z1=z1/12
0 6 0 1 -3 4 z2=z2/6
0 0 4 1 1 -2 z3=z3/4
1 0 0 -1/12 3/12 2/12
0 1 0 1/6 -3/6 4/6
0 0 1 1/4 1/4 -2/4
(1) Lösung
(-1/12 3/12 2/12)
( 1/6 -3/6 4/6 )
( 1/4 1/4 -2/4 )
(2) Probe
(-1/12 3/12 2/12)(1 2 3)
( 1/6 -3/6 4/6 )(3 0 1)=
( 1/4 1/4 -2/4 )(2 1 0)
(-1/12+9/12+4/12 -2/12+0/12+2/12 -3/12+3/12+0/12)
(1/6-9/6+8/6 2/6-0/6+4/6 3/6-3/6+0/6) =
(1/4+3/4-4/4 2/4+0/4-2/4 1/4 +3/4 +0/4)
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)
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