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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Sa 02.02.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Guten Abend.
Ich bins wieder.Tut mir leid, dass ich euch wieder nerven muss, aber ich bin gerad am lernen und benötige eure Hilfe.
Aufgabe.
1). Gegeben seien die Matrizen [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 0&0\\0 & 0& 1&0 \\0 & 0 & 0&1\\0 & 0& 0&0 } [/mm] ; [mm] B=\pmat{ a & 1& 0 \\ 0& a&1 \\ 0& 0&a}
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] {A}^n,{B}^n [/mm] für alle n [mm] \in \IN,n>=2
[/mm]
2). Es seien [mm] A\in {\IR}^{m,n} [/mm] und B,C [mm] \in\IR^{n,p}.
[/mm]
Beweisen Sie oder widerlgen Sie die Aussage AB=BC=>B=C
3)Unter welcher Vorraussetzung gilt A,B [mm] \n {\IR}^{n,n} [/mm] die Beziehung
[mm] {(A+B)}^2={A}^2+2AB+{B}^2
[/mm]
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zu 1)
[mm] {A}^n=\pmat{ 0 & 0 & 0&0\\0 & 0& 0&0 \\0 & 0 & 0&0\\0 & 0& 0&0 } [/mm] ; [mm] {B}^n=\pmat{ {a}^n & n*{a}^{n-1} & \vektor{n \\ 2} {a}^{n-2}\\ 0&{ a}^n& n*{a}^{n-1} \\ 0& 0&{a}^n}
[/mm]
zu 2)
AB=AC => B=C
Ist wahr wenn A die Einheitsmatrix:
[mm] =>\pmat{ 1 & 0& 0\\ 0 & 1& 0\\ 0&0&1} *B=\pmat{ 1 & 0& 0\\ 0 & 1& 0\\ 0&0&1 }* [/mm] C=> B=C
Ein Gegenbeispiel fällt mir nicht ein
zu 3)
[mm] {(\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 })}^{2}={\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }}^{2}+2\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }+{\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }}^{2}=\pmat{ 8 & 8\\ 8 & 8}
[/mm]
=> [mm] A=B=\pmat{ a & a \\ a & a}
[/mm]
Bin durch Probieren daraufgestoßen und folgere daraus:
1) Es muss eine n*n-Matrix sein
2) Die Kompenten dieser Martix A=B müssen alle diesselben Komponenten aufweisen.
Frag mich aber auch, ob man das allgemeiner aufschreiben kann und ob das richtig ist
Danke für die Hilfe
matheja
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Hallo,
ich kann dir zu 3.) was sagen:
Und zwar ist ja [mm] (A+B)^2=(A+B)*(A+B)=AA+AB+BA+BB.
[/mm]
Also gilt [mm] {(A+B)}^2={A}^2+2AB+{B}^2 [/mm] genau dann, wenn AB=BA.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Sa 02.02.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hey Danke für deine Antwort.
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> Hallo,
>
> ich kann dir zu 3.) was sagen:
>
> Und zwar ist ja [mm](A+B)^2=(A+B)*(A+B)=AA+AB+BA+BB.[/mm]
>
> Also gilt [mm]{(A+B)}^2={A}^2+2AB+{B}^2[/mm] genau dann, wenn AB=BA.
AB=BA genau dann ,wenn A=B oder ?
Ist mein Ausführung zu 3) zu speziell,oder könnte man das auch als richtig durchgehen lassen,weil ich ja Prinzip das gleiche zeige ohen es aber formal so hinzuschreiben ?
Muss man bei 1 auch vollständige Induktion anwenden oder reicht meine Ausführung ?
Fällt dir vielleicht ein Gegenbeispiel ein zu 2?
Danke vorweg
matheja
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Nochmal nur zu 3.)
Aus AB=BA kannst du nicht folgern, dass A=B ist.
EInfaches Gegenbeispiel:
A sei 1x1 Matrix, B 1x1 Matrix.
z.b. A=2, B=3
Dann gilt sicherlich [mm] A\not= [/mm] B , aber AB=BA.
AB=BA ist z.b. dann der Fall, wenn eine von beiden Matrizen die Einheitsmatrix ist, aber es gibt noch viele andere mögliche Möglichkeiten.
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Hallo matheja,
> zu 1)
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> [mm]{A}^n=\pmat{ 0 & 0 & 0&0\\0 & 0& 0&0 \\0 & 0 & 0&0\\0 & 0& 0&0 }[/mm]
Das musst Du nochmal nachrechnen, ob das so stimmt.
> ; [mm]{B}^n=\pmat{ {a}^n & n*{a}^{n-1} & \vektor{n \\ 2} {a}^{n-2}\\ 0&{ a}^n& n*{a}^{n-1} \\ 0& 0&{a}^n}[/mm]
Ok, das stimmt.
> zu 3)
> [mm]{(\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 })}^{2}={\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }}^{2}+2\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }+{\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }}^{2}=\pmat{ 8 & 8\\ 8 & 8}[/mm]
>
> => [mm]A=B=\pmat{ a & a \\ a & a}[/mm]
> Bin durch Probieren
> daraufgestoßen und folgere daraus:
> 1) Es muss eine n*n-Matrix sein
> 2) Die Kompenten dieser Martix A=B müssen alle diesselben
> Komponenten aufweisen.
> Frag mich aber auch, ob man das allgemeiner aufschreiben
> kann und ob das richtig ist
Rechne doch einfach [mm]\left (A + B \right ) ^2 = \left (A + B \right ) \ \left (A + B \right ) [/mm] und vergleiche mit dem Ausdruck [mm]A^2+2 A B + B^2[/mm]. Dann kommst Du zu einer Bedingung wann die Gleichung gilt.
> Danke für die Hilfe
>
> matheja
Gruß MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Sa 02.02.2008 | | Autor: | matheja |
Dank euch beiden für eure Hilfe,habt mir wirklich weitergeholfen.
lg
matheja
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Sa 02.02.2008 | | Autor: | DerVogel |
kein Problem :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Sa 02.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
aus AB=AC folgt genau dann B=C wenn es ne Inverse Matrix zu A gibt, denn nur dann hast du [mm] A^{-1}AB=A^{-1}AC.
[/mm]
und gibts zu jeder matrix A ne Inverse? also ist ein Gegenbsp einfach!
Deine Versuche für ein Gegenbsp waren alles matrizen mit m=n, versuchs mit ner 3,2 und ner 2,3 matrix.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Sa 02.02.2008 | | Autor: | matheja |
Nochmals Danke auch an Leduart
lg
matheja
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