Max-Likelihood Schätzer Weibul < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist eine Weibull-verteilte Zufallsgröße X mit dem Maßstabsparameter a (>0) und dem Formparameter b (>0).
Schätzen Sie unter Annahme, daß der Formparameter b bekannt ist, den Parameter a nach der Maximum-Likelihood-Methode! |
Hallo Spezialisten,
hänge an obiger Aufgabe nun bereits seit längerem.
Mein Ansatz:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox x\le0 \\ \bruch{b}{a}(\bruch{x}{a})^{b-1}e^{-(\bruch{x}{a})^{b}}, & \mbox x>0 \end{cases}
[/mm]
b bekannt -> [mm] a=\theta
[/mm]
[mm] L(x_{1},...,x_{n};\theta)=\produkt_{i=1}^{n}f(x_{i};\theta)
[/mm]
[mm] lnL(x_{1},...,x_{n};\theta)=\summe_{i=1}^{n}ln(\bruch{b}{\theta}(\bruch{x}{\theta})^{b-1}e^{-(\bruch{x}{\theta})^{b}})
[/mm]
... [mm] =\summe_{i=1}^{n}(lnb-ln\theta+(b-1)(lnx-ln\theta)-(\bruch{x}{\theta})^{b})
[/mm]
Kann ich die Summe jetzt in die Klammer reinziehen, sodass daraus n wird?
-> ... = [mm] nlnb-nln\theta+n(b-1)(lnx-ln\theta)-n(\bruch{x}{\theta})^{b}
[/mm]
Dann ginge es mit der Ableitung weiter, wobei das nächste Problem auftritt.
[mm] \bruch{\partial(lnL)}{\partial\theta}=-\bruch{n}{\theta}-\bruch{n(b-1)}{\theta}+\bruch{nb(\bruch{x}{\theta})}{\theta}
[/mm]
Tja, da hängt es. Ich denke beim zusammenfassen und ableiten ist was schief gegangen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 So 24.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Gegeben ist eine Weibull-verteilte Zufallsgröße X mit dem
> Maßstabsparameter a (>0) und dem Formparameter b (>0).
> Schätzen Sie unter Annahme, daß der Formparameter b
> bekannt ist, den Parameter a nach der
> Maximum-Likelihood-Methode!
> Hallo Spezialisten,
>
> hänge an obiger Aufgabe nun bereits seit längerem.
>
Moin Daniel,
ein Gruss ins schoene Sachsen,
wo die huebschen Maedchen auf den Baeumen wachsen ... 
> Mein Ansatz:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox x\le0 \\ \bruch{b}{a}(\bruch{x}{a})^{b-1}e^{-(\bruch{x}{a})^{b}}, & \mbox x>0 \end{cases}[/mm]
>
> b bekannt -> [mm]a=\theta[/mm]
>
> [mm]L(x_{1},...,x_{n};\theta)=\produkt_{i=1}^{n}f(x_{i};\theta)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]lnL(x_{1},...,x_{n};\theta)=\summe_{i=1}^{n}ln(\bruch{b}{\theta}(\bruch{x}{\theta})^{b-1}e^{-(\bruch{x}{\theta})^{b}})[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wo sind denn die [mm] $x_1,\dots,x_n$?
[/mm]
vg Luis
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Hallo luis,
ja das stimmt, schöne Mädels gibt es hier.
Nun zu meiner Aufgabe. Sehe ich das richtig, dass aus den x-en in meiner Aufgabe [mm] x_{i} [/mm] werden?
-> $ [mm] lnL(x_{1},...,x_{n};\theta)=\summe_{i=1}^{n}ln(\bruch{b}{\theta}(\bruch{x_{i}}{\theta})^{b-1}e^{-(\bruch{x_{i}}{\theta})^{b}}) [/mm] $
und dementsprechend
... $ [mm] =\summe_{i=1}^{n}(lnb-ln\theta+(b-1)(lnx_{i}-ln\theta)-(\bruch{x_{i}}{\theta})^{b}) [/mm] $
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Was passiert jetzt mit der Summe, wird die zu n?
Was ist mit der Ableitung?
$ [mm] \bruch{\partial(lnL)}{\partial\theta}=-\bruch{n}{\theta}-\bruch{n(b-1)}{\theta}+\bruch{nb(\bruch{x_{i}}{\theta})}{\theta} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 So 24.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Was passiert jetzt mit der Summe, wird die zu n?
>
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") zu $n_$?
[mm] $\ln L=\summe_{i=1}^{n}(\ln b-\ln\theta+(b-1)(\ln x_{i}-\ln\theta)-(\bruch{x_{i}}{\theta})^{b})$
[/mm]
$= [mm] n\ln b-bn\ln\theta+(b-1)\sum_i\ln x_i-\frac{1}{\theta^n}\sum_ix_{i}^{b}$.
[/mm]
vg Luis
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Danke schonmal.
Jetzt muss ich noch ableiten.
[mm] \bruch{\partial(lnL)}{\partial\theta}=-\bruch{bn}{\theta}+\bruch{n\sum_ix_{i}^{b}}{\theta^{n+1}}=0
[/mm]
Jetzt nach [mm] \theta [/mm] auflösen, führt zu
[mm] \theta=\wurzel[n]{\bruch{\sum_ix_{i}^{b}}{b}} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 24.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Danke schonmal.
>
> Jetzt muss ich noch ableiten.
>
> [mm]\bruch{\partial(lnL)}{\partial\theta}=-\bruch{bn}{\theta}+\bruch{n\sum_ix_{i}^{b}}{\theta^{n+1}}=0[/mm]
>
> Jetzt nach [mm]\theta[/mm] auflösen, führt zu
>
> [mm]\theta=\wurzel[n]{\bruch{\sum_ix_{i}^{b}}{b}}[/mm] ?
Sieht gut aus.
vg Luis
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Die vorgegebene Lösung sieht etwas anders aus und ich sehe momentan nicht, wie ich "meine" so umstellen kann.
[mm] \hat\theta=(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{b})^{\bruch{1}{b}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 So 24.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Die vorgegebene Lösung sieht etwas anders aus und ich sehe
> momentan nicht, wie ich "meine" so umstellen kann.
>
> [mm]\hat\theta=(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{b})^{\bruch{1}{b}}[/mm]
>
Ehrlich gesagt, mir kam unsere Loesung auch nicht ganz koscher vor.
Leider habe ich uns etwas in den Wald geschickt. Ich korrigiere:
$ [mm] \ln L=\summe_{i=1}^{n}(\ln b-\ln\theta+(b-1)(\ln x_{i}-\ln\theta)-(\bruch{x_{i}}{\theta})^{b}) [/mm] $
$ = [mm] n\ln b-bn\ln\theta+(b-1)\sum_i\ln x_i-\frac{1}{\theta^{\red b}}\sum_ix_{i}^{b} [/mm] $.
Hoffentlich klappt's jetzt...
vg Luis
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Dann müsste es so aussehen.
> $ [mm] \bruch{\partial(lnL)}{\partial\theta}=-\bruch{bn}{\theta}+\bruch{b\sum_ix_{i}^{b}}{\theta^{b+1}}=0 [/mm] $
>
> Jetzt nach $ [mm] \theta [/mm] $ auflösen, führt zu
>
> $ [mm] \theta=\wurzel[b]{\bruch{\sum_ix_{i}^{b}}{n}} [/mm] $
Und das sieht dann aus wie die vorgegebene Lösung.
Vielen Dank für deine Mühe und Geduld.
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